高等数学导数、微分详细名师优质课获奖市赛课一等奖课件

一、问题提出1.自由落体运动瞬时速度问题如图,取极限得第1页2.切线问题割线极限位置——切线位置播放第2页如图,

假如割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处切线.极限位置即第3页二、导数定义定义第4页其它形式即第5页★★关于导数说明：第6页注意:★第7页播放2.导函数(瞬时改变率)是函数平均改变率迫近函数.第8页★2.右导数:单侧导数1.左导数:★第9页★★第10页第11页三、由定义求导数步骤:例1解第12页例2解第13页例3解更普通地比如,第14页例4解第15页例5解第16页例6解第17页四、导数几何意义切线方程为法线方程为第18页例7解由导数几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为第19页五、可导与连续关系定理凡可导函数都是连续函数.证第20页连续函数不存在导数举例0比如,注意:该定理逆定理不成立.★第21页01比如,第22页比如,011/π－1/π第23页第24页例8解第25页六、小结1.导数实质:增量比极限;3.导数几何意义:切线斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.第26页思索题第27页思索题解答第28页第29页第30页第31页练习题答案第32页2.切线问题割线极限位置——切线位置第33页2.切线问题割线极限位置——切线位置第34页2.切线问题割线极限位置——切线位置第35页2.切线问题割线极限位置——切线位置第36页2.切线问题割线极限位置——切线位置第37页2.切线问题割线极限位置——切线位置第38页2.切线问题割线极限位置——切线位置第39页2.切线问题割线极限位置——切线位置第40页2.切线问题割线极限位置——切线位置第41页2.切线问题割线极限位置——切线位置第42页2.导函数(瞬时改变率)是函数平均改变率迫近函数.第43页2.导函数(瞬时改变率)是函数平均改变率迫近函数.第44页2.导函数(瞬时改变率)是函数平均改变率迫近函数.第45页2.导函数(瞬时改变率)是函数平均改变率迫近函数.第46页2.导函数(瞬时改变率)是函数平均改变率迫近函数.第47页2.导函数(瞬时改变率)是函数平均改变率迫近函数.第48页2.导函数(瞬时改变率)是函数平均改变率迫近函数.第49页2.导函数(瞬时改变率)是函数平均改变率迫近函数.第50页2.导函数(瞬时改变率)是函数平均改变率迫近函数.第51页2.导函数(瞬时改变率)是函数平均改变率迫近函数.第52页2.导函数(瞬时改变率)是函数平均改变率迫近函数.第53页2.导函数(瞬时改变率)是函数平均改变率迫近函数.第54页一、和、差、积、商求导法则定理第55页证(3)证(1)、(2)略.第56页第57页推论第58页二、例题分析例1解例2解第59页例3解同理可得第60页例4解同理可得例5解同理可得第61页例6解第62页第63页三、小结注意:分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.第64页思索题

求曲线上与轴平行切线方程.第65页思索题解答令切点为所求切线方程为和第66页练习题第67页第68页练习题答案第69页一、反函数导数定理即反函数导数等于直接函数导数倒数.第70页证于是有第71页例1解同理可得第72页例2解尤其地第73页二、复合函数求导法则定理即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)第74页证第75页推广例3解第76页例4解例5解第77页例6解例7解第78页三、小结反函数求导法则（注意成立条件）;复合函数求导法则（注意函数复合过程,合理分解正确使用链导法）;已能求导函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数和、差、积、商.第79页思索题第80页思索题解答正确地选择是（3）例在处不可导，取在处可导，在处不可导，取在处可导，在处可导，第81页练习题第82页第83页练习题答案第84页第85页初等函数求导问题1.常数和基本初等函数导数公式第86页2.函数和、差、积、商求导法则设)(),(xvvxuu==可导，则（1）vuvu¢¢=¢

)(,（2）uccu¢=¢)(（3）vuvuuv¢+¢=¢)(,

（4）)0()(2¹¢-¢=¢vvvuvuvu.(是常数)第87页3.复合函数求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全处理.注意:初等函数导数仍为初等函数.第88页例1解第89页例2解第90页小结任何初等函数导数都能够按常数和基本初等函数求导公式和上述求导法则求出.关键:正确分解初等函数复合结构.第91页思索题幂函数在其定义域内（）.第92页思索题解答正确地选择是（3）例在处不可导，在定义域内处处可导，第93页练习题第94页练习题答案第95页一、高阶导数定义问题:变速直线运动加速度.定义第96页记作三阶导数导数称为四阶导数,二阶和二阶以上导数统称为高阶导数.二阶导数导数称为三阶导数,第97页二、高阶导数求法举例例1解1.直接法:由高阶导数定义逐步求高阶导数.第98页例2解第99页例3解注意:

求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证实)第100页例4解同理可得第101页例5解第102页2.高阶导数运算法则:莱布尼兹公式第103页例6解第104页3.间接法:惯用高阶导数公式

利用已知高阶导数公式,经过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.第105页例7解第106页例8解第107页三、小结高阶导数定义；高阶导数运算法则(莱布尼兹公式);n阶导数求法;1.直接法;2.间接法.第108页思索题设连续，且，求.第109页思索题解答可导不一定存在故用定义求第110页练习题第111页第112页第113页练习题答案第114页第115页一、隐函数导数定义:隐函数显化问题:隐函数不易显化或不能显化怎样求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.第116页例1解解得第117页例2解所求切线方程为显然经过原点.第118页例3解第119页二、对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:第120页例4解等式两边取对数得第121页例5解等式两边取对数得第122页普通地第123页三、由参数方程所确定函数导数比如消去参数问题:消参困难或无法消参怎样求导?第124页由复合函数及反函数求导法则得第125页第126页例6解第127页

所求切线方程为第128页例7解第129页第130页例8解第131页四、相关改变率相关改变率问题:已知其中一个改变率时怎样求出另一个改变率?第132页例9解仰角增加率第133页例10解水面上升之速率4000m第134页五、小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;相关改变率:经过函数关系确定两个相互依赖改变率;解法:

经过建立二者之间关系,用链式求导法求解.第135页思索题第136页思索题解答不对．第137页练习题第138页第139页第140页第141页练习题答案第142页第143页一、问题提出实例:正方形金属薄片受热后面积改变量.第144页再比如,既轻易计算又是很好近似值问题:这个线性函数(改变量主要部分)是否全部函数改变量都有?它是什么?怎样求?第145页二、微分定义定义(微分实质)第146页由定义知:第147页三、可微条件定理证(1)必要性第148页(2)充分性第149页例1解第150页四、微分几何意义MNT）几何意义:(如图)P第151页五、微分求法求法:计算函数导数,乘以自变量微分.1.基本初等函数微分公式第152页2.函数和、差、积、商微分法则第153页例2解例3解第154页六、微分形式不变性结论：微分形式不变性第155页例4解例3解第156页例5解在以下等式左端括号中填入适当函数,使等式成立.第157页七、小结微分学所要处理两类问题:函数改变率问题函数增量问题微分概念导数概念求导数与微分方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用科学,叫做微分学.导数与微分联络:★★第158页导数与微分区分:★第159页思索题第160页思索题解答说法不对.

从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到，导数是从函数改变率问题归纳出函数增量与自变量增量之比极限，它们是完全不一样概念.第161页练习题第162页第163页练习题答案第164页第165页一、计算函数增量近似值例1解第166页二、计算函数近似值例1解第167页第168页惯用近似公式证实第169页例2解第170页三、误差预计因为测量仪器精度、测量条件和测量方法等各种原因影响，测得数据往往带有误差，而依据带有误差数据计算所得结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.定义：问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?第171页方法:将误差确定在某一个范围内.通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.第172页例3解第173页四、小结近似计算基本公式第174页练习题第175页第176页练习题答案第二章习题课第177页求导法则基本公式导数微分关系高阶导数高阶微分一、主要内容第178页1、导数定义定义第179页2.右导数:单侧导数1.左导数:第180页2、基本导数公式（常数和基本初等函数导数公式）第181页3、求导法则(1)函数和、差、积、商求导法则(2)反函数求导法则第182页(3)复合函数求导法则(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数求导方法求出导数.适用范围:第183页(5)隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(6)参变量函数求导法则第184页4、高阶导数记作二阶导数导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上导数统称为高阶导数)第185页5、微分定义定义(微分实质)第186页6、导数与微分关系定