锐角三角函数 知识点总结+典型例题

锐角三角函数知识点总结+经典例题正弦函数正弦函数的概念正弦函数的应用已知边长求正弦值已知正弦值求边长∠A的对边斜边sinA=

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA

即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有ABCcab对边斜边∠A的对边斜边sinA=例

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：（1）在Rt△ABC中，因此（2）在Rt△ABC中，因此利用正弦的定义求有关角的正弦值ABC34（1）ABC135（2）

求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比.,,,,..例

如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.解：如图，设点A(3，0)，连接PA.A(3，0)在Rt△APO中，由勾股定理得因此α在平面直角坐标系内求锐角的正弦值例

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积.ABC提示：已知sinA

及∠A的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长.然后再利用勾股定理，求出AC的长度，进而求出sinB及Rt△ABC的面积.利用正弦求直角三角形的边长∴

AB=3BC=3×3=9.∴∴∴ABC解：∵在Rt△ABC中，

∴.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，AB=c，则BC=ck，AC=ch.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，BC=a，则归纳：ABC，.解：设BC=7x，则AB=25x，在Rt△ABC中，由勾股定理得即24x=24cm，解得x=1cm.故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.所以△ABC

的周长为AB+BC+AC=7+24+25=56

(cm).利用方程和正弦求直角三角形中线段的长度例

在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，，求这个三角形的周长．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,,AC=12.求sinB的值.513解:在Rt△ABC中,设AB=13x，BC=5x,由勾股定理得：(5x)2+122=(13x)2.ABC12解得x=1.所以AB=13，BC=5.因此如图，在△ABC中，AB=BC

=5，，求△ABC

的面积.D55CBA解：作BD⊥AC于点D，

∴又∵

△ABC为等腰三角形,BD⊥AC,∴AC=2AD=6，∴S△ABC=AC×BD÷2=12.∵，求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值.

如图,∠C=90°，CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比得到?若AC=5,CD=3,求sinB的值.┌ACBD解:∵∠B=∠ACD,

∴sinB=sin∠ACD.在Rt△ACD中,

，

∴

.

∴

,

余弦函数和正切函数余弦正切性质∠A的邻边斜边cosA=∠A的对边tanA=∠A的邻边∠A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关

1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).

2.

sinA、cosA是一个比值（数值）.

3.

sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，正弦:余弦:注意：ABC斜边c∠A的邻边b∠A的对边a如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA.

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.ABC斜边c∠A的邻边b∠A的对边a锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.sinA=

cosA=

tanA=

脑中有“图”，心中有“式”锐角三角函数的定义ABC斜边c∠A的邻边b∠A的对边a∠A的邻边斜边∠A的对边斜边∠A的对边∠A的邻边例

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.ABC106解：由勾股定理,得因此已知直角三角形两边求锐角三角函数的值ABC6又

在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.已知一边及一锐角三角函数值求函数值例

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，

，求cosA,tanB的值．∴解：∵在Rt△ABC中，∴ABC8解：∵在Rt△ABC中，∴∴∴如图，在

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，，求sinA，cosB的值．如图，在

Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为

D.若

AD=6，CD=8.求

tanB的值.解:

∵∠ACB＝∠ADC=90°，∴∠B+∠A=90°,∠ACD+∠A=90°.∴∠B=∠ACD.∴30°，45°，60°角的三角函数值通过三角函数值求角度特殊角的三角函数值两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值？设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，另一条直角边长＝30°60°45°45°30°特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值∴解：

设两条直角边长为a，则斜边长＝60°45°∴∴例

求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°;（2）解：（1）cos260°＋sin260°=1;（2）=0.特殊角的三角函数值的运算提示：sin260°表示（sin60°）2

这道例题的两个式子中包含几种运算？运算顺序是怎样的？计算：(1)sin30°+cos45°；解：（1）原式

(2)

sin230°+cos230°－tan45°.（2）原式＝1-1＝0.解：在Rt△ABC中,

ABC∴∠A=45°.∵利用三角函数值求特殊角例

(1)

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，

，

，求∠A的度数；解：在Rt△ABO中

ABO∴

α=60°.(2)

如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，

，求α

的度数.∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，

求∠A，∠B的度数．ABC解：由勾股定理,得∴∠

A=30°,∠B=90°－∠A=90°－30°=60°.∴例

已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，试判断△ABC的形状．

∴tanA＝1，

，

∠C＝180°－45°－60°＝75°，

∴△ABC是锐角三角形．特殊角的三角函数值的应用解：∵(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，∴∠A＝45°，∠B＝60°，已知：求∠A，∠B的度数.解：即∴∴∵3.求满足下列条件的锐角α.(1)2sinα－=0；

(2)tanα－1=0.∴∠α=60°.(2)tanα=1，

解：(1)

，

∴∠α=45°.已知

α为锐角，且

tanα是方程x2+2x－3=0的一个根，求2sin2α

+cos2α

－tan(α+15°)的值．解：解方程x2+2x－3=0，得x1=1，x2=－3.∵tanα

＞0，∴tanα=1，∴α

=45°.∴2sin2α

+cos2α

－tan(α+15°)=2sin245°+cos245°－tan60°

如图，在△ABC中，AD⊥BC，M为AB的中点，∠B=30°，

.

求tan∠BCM.

EMDCBA解：过点M作ME⊥BC于点E.∴CD=AD,又∵M是AB的中点∴BE=DE，AD=2ME.又∵∠B=30°，∵AD⊥BC，∴∴∴如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，请验证sin2

α

+cos2

α

=1的结论.证明：在Rt△ABC中，a2+b2=c2，bABCacα∴解直角三角形依据解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.勾股定理两锐角互余锐角的三角函数在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=30,b=20,解这个直角三角形.解：根据勾股定理，得ABCb=20a=30c∵∴如图，在Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC675°已知一边和一锐角解直角三角形例如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).ABCb20ca35°解：已知一边和一锐角解直角三角形在Rt△ABC,∠C=90°,∠A=45°,c=4解这个直角三角形.CBA45°c=4解：∵∠A=45°，∴∠B=90°—∠A=45.ab∵∴∵∴也可以：∵

∠A=∠B=45°，∴b=a=.解：过点A作AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=

AC·sinC=2sin45°=

.在△ABD中，∠B=30°，

如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.DABC∴∴

如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，

，BC=5，试求AB的长.ACB设在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解.已知一边和三角函数值解直角三角形∴∵解：∵∴∴（舍去）.∴AB的长为解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，

如图，在△ABC中，BC=12，，B=30°；求AC和AB的长．H∴，，∴，∴AH=8，在Rt△ACH中，，∴.

在

Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝72°，c=14.

根据条件解直角三角形.ABCbac=14∵解：∵∴∴如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC

的平分线，解这个直角三角形.∵AD平分∠BAC，DABC6∴∠CAD=30°.

解：∵∴∴∠CAB=60°,

∠B=30°,（2）两锐角之间的关系；（3）边角之间的关系.（1）三边之间的关系；ABabcC利用解直角三角形解答简单的问题ABC小明乘坐索道缆车继续从点B到达比点B高200m的点C，

如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，缆车行进速度为2m/s，小明需要多长时间才能到达目的地？ABDCE60°200m小明需要115.5s才能到达目的地.解：231÷2=115.5（s）30°

2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）？OFPQFQ是☉O的切线，∠FQO为直角.最远点求

PQ的长，要先求∠POQ的度数建立直角三角形模型解答简单的问题解：设∠FOQ=α，FQ是⊙O切线，△FOQ是直角三角形．

当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.OFPQ∴

的长为小结

归纳总结解直角三角形的应用：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；(3)得到数学问题答案；(4)得到实际问题答案.注：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米？ABC解：如图所示，依题意可知∠B=

60°

答：梯子的长至少4.62米.

如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？0.5m3m60°建立直角三角形模型解答生活问题0.5m3mABCDE60°分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知DE=0.5m，AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB为直角三角形，求CE的长度.解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，3mABDE60°C∴AC=ABcos∠CAB=1.5m.∴

CD=AD－AC=1.5m.∴

CE=CD+DE=2.0m.即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.FEA(1)小华去实验楼做实验,两幢实验楼的高度AB=CD=20m,两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°,求南楼的影子在北楼上有多高？北ABDC20m15mEF南解：过点E作EF∥BC，∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.即南楼的影子在北楼上的高度为∴∴(2)小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC至少应为多少米?AB20m?m北DC南答案：BC至少为巩固练习图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）.图1图2解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，易得四边形AHEF为矩形，

∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°.

∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°.

在Rt△ACF中，∵，

∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，

∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），答：操作平台C离地面的高度为7.6m．图2EF·OCBA“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句.如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设AC代表地面，O为地球球心，C是地面上一点，

AC=500km，地球的半径为6370km，cos4.5°=0.997)？解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是看C点，AB就是“楼”的高度，∴

AB=OB－OA=6389－6370=19(km).即这层楼至少要高19km，即19000m.这是不存在的.在Rt△OCB中，∠O·OCBA如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆.拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号）G∴CD=CG+DG=(+1.5)

(米)，∴

(米).解：作AG⊥CD于点G，则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.∴(米).例

如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45°，求飞机的高度.（结果取整数.参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）AB37°45°400米P两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题ABO37°45°400米P设PO=x米，在Rt△POB中，∠PBO=45°，在Rt△POA中，∠PAB=37°，OB=PO=x米.解得x=1200.解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.即故飞机的高度为1200米.如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．(1)

求点B到AD的距离；

答案：点B到AD的距离为20m.E(2)求塔高CD（结果用根号表示）．解：在Rt△ABE中，∵∠A=30°，∴∠ABE=60°.∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°.∴DE=EB=20m，则在Rt△ADC中，∠A=30°，答：塔高CD为m.∴

(m).E

如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5m.那么该塔有多高?(结果精确到1m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?D′AB′BDC′C解：由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，D′C′=50m.

∴D′B′=x·tan60°，C′B′=x·tan30°，∴x·tan60°-x·tan30°=50，D′AB′BDC′C∵∴

∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°.设AB′=xm.∴∴解：由题意，AC＝AB＝610（米）.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81）(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；解：DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，

.(2)

求大楼的高度CD（精确到1米）.∴

BE＝DEtan39°．∵CD＝AE，∴CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）.例

如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？65°34°PBCA有关方向角的实际问题——距离解：如图，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130nmile．65°34°PBCA

例

海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BAC60°有关方向角的实际问题——预测路线30°解：过A作AF⊥BC于点F，

则AF的长是A到BC的最短距离.

∵BD∥CE∥AF，

∴∠DBA=∠BAF=60°，

∠ACE=∠CAF=30°，

∴∠BAC=∠BAF－∠CAF

=60°－30°

=30°.北东ACB60°30°DEF如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732，≈1.414)?北东例1

如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)

利用坡度、坡角解答大坝问题解：过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，则AF=AB·sin60°=(m)，在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，则(m).故改造后的坡长AE

为m.F例

如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？i=1:2利用坡度、坡角解答山坡问题在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，解：用α