答案第6讲直线与圆锥曲线位置关系知识预习

例题已知椭圆4

= ，直线 =

7)∪(7,7]∪[7, =C. =C.77D.77D联立{ y=x+

，消去y并整理得：7x2+8mx+4(m2−3=直线与椭圆有两个交点Δ=64m2447(m23>0，解得

7<m 7如果过点M(−2,0)的直线 (−∞, 222

2

+y2=1有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是 [2,[11—2,[−2 2 【答案 【解析 解：设过点M(−2,0)的直线l的方程为y=k(x+联立{y=k(x2，得(2k2+1x2+8k2x8k2−2=2x2+y2=2∵过点M(−2,0)的直线l2+y2=1∴Δ=64k4−4(2k2+1)(8k2−2)⩾解得−2⩽k 2 ∴直线l的斜率k的取值范围是[−2 例题x直线ykxk

+ 2 2

∴直线y=kx+k与椭

故选达标检测9

2y+m=1恒有公共点，则实数m的取值范围是 y(1,[1,[1,9)∪(9,(9,【答案 ∴要使直线2kx−y+1=0与椭

∴0++ +

⩽1，即m0或m⩾又

m>0且m/9，1m9或m例题已知椭圆9

= +2 = +2+18=． 135 解：由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l:x+2y+18=0与椭圆不相交，设直线m平行于2线l，则直线m的方程可以写成x+2y+k=0(1)，x2+y=由方程组{ 消去x，得25y2+16ky+4k2−36=0x+2y+k=令方程(2)的根的判别式Δ0，得162k2425(4k23603)，解方程(3)得k1=5或k2=−5，∴当k1=5时，直线m与椭圆交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为x+2y+5=直线m与直线l间的距离d=∣18−5∣=1351+

13．5达标检测 若椭圆16+1

【答案 解：设椭

=1上的点为P(3cosθ4sinθ)，0⩽θ<则椭

1上的点到直线yxm∣3cosθ4sinθm∣=∣5sinθ+αm，其中tanα3d 1+ ∵椭圆

91上的点到直线y=xm的最短距离是m3(舍)或m∴m例题判断下列直线与双曲线5

= =①y=x−1；②2x 5y+1=0；③y=2x−【答案 见解 x2−y2=解：①联立{ ，得x2−10x+25=0，Δ=0，∴相切；②联y=x−x2−y2={2x

5y+1=

，得4x+1=−x2−y2=∴相交(只有一个交点)；③联立{ ，得16x2−20x+25=0，Δ<0，∴相离y=2x−例题已知双曲线x2−y2=4，直线l:y=k(x1)【答案 见解 x2−y2= 联立方程组 ，得(1−k)x+2kx−k−4=y=k(x−当1−k2=0，即k=±1时，方程①化为2x=5，方程组有一解，故直线与双曲线有一个公/若{43k2>0，即23

k<23，且k=/±11−k2/ 24−3k2 2 ，即k= 1−k2/ 若{43k2<0，即k23或k>231−k2/ 综上所述，当k1或k23时，直线与双曲线有一个公共点；当23k−1 −1<k<1或1<k<23时，直线与双曲线有两个公共点；当k23或k>23 达标检测9

x2—过点(5,4123

9=1有且只有一个公共点，这样的直线有 4【答案 【解析 当x=

时，y=± ，显然点(5,9)在双曲线上，过点(5,9)作直线，与双曲 – y2= – 有且只有一个公共点的直线有条．第条是双曲线的切线，第 3条．故选例题顶点在原点，焦点在x轴正半轴的抛物线，经过点(3,6)，讨论直线y=kx+1与抛物线的位置关系，并【答案 见解【解析 解：设抛物线的方程为：y2=2px(p>∵抛物线经过点(3,∴36=2p×3，解得：p=∴抛物线方程为：y2=当k=0时，y=1/y2=当Δ=4(k−6)2−4k2>0，即k<3时，当Δ=4(k−6)2−4k2<0，即k>3当Δ=4(k−6)2−4k2=0，即k=3时，综上可知：当k>3时，直线y=kx+1当k=3时，直线y=kx+1与抛物线相切，直线与抛物线有一个公共点；当k<3且k=/0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当k=0例题已知抛物线方程为y2=8x，直线l过点P(2,4)且与抛物线只有一个公共点，求直线l【答案 见解【解析 由题意知，直线l的斜率存在设l的方程为y4=k(x2)，代入抛物线y2=8x，得ky28y16k32=当k=0时，满足题意，此时l为y=0．综上，l的方程为y=4或x−y+2=0．达标检测过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有 1230【答案 【解析 根据题意，可①当直线过点A(0,1)且与x轴平行时，方程为y=与抛物线y2=4x只有一个公共点，坐标为(14②当直线斜率不存在时，直线x=0与抛物线y2=4x③当直线斜率存在且不为0时，设过点A(0,1)的直线与抛物线相切于点B，直线ABy=kx+1(k/{由y=kx1消去y，得k2x22k4)x1{y2=Δ2k4)24k20，解得k1，所以直线方程为yx综上所述，存在三条直线：y=1、x=0和y=x+1满足过点A(0,1)且与抛物线y2=4x只有故选45+3=0与椭圆 若直线kx−

16+4=1有两个公共点，则实数k的取值范围是 (−5 5 [−5 5 (−∞,−5)∪(5, (−∞,−5)∪(−5 5 【答案 【解析 y=kx+由

+4=+