警惕三角形中的“陷阱”

精品文档-下载后可编辑警惕三角形中的“陷阱”三角形是最简单、最基本的几何图形,是研究其他图形的基础,在现实生活中和科学研究中有着广泛应用.但很多同学在解答相关问题时容易被题设的陷阱所迷惑,本文特选取几例分析如下,供同学们参考.

一、三角形三边关系中的陷阱

例1长度为5cm、8cm、3cm的3条线段能否组成三角形?

错解:因为5+8>3,所以这3条线段能组成三角形.

错因分析:认为只要满足两边的和大于第三边就可以了.而要构成三角形,3条边必须满足任意两边之和大于第三边,一定不要忽略“任意”二字.在具体应用时,可判断两条较短的线段之和是否大于第三条线段,当两条较短线段的和大于第三条(较长)线段时,就可断定任意两条线段的和都大于第三条线段.

正解:因为5+3=8,所以5cm、8cm、3cm这3条线段不能组成三角形.

点拨:在运用三角形的三边关系定理判断3条边能否组成三角形时,通常取较小两边的和与最大边比较.

例2如图1,为估计池塘岸边A、B的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=15米,OB=10米,A、B间的距离不可能是().

A.20米B.15米C.10米D.5米

错解:A.

错因分析:本题主要考查三角形的三边关系,AB满足下列关系式OA-OB

正解:D.

点拨:三角形的三边关系是两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,解题时要注意正确应用.

二、三角形外角推论中的陷阱

例3“三角形的外角大于三角形的内角”这种说法对吗?

错解:正确.

错因分析:没有考虑外角与内角的位置关系.三角形的外角总大于与它不相邻的内角,当三角形是直角三角形或钝角三角形时,与直角或钝角相邻的外角就不大于该角.

正解:三角形的外角总大于与它不相邻的内角.

点拨:三角形的外角具有“大于与其不相邻的两个内角”,“与其相邻的内角具有互补”的特点.

例4如图2,在ABC中,AB=AC,与∠BAC相邻的外角为80,则∠B=_________.

图2

错解:50.

错因分析:没有认真审题,误认为∠BAC为80.

正解:因为AB=AC,与∠BAC相邻的外角为80,根据三角形外角与其不相邻两内角的关系可得,∠B=∠C=40.

点拨:在解题时要认真读题,明确三角形的外角与内角之间的关系.

三、等腰三角形边、角关系中的陷阱

例5已知一个等腰三角形的一边长为6,另一边长为7,则这个等腰三角形的周长为().

A.19B.20C.19或20D.13

错解:A.

错因分析:考虑问题不周全.由等腰三角形的性质可知,腰长可以是6或7,根据等腰三角形的三边关系可知腰长是6或7都符合要求,当腰长为6时,等腰三角形的周长是19;当腰长为7时,等腰三角形的周长为20.所以此题的答案为19或20.

正解:C.

点拨:在遇到等腰三角形问题时,要考虑到所有可能出现的情况,然后再根据三角形的三边关系来确定出最终答案.

例6在等腰三角形中,有一个角为70,则另外两个角的度数为().

A.55,55B.70,40

C.55,55或70,40D.55,70

错解:A.

错因分析:在没有明确已知角是底角或顶角时,要分两种情况讨论.当已知角是顶角时,根据等腰三角形两个底角相等的性质可知两个底角是(180-70)÷2=55;当已知角是底角时,则另一个底角也是70,所以可知这个等腰三角形的顶角为(180-70×2)=180-140=40.通过以上分析可知,此题的答案为55,55或70,40.

正解:C.

点拨:在遇到求等腰三角形的角的问题时,要分底角与顶角两种情况来讨论.

四、三角形全等判定中的陷阱

例7如图3,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定ABC≌ADC的是().

A.CD=CBB.∠BAC=∠DAC

C.∠BCA=∠DCAD.∠B=∠D=90

错解:A.

错因分析:没有仔细审题.由已知与图形可知,在这两个三角形中,已经具备两条边分别相等的条件了,要添角必须为这两边的夹角,或者所添角为直角才可以,所以应选C.

正解:C.

点拨:已知两边对应相等,要添的条件可以是第三边相等的两个三角形全等,也可以是这两边的夹角相等.但在直角三角形中,只要知道任意两边对应相等,就可以确定这两个直角三角形全等.

例8用尺规作图法作∠AOB的平分线的方法如图4所示,以O为圆心,任意长为半径画弧交OA、OB于C、D,再分别以点C、D为圆心,以大于CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP.由作法可得OCP≌ODP,根据是().

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

错解:A.

错因分析:误认为∠COP=∠DOP.由题意可知,P点是以点C、D为圆心,以大于CD长为半径画弧的交点,所以有PC=PD,故选D.

正解:D.

点拨:在解题时不要凭直觉想象,应做到每个结论的得出都有依据.

五、三角形全等应用中的陷阱

例9已知图5、图6是两个全等的三角形,则∠α的度数是().

A.72B.60C.58D.50

错解:A.

错因分析:受思维定式的影响,误认为对应的最右边的角就是∠α.只要仔细观察这两个图形不难发现,a,c两边的夹角才与∠α对应相等,故应选D.

正解:D.

点拨:在判断两全等三角形的边角关系时,要注意一定是对应的角或边才相等.

例10如图7所示,已知AE=CE,EH=EB,CBAE于B.求证:AF=CF.

错解:在AEH和CEB中,AE=CE,EH=EB,

AEH≌CEB(HL),∠A=∠C.

又AE=CE,EH=EB,

AE-BE=CE-EH,即AB=CH.

在ABF和CHF中,∠A=∠C,AB=CH,∠ABF=∠CHF,

ABF≌CHF,

AF=CF.

错因分析:本题出错的原因有两方面,一是在不知AEH为直角三角形的情况下,误用斜边直角边定理(HL)证明AEH≌CEB;二是仅凭直观印象认为∠CHF是直角,缺乏理论根据.

正解:在AEH和CEB中,AE=CE,EH=EB,∠AEH=∠CEB,

AEH≌CEB,∠A=∠C.

又AE=CE,EH