人教A版（2023）必修第一册《4.1 指数》提升训练(含解析)

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）下列计算错误的是

A.B.

C.D.

2.（5分）的值是

A.B.C.或D.

3.（5分）用分数指数幂表示其结果是

A.B.C.D.

4.（5分）已知，下列各式中正确的个数是

①②③④

A.B.C.D.

5.（5分）函数为自然对数的底数对任意实数、，都有

A.B.

C.D.

6.（5分）化简得

A.B.C.D.

7.（5分）若，则

A.B.C.D.

8.（5分）化简的结果为

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）下列各式中一定成立的有

A.B.

C.D.

10.（5分）下列根式与分数指数幂的互化正确的是

A.B.

C.D.

11.（5分）已知函数，，函数则关于的说法正确的有

A.有最大值，无最小值

B.有最大值，最小值

C.增区间是和，减区间是和

D.增区间是和，减区间是和

12.（5分）下列运算结果中，一定正确的是

A.B.

C.D.

13.（5分）下列各式不正确的是

A.B.

C.D.

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）已知，那么____

15.（5分）有，两种理财产品，出资这两种理财产品所能获得的年利润分别是和万元，它们与投入资金万元的关系有经验方程式：，，今有万元资金出资到，两种理财产品，可获得的最大年利润是__________万元.

16.（5分）根式______．

17.（5分）________.

18.（5分）化简：______.

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）化简或计算下列各式：

；

20.（12分）计算：

；

21.（12分）计算：；

已知实数，满足，求的值．

22.（12分）已知圆经过，两点，圆心在直线上.

求圆的标准方程.

已知点，不经过的直线与圆交于，两点，若，试问直线是否过定点若过定点，求出该定点的坐标若不过定点，请说明理由.

23.（12分）化简求值．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：，故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，故D错误．

计算错误的是．

故选：．

四个选项逐个计算即可得答案．

该题考查了根式与分数指数幂的化简及其化简运算，是基础题．

2.【答案】C;

【解析】此题主要考查了指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题．

利用指数幂运算性质即可得出．

解：原式

3.【答案】B;

【解析】

该题考查分数指数幂的化简，是基础题，解题时要认真审题，注意分数指数幂与根式的互化公式的合理运用．

利用分数指数幂与根式的互化公式直接求解．

解：，

．

故选：．

4.【答案】C;

【解析】

此题主要考查指数幂的运算，考查学生的计算能力，利用运算法则逐个验证即可，难度一般.

解：因为，

所以平方得，①正确；

所以，所以，②正确；

因为，所以，不可能为负，③错误；

因为，所以，④正确.

故选

5.【答案】A;

【解析】

这道题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．

根据有理数指数幂的运算性质直接可得到结论．

解：

选项A正确

故选A．

6.【答案】D;

【解析】解：，，

原式

故选：．

利用指数幂的运算法则即可得出．

该题考查了指数幂的运算法则，属于基础题．

7.【答案】D;

【解析】解：，

，

且，且与范围相同，

且，

，解得，

，

故选：．

原等式可化为，因为且，且与范围相同，

所以且，从而求出，，所以．

此题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．

8.【答案】C;

【解析】

此题主要考查了指数幂的运算，属于基础题.

解：，

故选

9.【答案】BD;

【解析】解：，故A不正确；

，故B正确；

，故C不正确；

，，故D正确，

故选：．

由题意利用有理指数幂与根式的互化，得出结论．

这道题主要考查有理指数幂与根式的互化，属于基础题．

10.【答案】CD;

【解析】

此题主要考查根式与分数指数幂的互化，属基础题.

根据性质，即可求出结果.

解：选项，，所以不正确；

选项，，所以不正确；

选项，，所以正确；

选项，，所以正确.

故选

11.【答案】CA;

【解析】

此题主要考查了函数的图象，以及函数求最值，同时考查了分析问题的能力和作图的能力，属于中档题．

先根据新定义求出，再画出的图象，再根据图象可求出函数的最大值和最小值

解：在同一坐标系中先画出与的图象，

当时，，表示的图象在的图象下方的图象，

当时，，表示的图象在的图象下方的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，增区间是和，减区间是和

故选

12.【答案】AD;

【解析】解：选项，正确；

选项，错误；

选项当时，，当时，，错误；

选项，正确．

故选：

根据有理数指数幂的运算法则计算．

考查了有理数指数幂的运算，属于基础题．

13.【答案】BCD;

【解析】【解析】

由次方根的定义可知对，

，是错的

，是错的

，所以是错的，故选、、

14.【答案】;

【解析】

此题主要考查了分数指数幂的运算，掌握计算技巧是解答该题的关键.

解：因为，

所以，

即，

所以

故答案为

15.【答案】;

【解析】

此题主要考查函数模型的选择与应用，注意解题方法的积累，属于中档题．

设对种理财产品出资万元，则对种理财产品的出资为万元，获总利润为万元，列出函数表达式，求解即可.

解：设对种理财产品出资万元，则对种理财产品的出资为万元，获总利润为万元，；

令，则，

，

当时此时，满足条件，的最大值为

故答案为

16.【答案】3-π;

【解析】解：为奇数，．

故答案为：．

直接由有理指数幂的运算性质得答案．

该题考查有理指数幂的运算性质，是基础题．

17.【答案】;

【解析】

此题主要考查根式的化简.

解：原式

故答案为

18.【答案】;

【解析】解：原式

故答案为：

利用指数幂的运算性质即可得出．

此题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．

19.【答案】解：（1）16-（）-（）+（）0+

=

=；

（2）（ab）×（-3ab）÷（ab）

=．;

【解析】

化负指数为正指数，化指数幂为，整理后得答案；

直接利用有理指数幂的运算性质化简得答案．

此题主要考查有理指数幂的化简求值，是基础的计算题．

20.【答案】解：（1）原式=-+

=0．

（2）原式=+10-1×（-2）+-3+

=

=100-3+

=100．;

【解析】

利用指数幂的运算法则即可得出．

此题主要考查了指数幂的运算法则，属于基础题．

21.【答案】解：（1）原式=-4-1+0.5×4=-3，

（2）实数a，b满足2a=3b=6，

则a=lo6，b=lo6，

∴=lo2+lo3=lo6=1．;

【解析】

根据指数幂的运算性质可得，

利用换底公式的性质，即可求出．

该题考查了指数幂的运算性质和换底公式，属于基础题．

22.【答案】解：方法一：依题意可设圆心，半径为，

由，得，

解得，，，

所以圆的标准方程为

方法二：线段的中点为，且，

则线段的中垂线的方程为，

联立方程组，解得，即圆心与坐标原点重合.

所以半径，故圆的标准方程为

设，，

联立方程组，消去得，

由，可得

则，

因为，所以直线，的斜率互为相反数，

则，

整理得，

即，

化简得，直线恒过点，显然点在圆内，满足，

此时方程有两个不等实根，

所以直线过定点;

【解析】此题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系及其应用，属于中档题.

方法一：根据圆心的位置设出圆心坐标，由可得到关于的等式，求出的值即可求出圆的标准方程；方法二：根据圆的圆心在的中垂线上和直线上，列出方程组并求解，即可求出圆心坐标，进而求出半径，即可求出圆的标准方程.

设，，联立直线与圆