概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)(完整版)资料

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概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)习题一1.设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算式表示下列事件：（1）A发生而B与C都不发生；（2）A，B，C至少有一个事件发生；（3）A，B，C至少有两个事件发生；（4）A，B，C恰好有两个事件发生；（5）A，B至少有一个发生而C不发生；（6）A，B，C都不发生.解：（1）A或ABC或A（B∪C）.（2）A∪B∪C.（3）（AB）∪（AC）∪（BC）.（4）（AB）∪（AC）∪（BC）.（5）（A∪B）.（6）或.2.对于任意事件A，B，C，证明下列关系式：（1）(A+B)(A+)(+B)(+)=；（2）AB+B+A+=AB；（3）A-(B+C)=(A-B)-C.证明：略.3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求：（1）A发生但B不发生的概率；（2）A，B都不发生的概率；（3）至少有一个事件不发生的概率.解（1）P（A）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4；(2)P()=P()=1-P(A∪B)=1-0.7=0.3；(3)P(∪）=P(）=1-P(AB)=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。求下列事件的概率。（1）至少购买一种电器的；（2）至多购买一种电器的；（3）三种电器都没购买的.解：（1）0.28,（2）0.83,（3）0.725.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。解：8/156.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。（1）3本一套放在一起；（2）两套各自放在一起；（3）两套中至少有一套放在一起.解：（1）1/15，（2）1/210，（3）2/217.12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：（1）每班各分配到一名优秀生的概率；（2）3名优秀生分配到同一个班的概率.解12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为（1）设A表示“每班各分配到一名优秀生”3名优秀生每一个班分配一名共有3！种分法，而其他9名学生平均分配到3个班共有种分法，由乘法原理，A包含基本事件数为3！·=故有P（A）=/=16/55（2）设B表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到同一班共有3种分法，其他9名学生分法总数为，故由乘法原理，B包含样本总数为3·.故有P（B）=/=3/558.箱中装有a只白球，b只黑球，现作不放回抽取，每次一只.（1）任取m+n只，恰有m只白球，n只黑球的概率（m≤a,n≤b）;(2)第k次才取到白球的概率（k≤b+1）;（3）第k次恰取到白球的概率.解（1）可看作一次取出m+n只球，与次序无关，是组合问题.从a+b只球中任取m+n只，所有可能的取法共有种，每一种取法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.从a只白球中取m只，共有种不同的取法，从b只黑球中取n只，共有种不同的取法.由乘法原理知，取到m只白球，n只黑球的取法共有种，于是所求概率为p1=.(2)抽取与次序有关.每次取一只，取后不放回，一共取k次，每种取法即是从a+b个不同元素中任取k个不同元素的一个排列，每种取法是一个基本事件，共有个基本事件，且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.前k-1次都取到黑球，从b只黑球中任取k-1只的排法种数，有种，第k次抽取的白球可为a只白球中任一只，有种不同的取法.由乘法原理，前k-1次都取到黑球，第k次取到白球的取法共有种，于是所求概率为p2=.(3)基本事件总数仍为.第k次必取到白球，可为a只白球中任一只，有种不同的取法，其余被取的k-1只球可以是其余a+b-1只球中的任意k-1只，共有种不同的取法，由乘法原理，第k次恰取到白球的取法有种，故所求概率为p3=.9.在区间（0，1）内任取两个数，求这两个数的乘积小于1/4的概率.解设在（0，1）内任取两个数为x,y，则0＜x＜1,0＜y＜1图1-7即样本空间是由点（x，y）构成的边长为1的正方形Ω，其面积为1.令A表示“两个数乘积小于1/4”，则A={（x,y）｜0＜xy＜1/4,0＜x＜1,0＜y＜1}事件A所围成的区域见图1-7，则所求概率P(A)=.10.两人相约在某天下午5∶00~6∶00在预定地方见面，先到者要等候20分钟，过时则离去.如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到面的概率.解设x,y为两人到达预定地点的时刻，那么，两人到达时间的一切可能结果落在边长为60的正方形内，这个正方形就是样本空间Ω,而两人能会面的充要条件是｜x-y｜≤20，即x-y≤20且y-x≤20.令事件A表示“两人能会到面”，这区域如图1-8中的A.则P(A)=11.一盒中装有5只产品，其中有3只正品，2只次品，从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品条件下，第二次取到的也是正品的概率.解设A表示“第一次取到正品”的事件，B表示“第二次取到正品”的事件由条件得P（A）=(3×4)/(5×4)=3/5，P(AB)=(3×2)/(5×4)=3/10，故有P（B｜A）=P（AB）/P（A）=(3/10)/(3/5)=1/2.此题也可按产品编号来做，设1，2，3号为正品，4，5号为次品，则样本空间为Ω={1，2，3，4，5}，若A已发生，即在1，2，3中抽走一个，于是第二次抽取所有可能结果的集合中共有4只产品，其中有2只正品，故得P（B｜A）=2/4=1/2.12.设P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（B｜A∪).解13.设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率.解设Ri(i=1,2,3,4)表示第i次取到红球的事件，(i=1,2,3,4)表示第i次取到白球的事件.则有14.仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。解：0.9215.有两箱同类零件，第一箱有50个，其中10个一等品，第二箱有30个，其中18个一等品。现任取一箱，从中任取零件两次，每次取一个，取后不放回。求：（1）第二次取到的零件是一等品的概率；（2）在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品的条件概率；（3）两次取到的都不是一等品的概率。解：设表示取到第一箱零件，：表示第ｉ次取到一等品，由全概率公式知：16.设有甲乙两袋，甲袋中有只白球、只红球；乙袋中有只白球、只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球.问从乙袋中取到白球的概率是多少？解：记：甲袋中取得白球；：甲袋中取得红球；：从乙袋中取得白球；由全概率公式17.一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？解：取出产品是B厂生产的可能性大。18.由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0.95现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率.解设A表示“患有癌症”，表示“没有癌症”，B表示“试验反应为阳性”，则由条件得P（A）=0.005,P()=0.995，P(B｜A)=0.95,P(｜）=0.95由此P（B｜）=1-0.95=0.05由贝叶斯公式得P（A｜B）==0.087.19.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?解设必须进行n次独立射击.即为故n≥11至少必须进行11次独立射击.20.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为1/5，1/3，1/4，求将此密码破译出的概率.解设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则21.设在N件产品中有M件次品，现进行n次有放回的检查抽样，试求抽得k件次品的概率.解由条件，这是有放回抽样，可知每次试验是在相同条件下重复进行，故本题符合n重贝努里试验的条件，令A表示“抽到一件次品”的事件.则P（A）=p=M/N,以Pn(k)表示n次有放回抽样中，有k次出现次品的概率，由贝努里概型计算公式，可知Pn(k)=,k=0,1,2,…，n.22.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.解掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为故习题二1.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布律：（1）放回；（2）不放回.解（1）12123410/13(3/13)(10/12)(3/13)(2/12)(10/11)(3/13)(2/12)(1/11)2.设随机变量X的分布律为P{X=k}=，其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.解由分布律的性质知故3.（1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人.三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利.问：对系队来说，哪一种方案有利？解设系队得胜人数为X，则在上述三种方案中，系队胜利的概率为（1）P{X≥2}=≈0.352；(2)P{X≥3}=≈0.317；(3)P{X≥4}=≈0.290.因此第一种方案对系队最为有利.这在直觉上是容易理解的，因为参赛人数越少，系队侥幸获胜的可能性也就越大.4.一篮球运动员的投篮命准率为45%，以表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出的分布律，并计算取偶数的概率.解：随机变量所有可能的取值为:，分布律为：,：一列互不相容的事件的和，所以.5.某十字路口有大量汽车通过，假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为0.001，如果每天有5000辆汽车通过这个十字路口，求发生交通事故的汽车数不少于2的概率.解设X表示发生交通事故的汽车数，则X~b(n,p),此处n=5000，p=0.001，令λ=np=5，P{X≥2}=1-P{X＜2}=1-=1-(0.999)5000-5(0.999)4999≈.查表可得P{X≥2}=1-0.00674-0.03369=0.95957.6.设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。解7.设随机变量X分布函数为F（x）=（1）求常数A，B；（2）求P{X≤2}，P{X＞3}；（3）求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2）(3)8.设随机变量X的概率密度为f（x）=求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.【解】当x<0时F（x）=0当0≤x<1时当1≤x<2时当x≥2时故9.设随机变量X的密度函数为（1）f(x)=ae-|x|,λ>0;(2)f(x)=试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.【解】（1）由知故即密度函数为当x≤0时当x>0时故其分布函数(2)由得b=1即X的密度函数为当x≤0时F（x）=0当0<x<1时当1≤x<2时当x≥2时F（x）=1故其分布函数为10.设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-).求：（1）系数A与B；（2）X落在（-1，1）内的概率；（3）X的分布密度。解eq\o\ac(○,1)A=1/2，B=；eq\o\ac(○,2)1/2；eq\o\ac(○,3)f(x)=1/[(1+x2)]11.某公共汽车站从上午7时开始，每15分钟来一辆车，如某乘客到达此站的时间是7时到7时30分之间的均匀分布的随机变量，试求他等车少于5分钟的概率.解设乘客于7时过X分钟到达车站，由于X在［0，30］上服从均匀分布，即有f(x)=显然，只有乘客在7∶10到7∶15之间或7∶25到7∶30之间到达车站时，他（或她）等车的时间才少于5分钟，因此所求概率为P{10＜X≤15}+P{25＜X≤30}==1/3.12.设X~N（3，22），（1）求P{2＜X≤5}，P{-4＜X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};（2）确定c使P{X＞c}=P{X≤c}.【解】（1）(2)c=313.公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在1%以下来设计的.设男子身高X服从=170(cm),=6(cm)的正态分布，即X~N（170，62），问车门高度应如何确定？解设车门高度为h(cm)，按设计要求P{X≥h}≤0.01或P{X＜h}≥0.99，因为X~N（170，62），故P{X＜h}=≥0.99，查表得（2.33）=0.9901＞0.99.故取=2.33，即h=184.设计车门高度为184（cm）时，可使成年男子与车门碰头的机会不超过1%.14.某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.解：记取出的四只电子管寿命分别为，所求概率为，则习题三1.设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值，试求（X，Y）的分布律.解由乘法公式容易求得（X，Y）的分布律，易知{X=i，Y=j}的取值情况是：i=1，2，3，4，j取不大于i的正整数，且P{X=i，Y=j}=P{Y=j｜X=i}P{X=i}=·，i=1，2，3，4，j≤i.于是（X，Y）的分布律为表33XY123412341/41/81/121/1601/81/121/16001/121/160001/162.设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f(x,y)=,求（1）系数A；（2）落在区域D：{的概率。解：(1)12;(2)(1-e-3)(1-e-8)3.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X＜1.5}；（4）求P{X+Y≤4}.【解】（1）由性质有故（2）(3)(4)题5图4.设的联合密度函数为求（1）与中至少有一个小于1/2的概率；（2）大于1的概率.5.设二维连续型随机变量的联合分布函数为求（1）的值，（2）的联合密度，（3）判断的独立性。解：（1）；（2）；（3）独立；6.设的联合密度为，（1）求系数A，（2）求的联合分布函数。（3）求关于及的边缘密度。（4）与是否相互独立？（5）求和。解：（1）（2）（3）；（4）不独立（5）；7.设随机变量X~U(0,1)，当观察到X=x（0＜x＜1）时，Y~U(x,1)，求Y的概率密度fY（y）.解按题意，X具有概率密度fX（x）=类似地，对于任意给定的值x（0＜x＜1），在X=x的条件下，Y的条件概率密度fY｜X（y｜x）=因此，X和Y的联合概率密度为f（x，y）=fY｜X（y｜x）fX（x）=于是，得关于Y的边缘概率密度为fY（y）=8.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为fY（y）=（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】（1）因故题14图(2)方程有实根的条件是故X2≥Y，从而方程有实根的概率为：习题四1.设随机变量X的分布律为X-2-1013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.解Y可取的值为0，1，4，9故Y的分布律为Y0149Pk1/57/301/511/302.证明题设随即变量的参数为2的指数分布，证明在区间（0，1）上服从均匀分布。证明：提示：参数为2的指数函数的密度函数为，利用的反函数即可证得。3.设X~N（0，1）.（1）求Y=eX的概率密度；（2）求Y=｜X｜的概率密度.【解】（1）当y≤0时，当y>0时，故(2)当y≤0时当y>0时故4.设随机变量X~U（0,1），试求：Z=2lnX的分布函数及密度函数.【解】由P（0<X<1）=1知当z≤0时，当z>0时，即分布函数故Z的密度函数为5.设随机变量（X，Y）的分布律为XXY012345012300.010.030.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.05（1）求V=max（X，Y）的分布律；（2）求U=min（X，Y）的分布律；【解】（1）所以V的分布律为V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(2)于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.176.设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）=fY（y）=求随机变量Z=X+Y的分布密度.解X，Y相互独立，所以由卷积公式知fZ（z）=.由题设可知fX（x）fY（y）只有当0≤x≤1，y＞0，即当0≤x≤1且z-x＞0时才不等于零.现在所求的积分变量为x，z当作参数，当积分变量满足x的不等式组0≤x≤1x＜z时，被积函数fX（x）fY（z-x）≠0.下面针对参数z的不同取值范围来计算积分.当z＜0时，上述不等式组无解，故fX（x）fY（z-x）=0.当0≤z≤1时，不等式组的解为0≤x≤z.当z＞1时，不等式组的解为0≤x≤1.所以fZ（z）=，7.设二维随机变量的联合密度函数为求：（1）随机变量的密度函数；（2）随机变量的密度函数；（3）随机变量的密度函数.解：由题意的概率密度函数分别为由两个随机变量和的密度函数公式，要使被积函数非０，必须满足故的密度函数应为8.设随机变量与相互独立，且都服从参数为的泊松(Poisson)分布，证明仍服从泊松分布，参数为.证明：记，则所有可能的取值为：，由离散卷积公式有即服从参数为的泊松分布.9.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的分布函数(1)当z≤0时，（2）当0<z<1时，（这时当x=1000时,y=）(如图a)题15图(3)当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）即故习题五1.公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒）。解10分25秒2.对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间［a，b］内，求球体积的数学期望.解设随机变量X表示球的直径，Y表示球的体积，依题意，X的概率密度为f（x）=球体积Y=，由（4.6）式得E（Y）==3.设排球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？解：平均需赛6场4.一袋中有张卡片，分别记为1，2，﹒﹒﹒，，从中有放回地抽取出张来，以表示所得号码之和，求。解;5.盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数的数学期望和方差。解6.设二维连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)=求：=1\*GB3①常数k..=2\*GB3②及.解k=2,E(XY)=1/4,D(XY)=7/1447.设二维随机变量（X，Y）在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x+=1所围成的三角区域，求E（X），E（Y），E（XY）.解由于（X，Y）在A内服从均匀分布，所以其概率密度f（x，y）=E（X）=E（Y）=E（XY）=8.设随机变量X的概率密度为f（x）=求E（X）和D（X）.解E（X）==0，E（X2）==1/6，于是D（X）=E（X2）-［E（X）］2=1/6.9.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=-1,计算：Cov（3X-2Y+1，X+4Y-3）.解(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).10.设X服从[0,2π]上均匀分布，Y=cosX,Z=cos(X+a)，这里a是常数.求ρYZ.解E（Y）==0,E(Z)==0,D(Y)=E{[Y-E(Y)]2}=,D(Z)=E{[Z-E(Z)]2}=,Cov(Y,Z)=E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}=,因此ρYZ=①当a=0时，ρYZ=1，Y=Z，存在线性关系；②当a=π时，ρYZ=-1，Y=-Z，存在线性关系；③当a=或时，ρYZ=0，这时Y与Z不相关，但这时却有Y2+Z2=1，因此，Y与Z不独立.11.设随机变量（X，Y）的分布律为XY-101-1011/81/81/81/801/81/81/81/8验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.解联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下X101PY101PXY101P由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.又从而X与Y不是相互独立的.12.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.解如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为题12图从而同理而所以.从而13.设（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.解从而同理又故习题六1.设X是掷一颗骰子所出现的点数，若给定ε=1,2，实际计算P{|X-E（X）|≥ε}，并验证契比雪夫不等式成立.解因为X的概率函数是P{X=k}=1/6（k=1，2，…，6），所以E（X）=7/2,D（X）=35/12,P{|X-7/2|≥1=P{X=1}+P{X=2}+P{X=5}+P{X=6}=2/3;P{|X-7/2|}≥2}=P{X=1}+P{X=6}=1/3.ε=1：=35/12>2/3,ε=2：=1/4×35/12=35/48>1/3.可见契比雪夫不等式成立.【解】令而至少要生产n件，则i=1,2,…,n,且X1，X2，…，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8.现要求n,使得即由中心极限定理得整理得查表n≥268.96,故取n=269.3.某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m，而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X~B查表知,m=151.所以供电能151×15=2265（单位）.4.解设一盒重量为X，盒中第i个螺丝钉的重量为Xi(i=1,2,…,100).X1，X2，…，X100相互独立，E（Xi）=1，=0.1，则有X=，且E（X）=100·E（Xi）=100（两），=1（两）.根据中心极限定理，有P{X>102}=≈1-Φ(2)=1-0.977250=0.022750.5.10部机器独立工作，每部停机的概率为0.2，求3部机器同时停机的概率.解10部机器中同时停机的数目X服从二项分布，n=10,p=0.2,np=2,≈1.265.(1)直接计算：P{X=3}=×0.23×0.87≈0.2021;(2)若用局部极限定理近似计算：P{X=3}==0.2308.(2)的计算结果与（1）相差较大，这是由于n不够大.6.在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：（1）保险公司没有利润的概率为多大；（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）.(1)公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”.于是所求概率为(2)因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”于是所求概率为第4章金融机构本章思考题1．试述金融机构的功能。答：金融机构通常提供以下一种或多种金融服务：（1）金融中介机构的基本功能：在市场上筹资从而获得货币资金，将其改变并构建成不同种类的更易接受的金融资产。这构成金融机构的负债和资产业务。（2）金融机构的经纪和交易功能：代表客户交易金融资产，提供金融交易的结算服务；自营交易金融资产，满足客户对不同金融资产的需求。（3）金融机构的承销功能：提供承销的金融机构一般也提供经纪或交易服务，帮助客户创造金融资产，并把这些金融资产出售给其他市场参与者。（4）金融机构的咨询和信托功能：为客户提供投资建议，保管金融资产，管理客户的投资组合。2．试述金融机构的基本类型。答：按照不同的标准，金融机构可划分为不同的类型：（1）按照金融机构的管理地位，可划分为金融监管机构与接受监管的金融企业。（2）按照是否能够接受公众存款，可划分为存款性金融机构与非存款性金融机构。存款性金融机构主要通过存款形式向公众举债而获得其资金来源；非存款性金融机构则不得吸收公众的储蓄存款。（3）按照是否担负国家政策性融资任务，可划分为政策性金融机构和非政策性金融机构。政策性金融机构是指由政府投资创办、按照政府意图与计划从事金融活动的机构。非政策性金融机构则不承担国家的政策性融资任务。（4）按照是否属于银行系统，可划分为银行金融机构和非银行金融机构。（5）按照出资的国别属性，又可划分为内资金融机构、外资金融机构和合资金融机构。（6）按照所属的国家，还可划分为本国金融机构、外国金融机构和国际金融机构。3．西方国家的中央银行有哪几种制度形式？答：西方国家的中央银行制度主要有四种形式：（1）单一的中央银行制度。即在一国范围内单独设立一家中央银行，通过总分行制，集中行使金融管理权，多数西方国家采取这种制度。（2）二元的中央银行制度。即在一国范围内建立中央和地方两级相对独立的中央银行机构，分别行使金融管理权，如美国、德国。（3）跨国中央银行制度。即几个国家共同组成一个货币联盟，各成员国不设立本国的中央银行，或虽设立本国的中央银行但由货币联盟设立中央银行领导。如1962年3月成立的西非货币联盟和1998年6月欧盟在法兰克福设立的欧洲中央银行。（4）准中央银行制度。即一个国家或地区只设立类似中央银行的机构，或由政府授权某个或某几个商业银行行使部分中央银行职能，如新加坡、中国香港。4．西方国家专业银行的特点是什么？答：专业银行是指专门经营指定范围的金融业务和提供专门性金融服务的银行。其特点是：（1）专门性。专业银行体现了社会分工的发展，其业务具有专门性，服务对象通常是某一特定的地区、部门或专业领域，并具有一定的垄断性。（2）政策性。专业银行的设置往往体现了政府支持和鼓励某一地区、部门或领域发展的政策导向，尤其是开发银行和进出口银行等专业银行的贷款，具有明显的优惠性，如含有政府贴息和保险，借款期限和还款限期均较长等。（3）行政性。专业银行的建立往往有官方背景，有的本身就是国家银行或代理国家银行。5．什么是投资基金，其组织形式如何？答：（1）投资基金是一种把许多投资者的不同的投资份额汇集起来，交由专业的投资经理进行操作，所得收益按投资者出资比例分享的金融机构。投资基金本质上是一种金融信托。投资者持有的每一单位基金，都代表着基金所有的投资组合的一个相应比例的份额。投资基金的优点主要在于投资组合、分散风险、专家理财、规模经济。（2）投资基金的组织形式分契约型与公司型两种。契约型是指基金的设定人(基金经理或基金管理公司)设计特定类型的基金，以信托契约的形式发行受益凭证，募集投资者的定期资金，进行运营和投资。基金的募集、保管、利润分配、收益及本金的偿还支付等业务则委托银行具体办理。契约型基金成立的重要依据是信托契约，它包括委托人(基金经理公司)、受托人(基金保管银行或公司)和投资人(受益人)三个当事人。日本、韩国、新加坡等国家的投资基金多属于这种类型。公司型投资基金是指通过组建基金股份公司来发行基金股票，募集投资者的资金，由公司投资经理部门或委托其他投资管理公司操作投资，并以基金股息、红利形式将收益分配给投资者，基金资产的保管与业务处理可以由公司本身负责，也可以委托银行办理。公司型投资基金的最大特点是：基金与投资者之间的关系是股份公司与股东的关系。美国绝大部分投资基金属于此类型。6．我国的金融机构与西方国家的金融机构相比较有什么异同？答：（1）相同点主要表现在：①都设立有中央银行及中央金融监管机构。②金融机构的主体都是商业银行和专业银行。③非银行金融机构都比较庞杂。④金融机构的设置不是固定不变的，而是随着金融体制的变革不断进行调整的。（2）不同点主要表现在：①中国人民银行隶属于政府，独立性较小，制定和执行货币政策都要服从于政府的经济发展目标。②中国的金融机构以国有制为主体，即使是股份制的金融机构，实际上也是以国有产权为主体。③中国商业银行总数不多，规范的专业银行也少，即作为金融机构体系主体的商业银行和专业银行数量相对不足。④中国政策性银行的地位突出，但政策性金融业务（包括四大国有商业银行承担的）的运作机制仍然没有完全摆脱资金“大锅饭”体制的弊端。⑤中国商业银行与投资银行仍然实行严格的分业经营，而西方国家商业银行都在向混业制全能银行方向发展。⑥中国的专业银行发展缓慢，国外较为普遍的房地产银行、为中小企业股务的银行和消费信贷机构，在中国都未建立。⑦中国的保险业比较落后，保险机构不多，特别是地方性保险机构有待发展，保险品种少，保险业总资产和保费收入与中国经济总体规模、人口规模相比较显得太小。⑧西方国家金融机构的设置及其运作，都有相应的法律作为依据，而中国金融法律不健全，由此造成了各类金融机构发展的不规范和无序竞争。7．试述现阶段我国金融机构体系的构成。答：目前，中国的金融机构体系是以中国人民银行、中国银行业监督管理委员会、中国保险监督管理委员会、中国证券监督管理委员会为领导，以商业银行为主体，多种金融机构并存，分工协作的多种金融机构体系格局。如下图所示：8．试述国际货币基金组织、世界银行、国际金融公司、国际开发协会各自贷款的特点。答：（1）国际货币基金组织的贷款与一般政府贷款或国际商业贷款有显著的不同，主要体现在：①贷款对象，限于成员国政府；②贷款目的，限于帮助会员国调节国际收支不平衡，用于贸易和非贸易的经常项目支付，但近几年也增设了一些用于经济结构调整与经济改革的贷款；③贷款期限，限于短期贷款；④贷款规模，一般与成员国向IMF缴纳的份额成正比例关系；⑤贷款方式，借款国用相当于借款额的本国货币向IMF购买外汇；⑥贷款利率，根据资金来源而定。非借款的资金来源，贷款利率略低于市场利率；借款的资金来源，在借入利率基础上加0.2%～0.325%不等的差额。除利息外，每笔贷款还要收0.5%的费用；⑦计价货币，基金组织无论以什么货币提供贷款，都以特别提款权计值，利息也用其支付。（2）世界银行的贷款特点是：①贷款一般须与特定的工程项目相结合。②贷款期限较长。短则数年，最长可达30年，平均17年左右，宽限期4年左右。③贷款利率参照资本市场利率，但一般低于市场利率。④手续严密。从提出项目到取得贷款，一般需要1.5～2年时间。⑤贷款必须如期偿还，不能拖欠或改变还款日期。⑥借款国承担汇率变动的风险。世界银行的贷款都以美元计值，借款国如要提用其他货币，世行按贷款协议的美元数额，以当时汇价付给它所需要的货币，借款国还款时必须以同样的货币还本付息，按当时的汇价折合美元。（3）国际金融公司的贷款特点：①贷款不需要政府担保，可以直接贷款给会员国企业；②贷款期限一般为7～15年；③采用固定利率或浮动利率，一般高于世界银行的贷款利率；④贷款额一般为10～2000万美元。（4）国际开发协会的贷款特点：①贷款期限长，可长达35～40年；②不收利息，每年只收0.75%的手续费；③有较长的宽限期，还款的负担轻；④偿还贷款时，可以全部或一部分用本国货币。由于协会贷款条件特别优惠，故被称为软贷款，而世界银行贷款一般称为硬贷款。9．国际清算银行的主要职能是什么？答：国际清算银行的主要职能体现在以下四个方面：（1）作为国际货币和银行领域合作的论坛。国际清算银行定期举办十国集团中央银行行长例会，以及各个高级别专门委员会会议，如巴塞尔银行监管委员会会议等。（2）为各国中央银行提供国际银行服务。它是国际黄金市场和欧洲货币市场的重要参加者，并代理各国中央银行买卖黄金和外汇，还多次向成员国中央银行提供巨额的短期贷款，以应对这些国家的收支失衡问题。（3）作为国际货币金融问题的研究中心。国际清算银行在国际金融调研与信息工作方面有很高的权威性，经常出版有关国际银行业和金融市场状况的各类信息，并管理着一个所有成员中央银行可自动进入的中央银行经济数据库。（4）作为国际代理或受托机构，协助执行国际金融协定，以及为私人充当欧洲货币清算和交割系统的代理人和一些外债重组的抵押品代理人。10．亚洲开发银行的主要宗旨是什么？答：亚洲开发银行是面向亚太地区的区域性政府间金融开发机构。它于1966年11月在东京成立，同年12月正式营业，总部设在菲律宾首都马尼拉。亚洲开发银行的宗旨是：通过集中亚太地区内外的金融和技术资源，向其成员国提供贷款与技术援助，帮助协调成员国在经济、贸易和发展方面的政策，促进亚太地区的经济发展。其主要业务是向亚太地区加盟银行的成员国和地区的政府及其所属机构、境内公私企业以及与发展本地区有关的国际性或地区性组织提供贷款。第一章随机事件与概率一、单项选择题1.掷一枚骰子，设A={出现奇数点}，B={出现1或3点}，则下列选项正确的是(B).A.AB={出现奇数点}B.={出现5点}C.={出现5点}D.2.设A、B为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是(A).A.B.C.D.3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令Ai={第i次正面向上}（i=1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为(D).A.B.C.D.4.某人向一目标射击3次，设Ai表示“第i次射击命中目标”（i=1，2，3），则3次都没有命中目标表示为(A).A.B.C.D.5.设A与B为互为对立事件，且，则下列各式中错误的是(A).A.B.C.D.6.设事件A与B相互独立,P(A)=0.2,P(B)=0.4,则=(D).A.0.2B.0.4C.0.6D.0.87.已知事件A与B互不相容,P(A)>0,P(B)>0,则(C).A.B.C.D.8.设P(A)=0,B为任一事件,则(C).A.B.C.A与B相互独立D.A与B互不相容9.已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,且,则P(A|B)=(C).A.0B.0.4C.0.8D.110.设A与B为两事件,则=(B).A.B.C.D.11.设事件,P(A)=0.2,P(B)=0.3,则(A).A.0.3B.0.2C.0.5D.0.4412.设事件A与B互不相容,P(A)=0.4,P(B)=0.2,则P(A|B)=(D).A.0.08B.0.4C.0.2D.013.设A,B为随机事件,P(B)>0,P(A|B)=1,则必有(A).A.B.C.P(A)=P(B)D.P(AB)=P(A)14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为(A).A.0.4B.0.2C.0.25D.0.7515.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为(A).A.16.某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是(B).A.0.48B.0.75C.0.6D.0.817.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为(A).A.0.125B.0.25C.0.5D.0.418.一批产品的合格品率为96%，而合格品中有75%是优质品，从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为(A).A.0.72B.0.75C.0.96D.0.7819.设有10个产品，其中7个正品，3个次品，现从中任取4个产品，则这4个都是正品的概率为(C).A.B.C.D.20.设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取3次，每次任取1个，取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为(C).A.B.C.D.21.某人打靶的命中率为0.4，现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率为(C).A.B.C.D.22.随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为(D).A.B.C.D.23.把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为(A).A.B.C.D.24.从1,2,3,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到的4个数字完全不同的概率为(A).A.B.C.D.25.某人每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为(D).A.p2B.(1-p)2C.1-2pD.p(1-p)二、填空题1.一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为18/35.2.甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为1/16.3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为0.25.4.从数字1，2，…，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为0.0486.5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为0.94.6.甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为5/12.7.设事件A与B互不相容，P(A)=0.2,P(B)=0.3,则=0.5.8.设事件A与B相互独立，且P(A+B)=0.6,P(A)=0.2,则P(B)=0.5.9.设，则P(AB)=0.42.10.设，则P(A+B+C)=5/12.11.已知P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则=0.6.12.某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为0.25.13.已知P(A)=0.4,P(B)=0.8,P(B|A)=0.25,则P(A|B)=0.125.14.设，则=1/3.15.一批产品的废品率为4%，而正品中的一等品率为60%，从这批产品中任取一件是一等品的概率为0.576.16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为0.7.三、计算题1.设P(A)=0.4,P(B)=0.2,,求P(AB)以及P(A|B).解:由得:即,解得:P(AB)=0.02.从而,.2.已知求：(1)；(2)P(AB)；(3)；(4)；(5)P(B-A).：(1)由概率的性质，知；(2)因为，所以，P(AB)=P(A)=0.2；(3)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)=0；(4)因为，所以,=P(B)=0.3；或者，=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.3-0.2=0.3；(5)P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.3-0.2=0.1.3.若事件A与B互不相容，P(A)=0.6,P(A+B)=0.9,求：(1)；(2)；(3).解:(1)因A与B互不相容，故，P(AB)=0，所以=1-P(AB)=1；(2)因A与B互不相容，由加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)，得P(B)=0.3，从而=；(3)=.4.已知事件A与B相互独立，且P(A)=0.4,P(A+B)=0.6,求(1)P(B)；(2)；(3)P(A|B).解：(1)因为事件A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)，0.6=0.4+P(B)-0.4P(B)，解得：P(B)=；(2)因为事件A与B相互独立，所以A与也相互独立，故=；(3)因为事件A与B相互独立，所以P(A|B)=P(A)=0.4.四、应用题1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率..解：设A“3个产品中至少有2个产品等级相同”，“3个产品等级都不同”，由古典概率定义，得，从而.2.10把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.解：A“取出2把钥匙能打开门”，由古典概率知：.3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一双的概率.解：A“4只鞋子中至少能配成一双”，则“4只鞋子都不同”.由古典概率得：，故.4.从0，1，2，3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.解：A“排成的数是三位数且是偶数”，A0“排成的三位数末位是0”，A2“排成的三位数末位是2”，则A=A0+A2，且A0与A2互不相容，因为所以，.5.一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率：(1)第三次才取得合格品；(2)如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品.解：设Ai“第i次取到合格品”（i=1,2,3），则(1)第三次才取到合格品的概率为：.(2)A“三次内取得合格品”，则，所求概率为：6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求：(1)两次取出的都是红球的概率；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率；(3)第二次取到红球的概率.解：A1“第一次取出的是红球”，A2“第二次取出的是红球”，则(1)由乘法公式得，两次取出的都是红球的概率为：；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率为：；(3)由全概率公式得，第二次取到红球的概率为：.7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而各台设备的废品率分别是0.05，0.04，0.02，今从全厂生产的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.解：设Ai“第i台设备生产的零件”(i=1，2)，B“产品是废品”，由题意知：P(A1)=25%，P(A2)=35%，P(A3)=40%，P(B|A1)=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.02,由全概率公式得，产品是废品的概率为：.8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任取一个零件是合格品的概率；(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率..解：设B“零件是合格品”，A“第一台车床加工的零件”，则“第二台车床加工的零件”，由题意知：.(1)由全概率公式得：；(2)由贝叶斯公式得，如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率为：9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人，求：(1)此人恰是色盲的概率是多少？(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？(3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？解：设B“色盲患者”，A“随机挑选一人是男人”，由题设知：，则(1)由全概率公式得，随机挑选一人是色盲的概率为：；(2)由贝叶斯公式得，随机选一人是色盲，他是男人的概率为：；(3)由贝叶斯公式得，随机选一人不是色盲，他是男人的概率为：.10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回)，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：(1)甲乙都抽到难签；(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签；(3)甲乙丙都抽到难签；(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等..解：设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”，则(1)甲乙都抽到难签的概率为：；(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为：；(3)甲乙丙都抽到难签的概率为：；(4)由古典概率知，甲抽到难签的概率为：.由全概率公式得，乙抽到难签的概率为：.丙抽到难签的概率为：=0.4.得，P(A)=P(B)=P(C)=0.4，所以，甲乙丙抽到难签的机会均等，各占40%.11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为0.4，0.5和0.7.若三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.解：设Ai表示“三人中恰有i人击中飞机”，i=0，1，2，3.B“飞机被击落”.A0,A1,A2,A3构成完备事件组，且，,,.由题设知：.故，由全概率公式得，飞机被击落的概率为：.12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是0.6，其他条件不变，再求飞机被击落的概率.解：设Ai表示“三人中恰有i人击中飞机”，i=0，1，2，3.B“飞机被击落”.A0,A1,A2,A3构成完备事件组，且由贝努里公式得：，，，.由题设知：.故由全概率公式得，飞机被击落的概率为：.13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率..解：设A“产品是合格品”，B“经检查产品被判为合格品”，且由题意知：P(A)=95%,.则(1)由全概率公式得，任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为：；(2)由贝叶斯公式得，一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率为：.14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7，且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.解：设Ai“第i台机床需要看管”，i=1，2，3.“三台机床中最多有一台需要工人看管”表示为，且这4个事件两两互不相容，由加法与独立性知，所求的概率为：15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？解：设Ai“第i道工序加工出次品”，i=1，2，3.则加工出来的零件是次品表示为A1+A2+A3，且A1，A2，A3相互独立，从而也相互独立.所求概率为：.16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是0.4，0.6，0.7，求此密码被破译的概率..解：设A，B，C分别表示“甲、乙、丙破译出密码”，则A+B+C表示“密码被破译”，且A，B，C相互独立，从而也相互独立，故所求概率为：.17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，各在两批中随机取一粒，求：(1)两粒种子都能发芽的概率；(2)至多有一粒种子能发芽的概率；(3)至少有一粒种子能发芽的概率.解：设A，B分别表示“甲、乙种子发芽”，由题设知：.(1)两粒种子都能发芽的概率为：；(2)至多有一粒种子能发芽的概率为：；(3)至少有一粒种子能发芽的概率为：.18.一批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求：(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p1；(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p2；(3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率p3.解：该问题是参数p=0.7的5重贝努里试验，由贝努里公式得：(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p1=；(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率为：p2==；(3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率为：p3==.19.一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为,求射手射击一次命中目标的概率..解：设射手射击一次命中目标的概率为p，由贝努里定理知，4次射击中至少有一次命中目标的概率为：，由题设知：，解得：.20.一射手对一目标独立地射击,每次射击命中率为p,求射击到第4次时恰好两次命中的概率.解：射手射击到第4次恰好有两次命中目标，即第四次命中，而前三次中恰有一次命中，由贝努里定理知，所求概率为：.五、证明题1.设0<P(B)<1，证明事件A与B相互独立的充分必要条件是.证：必要性设事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)，P(A|B)=P(A)，又，所以，.充分性若，则，对上式两端化简，得：，所以A与B相互独立2.证明条件概率的下列性质：(1)若P(B)>0，则；(2)若A与B互不相容，，则；(3).证：(1)因为，而，所以，，且，；(2)若A与B互不相容，则AC与BC也互不相容，从而；(3)由性质(2)得：，又，由性质(1)知，，所以，，即第二章随机变量及其概率分布X012P0.30.20.5一、单项选择题1.设随机变量X的分布律为则P{X<1}=(C).A.0B.0.2C.0.3D.0.5X0123P0.10.20.3a2.设随机变量X的概率分布为则a=(D).A.0.2B.0.3C.0.1D.0.43.设随机变量X的概率密度为则常数c=(D).A.B.C.-D.14.设随机变量X的概率密度为则常数a=(D).A.B.C.3D.45.下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是(A).A.B.C.D.6.设函数在区间上等于，而在此区间外等于0；若可以作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间为(A).A.B.C.D.7.下列函数中，可以作为某随机变量X的分布函数的是(C).A.B.C.D.8.设是随机变量X的分布函数，则(B).A.一定连续B.一定右连续C.是不增的D.一定左连续9.设是随机变量X的分布函数，则下列结论错误的是(D).A.是定义在上的函数B.C.D.对一切实数x，都有0<<110.设随机变量的概率分布为，则常数a=(B).A.1B.C.2D.X0123P0.30.40.10.211.已知随机变量X的分布律为是X的分布函数，则F(2.5)=(B).A.0.7B.0.8C.0.1D.112.随机变量X的概率密度，则(A).A.B.C.D.X-1012P0.10.20.30.413.已知随机变量X的分布律为若随机变量Y=X2，则P{Y=1}=(C).A.0.1B.0.3C.0.4D.0.214.设随机变量X~B(4,0.2)，则P{X>3}=(A).A.0.0016B.0.0272C.0.4096D.0.819215.设随机变量X~N(1，4)，Y=2X+1，Y~(C).A.N(1,4)B.N(0,1)C.N(3,16)D.N(3,9)16.设，是N(0,1)的分布函数，则=(