陕西省、青海省、四川省名校联盟2023-2024学年高三10月第二次月考练习卷数学（理）试题 02（含解析）

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陕西省、青海省、四川省名校联盟2023-2024学年高三第二次月考复习模拟卷（理）02

（集合与逻辑语句，函数，导数，三角函数与解三角形）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（）。

A、B、C、D、

【答案】D

【解析】∵，，则，，故选D。

2．下列函数中，定义域是且为增函数的是（）。

A、B、C、D、

【答案】A

【解析】为奇函数，定义域为，且为单调递增函数，故选A。

3．已知集合，集合，则的元素个数为（）。

A、B、C、D、

【答案】A

【解析】∵直线与圆相离，∴的元素个数为，故选A。

4．已知、是一元二次方程的两个不同的实根，则“且”是“且”的

（）。

A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若且，则，

但是，时，满足但不满足，，

∴“且”是“且”的充分不必要条件，故选A。

5．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”。如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美。给出定义：能够将以坐标原点为圆心的圆的周长和面积同时平分的函数称为此圆的“优美函数”，则下列函数中一定是“优美函数”的为（）。

A、B、

C、D、

【答案】C

【解析】根据优美函数的定义可知，优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，

A选项，不是奇函数，错，

B选项，不是奇函数，错，

C选项，的定义域为，且是奇函数，对，

D选项，的定义域为，∴图像不经过坐标原点，错，

故选C。

6．若，，则（）。

A、B、C、D、

【答案】A

【解析】∵，∴，∴，∴，故选A。

7．如图所示，在地面上共线的三点、、处测得一个建筑物的仰角分别为、、，且，则建筑物的高度为（）。

A、B、C、D、

【答案】D

【解析】设建筑物的高度为，由题图知，，，，

在中，由余弦定理得：，

在中，由余弦定理得：，

∵，∴

解得（舍去）或（可取），即建筑物的高度为，故选D。

8．设，，，则、、的大小关系为（）。

A、B、C、D、

【答案】C

【解析】∵，，，∴，故选C。

9．已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为（）。

A、B、C、D、

【答案】D

【解析】当时，，由题意可知，即，

当时，，由题意可知，即，

∴的取值范围为，故选D。

10．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程

（）有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围为（）。

A、或B、或C、或D、或

【答案】C

【解析】∵函数是定义域为的偶函数，当时，，

∴当时，，

作函数的图像，

由于关于的方程，

解得或，

当或时，，当或时，，

由，则有个实根，由题意，只要有个实根，

由图像可得当时，有个实根，当时，有个实根，

综上可得：或，故选C。

11．已知函数，其中、、，则以下判断正确的是（）。

A、函数有两个零点、（），且、

B、函数有两个零点、（），且、

C、函数有两个零点、（），且、

D、函数只有一个零点，且，

【答案】A

【解析】∵、，，∴，

，

，

，

∴存在，使得，且，

存在，使得，且、，

∴函数有两个零点、（），且，，故选A。

12．已知函数，若存在不相等的实数、，使成立，则实数的取值范围为（）。

A、B、C、D、

【答案】C

【解析】、，

当时，，是过定点的一次函数，

当时，，是开口向上，对称轴为的二次函数，

当时，在递减，在递增，最小值为，

根据直线和抛物线的知识可知：存在不相等的实数、，使成立，

当时，，，

∴存在不相等的实数、，使成立，

当，即时，在上递增，在递增，

即在上递增，∴不存在符合题意的、，

当，即时，在上递增，在上递减，在上递增，

根据直线和抛物线的知识可知：存在不相等的实数、，使成立，

综上所述，实数的取值范围为，故选C。

二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共20分。

13．已知函数，则。

【答案】

【解析】。

14．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（，），已知大气压强（）随高度（）的变化规律是，其中是海平面大气压强，。当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为米。（答案保留整数，参考数据）

【答案】

【解析】由题意可知：，解得，∴（）。

15．在中，角、、的对边分别是、、，且满足，则。

【答案】

【解析】∵，∴，

∴，∴，

又，，∴，又，∴。

16．若函数与函数的图像有两个不同的公共点，则实数的取值范围为。

【答案】

【解析】令，定义域为，

与的图像有两个不同的公共点等价于在有两个零点，

，在内单调递增，令，即，

令，定义域为，，当恒成立，

∴在单调递增，当时，，当时，，

∴存在唯一一个，使得，即，即，

当时，，在内单调递减，

当时，，在内单调递增，

∴在处取得极小值也是最小值为，

当时，，当时，，

∵在有两个零点，∴，即，

∵，∴，，则，

即，解得，∴实数的取值范围为。

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）已知，：，：。

（1）已知是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围；

（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围。

【解析】（1）∵是成立的必要不充分条件，∴且，

则是的真子集，则解得，

又当时，不合题意，舍去，∴实数的取值范围为；5分

（2）∵是成立的充分不必要条件，∴是的真子集，

则，解得，又当时，两集合相等，舍去，

∴实数的取值范围为。10分

18．（本小题满分12分）已知函数（）在上的最大值为，把函数的图像上的所有点向右平移（）个单位后，得到的函数的图像，函数的图像关于直线对称。

（1）求函数的解析式；

（2）在中，三个内角、、所对的边分别是、、，已知在轴右侧的第一个零点为，若，求的面积的最大值。

【解析】（1）由题意可知，函数在区间上单调递增，∴，1分

∴，，得，，经验证当时满足题意，故，3分

∴，故，，4分

∴，，又，∴，故；6分

（2）由题意知，，∴，，∴，8分

又得，∴，∴，10分

∴，∴的面积的最大值为。12分

19．（本小题满分12分）已知函数（是常数）。

（1）若当时，恒有成立，求实数的取值范围；

（2）若存在时，使得成立，求实数的取值范围；

（3）若方程在上有唯一实数解，求实数的取值范围。

【解析】（1）令，则，当时，2分

的对称轴为，时的最大值为，则实数的取值范围是；4分

（2）若存在时，恒有成立，则存在时，使得成立，6分

于是只需时的最小值为，即，则实数的取值范围是；8分

（3）若方程在上有唯一实数解，则在上有唯一实数解，9分

∵，故在上不可能有两个相等的实数解，

令，∵，故只需，解得，11分

∴实数的取值范围是。12分

20．（本小题满分12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且。

（1）证明：；

（2）求角的最大值。

【答案】（1）证明：在中，，

由题意得：，

即，∴，2分

由余弦定理得，化简得，4分

又，∴一定为钝角，∴、一定为锐角，

∴，

∴；6分

（2）解：由（1）得，8分

∵，∴，∴，

当且仅当，即时等号成立，11分

此时取得最大值，又，∴角的最大值为。12分

21．（本小题满分12分）设。

（1）证明；

（2）若，证明：。

【解析】（1）设，，则，1分

令，，则恒成立，则在上单调递增，2分

于是有，，则在上单调递增，3分

则当时，即在上恒成立；4分

（2）由（1）知，则，5分

下面证明，令，则对于而言单调递增，6分

∴需证明，即，7分

设，则，，，8分

在上单调递增，9分

则在上单调递增，10分

∴，即，即，11分

综上。12分

22．（本小题满分12分）已知函数，函数。

（1）试比较与的大小；

（2）若方程有三个实根，求实数的取值范围。

【解析】（1）令，定义域为，

∴，1分

∴函数在上单调递减，又，2分

∴当时，，也即，

当时，，也即，

当时，，也即，

综上可知：当时，，当时，，当时，；4分

（2）设，定义域为，，

∵，∴函数有一个零点为，5分

当时，恒成立，∴在上单调递增，不满足题意，6分

∴，，设，，

若，则恒成立，∴恒成立，∴单调，不合题意，7分

∴，即，解得，下面证明当时，函数有三个零点，

设的两个零点分别为、，则、，∴、，

不妨设，则、，8分

∴当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∵，且，∴，，9分

由（1）可知，当时，

，

令，则，

当时，，

又，∴函数在内存在一个零点，

当时，，

令，则，

当时，，则，

又，∴函数在内存在一个零点，11分

综上所述，当时，函数有三个零点，即方程有三个实根。12分绝密★启用并使用完毕前测试时间：年月日时分——时分

陕西省、青海省、四川省名校联盟2023-2024学年高三第二次月考复习模拟卷（理）02

（集合与逻辑语句，函数，导数，三角函数与解三角形）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（）。

A、B、C、D、

2．下列函数中，定义域是且为增函数的是（）。

A、B、C、D、

3．已知集合，集合，则的元素个数为（）。

A、B、C、D、

4．已知、是一元二次方程的两个不同的实根，则“且”是“且”的

（）。

A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件

5．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”。如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美。给出定义：能够将以坐标原点为圆心的圆的周长和面积同时平分的函数称为此圆的“优美函数”，则下列函数中一定是“优美函数”的为（）。

A、

B、

C、

D、

6．若，，则（）。

A、B、C、D、

7．如图所示，在地面上共线的三点、、处测得一个建筑物的仰角分别为、、，且，则建筑物的高度为（）。

A、

B、

C、

D、

8．设，，，则、、的大小关系为（）。

A、B、C、D、

9．已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为（）。

A、B、C、D、

10．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程

（）有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围为（）。

A、或B、或C、或D、或

11．已知函数，其中、、，则以下判断正确的是（）。

A、函数有两个零点、（），且、

B、函数有两个零点、（），且、

C、函数有两个零点、（），且、

D、函数只有一个零点，且，

12．已知函数，若存在不相等的实数、，使成立，则实数的取值范围为（）。

A、