第5讲 分离变量法 -2_第1页
第5讲 分离变量法 -2_第2页
第5讲 分离变量法 -2_第3页
第5讲 分离变量法 -2_第4页
第5讲 分离变量法 -2_第5页
已阅读5页，还剩32页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

2.2有限长杆的热传导问题

对于齐次热传导方程的定解问题,其解题过程和波动方程的过程类似.所以下面的例题我们仅给出主要过程.其中为给定的函数.例１．齐次热传导方程的定解问题令代入方程及边界条件中,并引入参数得当或时,特征值问题当时,由边界条件从而特征函数为：T的方程解得所以将叠加,利用初始条件确定系数将初始条件代入上式，得所以系数例２．细杆的热传导问题长为的均匀细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热，端绝热，端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0，初始温度为求此杆的温度分布。解：定解问题为设且得本征问题由及齐次边界条件，有当或时,当时,由得由得故即令有函数方程ry图1由图1看出，函数方程有成对的无穷多个实根故本征值为：对应的本征函数的方程：解为故可以证明,函数系在上正交由初始条件得将展成以基底的付氏级数,确定

问题的解为（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解（三）将特征值代入另一常微分方程，得到（四）将叠加，利用初始条件确定系数（一）将偏微分方程化为常微分方程－－（方程齐次）分离变量法解题步骤－－（边界条件齐次）分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。注左端点右端点特征值特征函数取值范围

一

一一

二

二

二二一课堂练习2.3二维拉普拉斯方程的边值问题1.矩形域上拉普拉斯方程的边值问题例1．矩形薄板稳恒状态下温度分布.设薄板上下底面绝热，一组对边绝热，另一组对边的温度分别为零摄氏度和，求稳恒状态下薄板的温度分布。定解问题为：解再利用x=0

和x=a处的齐次边界条件得设且代入方程故本征问题当时，当时，将代入有解：考虑边界条件（y方向上），有解得比较系数所以解为作为例子，取，可求得于是考察一个半径为r的圆形薄板稳恒状态下的温度分布问题,设板的上下两面绝热,圆周边界上的温度已知为求稳恒状态下的温度分布规律。2圆域上的拉普拉斯方程的边值问题分离变量

代入方程得齐次偏微分方程化为两个常微分方程:（一）将偏微分方程化为常微分方程由可知，又圆内各点的温度有界，因而所以应满足条件（二）利用条件,确定特征值问题并求解得到两个常微分方程的定解问题(1)(2)1)时，无非零解；2)时，有非零解3)时，令特征值特征函数通解以为周期,必须是整数,取（三）将特征值代入另一常微分方程，得得到方程通解满足有界性条件的通解将代入方程满足周期性条件和有界性条件的特解为（四）将叠加,利用边界条件确定系数满足周期性和有界性条件的通解为:利用边界条件，得由此可以确定系数注:经过化简,方程的解可以表示为称为圆域内的泊松公式.例2.在带电的云跟大地之间的匀强静电场(设其强度为,方向为竖直的)，水平架设一输电线，讨论输电线(导体圆柱体)对匀强电场的影响。++带电的云+++

人人文库> 全部分类> 专业文献 > 医学资料

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论