《正弦函数、余弦函数的性质》(教学设计)高一数学(人教A版2023年必修第一册)

《5.4.22教材内容：像和性质奠定了根底。本节内容在教学安排上有着承前启后的作用。教学目标：y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简洁三角函数的值域和最值,培育数学运算的核心素养；y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小，提升规律推理的核心素养；y＝Asin(ωx＋φ)y＝Acos(ωx＋φ)的核心素养；y＝Asin(ωx＋φ)y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴、对称中心，提升数学运算的核心素养。教学重点与难点：1、通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；2、应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性。教学过程设计:〔一〕知导入创设情境，生成问题的运动包含了很多物理学原理，人们在设计过山车时奇异地运用了这些倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径.探究沟通，解决问题探究y＝sinxy＝cosxy＝sinx，y＝cosx的哪些性质？y＝sinx，y＝cosx的哪些性质？y＝sinx，y＝cosx在什么位置取得最大(小)值？提示(1)单调性.(2)最值，波峰，波谷.【设计意图】通过复习三角函数的定义，用联系的观点引入本节课，建立学问间的联系，提高学生概括推理的力气。〔二〕正弦、余弦函数的单调性与最值 π 3π1】正弦函数在－22上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0,2π]上函数值的变化有什么特点？【提示】y

x π上，曲线渐渐上升，是增函数，函数值y1增大＝sin

在22π3上，曲线渐渐下降，是减函数，函数值y由1；1；在2，2y＝cosx在[0，π11；在[π，2π]上，曲线渐渐上升，是增函数，函数值由－11.正弦函数、余弦函数的单调性与最值正弦函数正弦函数余弦函数图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]在2kπ－，2kπ＋(k∈Z)上单ππ22调递增，在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，单调性在2kππ＋2，2kπ 3π(k∈Z)上单＋2在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减调递减x＝2＋2kπ(k∈Z)时，yπx＝2kπ(k∈Z)时，y ＝1；max＝1；max最值x＝－2＋2kπ(k∈Z)时，yπx＝k＋k∈)y1min＝－＝－1min【思考】正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？【提示】不正确．正弦函数在每个闭区间2kπ－π，2kπ＋π(k∈Z)上是增函数，并不是 2 2上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数．【设计意图】通过探究让学生理解正弦、余弦函数的单调性与最值，提高学生分析问题的力气。〔三〕典型例题正、余弦函数的单调性1.y=sin(3x+𝜋)，x∈𝜋𝜋]的单调减区间.6 3 3【变式探究】：求函数y＝2sinπ－x的单调递减区间．4 【解】y＝2sinπ－x＝－2sinx－π，4 4－π＋2kπ，π＋2kπ(k∈Z)．4 2 2 ∴原函数递减时，得－π＋2kπ≤x－π π＋2kπ(k∈Z)，2 4≤2得－π＋2kπ≤x≤3π＋2kπ(k∈Z)．4 4∴原函数的单调递减区间是－π＋2kπ，3π＋2kπ(k∈Z)． 4 4 【类题通法】求单调区间的步骤用“根本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：y＝sinx(y＝cosx)的相应单调区间；(用不等式表示)中的“x”；x的不等式．y＝Asin(ωx＋φ)ω＜0时，可先用诱导y＝－Asin(－ωx－φ)y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单的单k∈Z这一条件不能省略．1】求以下函数的单调递增区间：π π (1)y＝cos2x；(2)y＝sin6－x，x∈2，2π.π【解】(1)由2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，所以kπ－2≤x≤kπ(k∈Z)，π 2 (2)y＝sinπ－x＝－sinx－π，6 6所以函数y＝sinπ－x的单调递增区间就是函数y＝sinx－π的单调递减区间，6 6≤x－≤2kπ＋ ≤x≤2kπ＋由2kπ＋π π 3π，k∈Z，得≤x－≤2kπ＋ ≤x≤2kπ＋2 6 2 3 32π，5π.2 3 3正弦函数、余弦函数单调性的应用例2. 比较以下各组中函数值的大小： 23π 17π〔1〕cos5cos4；(2)sin194°cos160°. 23π

7π

7π

17π

7π 7π【解】〔1〕cos－5

＝cos－6π＋5＝cos5，cos－4

＝cos－6π＋4＝cos4，7π 7π 7π

23π＜5＜4＜2cosx[2πcos5＜cos4cos－5 17π＜cos－4.(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.y＝sinx0°＜x＜90°时单调递增，∴sin14°＜sin70°.从而－sin14°＞－sin70°sin194°＞cos160°.【类题通法】比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；(3)利用函数的单调性比较大小． 7π

7π 7 52】比较大小：(1)cos8cos

6；(2)sin4cos3.【解】(1)cos－7π＝cos

7π＝cosπ－π＝－cos

7π＝－cosπ， 8 8 8 8 6 6∵πππ，∴cos

π π π π，∴cos－7π 7π0<8<6<2

8>cos6.∴－cos8<－cos6 8<cos 6.5＝sinπ＋5，π7π＋53(2)∵cos

3 2 3 2<4<2 3<2π，y＝sinx在π，3π上是减函数，∴sin7

π＋5＝cos

5，即sin7 52 2

4>sin2 3 3

4>cos3.3.求以下函数的值域:(1)y=cos(x+π),x∈[0,π];(2)y=cos2x-4cosx+5.6 2【解】(1)由x∈[0,π]x+π∈π2π],2 6 6 3函数y=cosx在区间[π,2π]上单调递减,所以函数的值域为[-1, 3].6 3 2 2(2)y=cos2x-4cosx+5,令t=cosx,则-1≤t≤1.y=t2-4t+5=(t-2)2+1,t=-1时,10;t=1时,2,所以函数的值域为[2,10].【类题通法】求三角函数值域的常用方法求解形如y＝asinx＋by＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变x的集合时，要留意考虑三角函数的周期性．求解形如sin2sin＋(或＝cos2＋cos＋)，∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinxcosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要留意t＝sinx(或cosx)的有界性．【稳固练习3】1.函数y=2cos2x+5sinx-4的值域为 .【答案】[-9,1]【解析】y=2cos2x+5sinx-4=2(1-sin2x)+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2=-2(sinx-5)29.4 8sinx=1时,ymax=1;sinx=-1时,ymin=-9,y=2cos2x+5sinx-4的值域为[-9,1].2.设f(x)=acosx+b的最大值是1,最小值是-3,则g(x)=bsin(ax+π)的最大值为 .3【答案】1.a≠0,a>0时ab1,

所以a2,bab3, bg(x)=-sin(2x+π),1.a<0时ab3,所以a2,3 ab1, 1.g(x)=-sin(-2x+π),1.综上知,g(x)1.34.正弦、余弦函数的对称性2 π例4.y＝sinx＋3的图象的对称轴方程是

对称中心的坐标是 ．【答案】x＝kπ＋π(k∈Z) kπ－π，0(k∈Z)2 12

2 6 【解析】依据正弦函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线x轴的交点均为对称中心．要使sin2x＋π＝±1，必有2x＋π＝kπ＋π kπ＋π 3

3 2(k∈Z)x＝2

12(k∈Z)，x＝kππ(k∈Z)，2 12y＝sin2x＋πx轴的交点即为对称中心， 3y＝0，即sin2x＋π＝0， 32x＋π＝kπ(k∈Z)x＝kπ－π3 2 6(k∈Z)，y＝sin2x＋π的图象的对称中心的坐标为kπ－π，0(k∈Z)． 3 2 6 【类题通法】正弦曲线、余弦曲线的对称轴确定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心x0.πy＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)x＝kπ＋2(k∈Z)．y＝cosx的对称中心为kπ＋π，0(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)． 2 【稳固练习4】函数fx4cosx图象的一条对称轴可能是直线x〔 〕A．53【答案】A

3 3B．1 C． 43 3 3【解析】令x

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k(kZxk1kZ.3当k2时，x .3应选：A.〔四〕操作演练素养提升 π π函数y＝－cosx在区间－2，2上是( )增函数C．先减后增函数

减函数D．先增后减函数正弦函数y＝sinx，x∈R的图象的一条对称轴是( )A．y轴C．直线x π

B．x轴Dx＝π πy＝cosx－4在[0，π]上的单调递减区间为( )π 3π πA.4，