初二能力拓展班讲三角形巩固提高(学生版)

第5讲三角形巩固提高【知识要点】要点1三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；③三角形三个内角的和等于180°；④三角形三个外角的和等于360°;⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。要点2三角形的主要线段和外心、内心①三角形的角平分线、中线、高；②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等;④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。要点3等腰三角形等腰三角形的识别：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形〈等角对等边）；③三边相等的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。等腰三角形的性质：①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；④等边三角形的三个内角都等于60°。要点4直角三角形

直角三角形的识别：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互余；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。要点5全等三角形边角边公理＜SAS）：有两边和它的夹角对应相等的两个三角形全等。角边角公理＜ASA）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。推论＜AAS）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。边边边公理＜SSS）：有三边对应哪个相等的两个三角形全等。斜边、直角边公理＜HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。【练习1】＜1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，则第三条的长。＜2）已知：等腰三角形中一内角为80°，求这个三角形的另外两个内角的度数。【例题1】要使三条线段3a—1,4a+1,12—a能组成一个三角形求a的取值范围。【练习2】有四条线段，长度分别为4cm,8cm,10cm,12cm,选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？和分别是N和N的平分【例题2】＜2018•潼南中考）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG,BE±AG,DFXAGo＜1）证明：△ABE/^DAF；＜2）若NAGB=30°,求和分别是N和N的平分【练习】如图，在正方形中，为边上一点，Z =31观察猜想和的大小关系，并证明你的猜想；2求N的度数.【例题】如图，在△中，N°, ,线，它们相交于点，求点到的距离

【练习4】<2009•厦门中考）如图，在AABC中，NC=90°,NABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘M,BC=8厘M,则点D到直线AB的距离是 厘M。【例题4】如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=CD,DMLBC,垂足为M。求证：M是BE的中点。A【例题5】《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的亍驶速度不得超过7Y70千M/时”.一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶〈如图所示），在距巨离路边25^处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点,所用时间为1,底、1<1）试求该车从A点到B的平均速度；<2）试说明该车是否超过限速.［北【例题6】如图，在^ABC中，AB=7,AC=11,点M是BC的中点，T~.. 笆一AD是NBAC的平分线，MF〃AD,则FC的长为？【例题】如图，为^边上的一点，且，已知//45nApc=6则N的度数是多少？ - A【例题8】已知：点P是等边力ABC内的一点，N^pC=150°,PB=2,PC=3,求PA的长。TOC\o"1-5"\h\z………/占\力…小【知识演变】在上题中，若将条件改变为：已知点上是等边力ABC内的一点，PA=11PB=2,PC=3。能求出NBPC的度数吗？请试一试。 0 / \【练习5】如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC,以BP为边作^^=60°，且B BQ=BP,连结CQ. 入<1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论. /1^\<2）若PA：PB：PC=3：4：5,连结PQ,试判断APQC的形状，并说明理由.c【练习6】如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图： 口①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；②连结三个格-d__板的直角I点，使之构成直角三角形，小华在下面的正方形网格中作出了Rt^ABC.请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网-d__板的直角I【例题】 •大兴安岭）已知/。，在N的平分线目上有一点一f一个三角 B 6

顶点与重合，它的两条直角边分别与、或它们的反向延长线）相交于点、.1当三角板绕点旋转到与垂直时如图），易证：0D+0E=|20C）当三角板绕点旋转到与不垂直时，在图、图这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段、、 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证A 才明・ 总“这 C/【练习7】如图，有两个长度相同的滑w磊"/与右边滑梯水平方向的长度DF相等，I【例题10】如图，在Rt△ABC中，ACB=90°,CD±AB于D,设AC=b,BC=a,CD=h,AB=c,求证:t2）a+b<c+h；［3）以a+b,h,u+h为边的三角形是直角三角形. /【课后作业】 乙口A口.等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,则腰长为<）A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不对.如图，AABC是等边三角形，/CBD=90。，BD=BC，则/1的度数是 。.<1）已知如图①，在△AOB和^COD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=60°。求证：①AC=BD,②NAPB=60°。<2）如图②，在△AOB和^COD中，OA=OB,OC=OD,NAOB=NCOD=a，则AC与BD间的等量关系式为并证明 二 二.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m,面积为少^工人师傅要把它加工成一个面积吟口大的正方形，请两位同学设计加工方案，甲设计方案如图1）,乙设计的方案如图2］。你叼哪位同学设计的方案较好？试说明理由。〈加工损耗忽略，计算结果可保留分数）宗.如图所示，设A城气象台测得台风中心在A城正西苑向600km的B处，正以每小时200km的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心500km的范围是受台风影响的区域. 北<1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ \ B<D风的影响<2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台

风的影响6.<1）如图，在Rt6.<1）如图，在Rt^ABC中，NC=90°,AD是NBAC的角平分线，ZCAB=60°,CD=%3,BD=2、C，求AC,AB的长.<2）某片绿地形状如图所示，其中AB±BC,CD±AD,ZA=60°,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的长.【优加分享】站起来的次数一位父亲很为他的小孩苦恼，都已经十五、六岁了，一，点请求这位禅师帮他训练他的小孩。 I禅师说：“你把小孩留在我这边三个月，这三个月你都不可以来看他。三个月后，和卜 你的小孩训练成一个真正的男人。”三个月后,小孩的父亲来接回小孩。禅师安排了一场空手道比赛来向父亲展示这三个月的训练成果。被安排与小孩对打的是空手道的教练。教练一出手,这小孩便应声