利用基本不等式求最值的类型及方法之欧阳引擎创编

欧阳弓欧阳弓I擎创编欧阳弓欧阳弓I擎创编2021.01.012021.01.012021.01.012021.01.01欧阳引擎创编欧阳引擎创编欧阳引擎创编利用基本不等式求最值的类型及方

法欧阳弓I擎(2021.01,01)一、几个重要的基本不等式:Q2+1）2+b2>2abab< （。、beR）,、一「一、1,「一一,、① 2 当且仅当a=b时，』”号成a+b>2Jaboaba+b>2Jaboab工②(a+b^X1（。、bgR+）,当且仅当a=b时，』”号成立;Q3+/73+C3(23+Z73+c3>3abc<^>abc< (a、b、ceR+),,_ ,③ 3 当且仅当a=b=c时,三”号成立；a+b+c>3ijabcoabc<④a+b+c^a+b+c>3ijabcoabc<④a+b+c^[3J3仄当且仅当a=b=c时,』”号成立.注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、“定”、三等'；②熟悉个重要的不等式链：②熟悉个重要的不等式链：2 1 1 ।a+Z?1i12+/j2ab" 2 \ 2o

b二、函数/图象及性质f(x)=ax+—。、Z?>0)=,Q5=,⑴函数 x 图象如图：^,,f(x)=ax+—G>b>0)⑵函数” x 性质：②单调递增区间：店2；单调递减区间：①值域：(-°°，-2J而]U[2<^F,+oo).②单调递增区间：店2；单调递减区间：©仔，［-即.三、用均值不等式求最值的常见类型类型I:求几个正数和的最小值。y=x+ (x>1)例1、求函数4Ml” 的最小值。解析:12(x-1)2(x>l)=(x-l)412(x-1)2+1(x>1)=口解析:12(x-1)2(x>l)=(x-l)412(x-1)2+1(x>1)=口x-1

~ri2(1)2>3x—1x—1~r'~r-^+1>3 §2(1)2 -2 2,当且仅当〒=2(xT)2(">D即x=2时,“二”号成立，故此函5数最小值是黑评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆顶(常常是拆底

次的式子)等方式进行构造。类型n：求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值：=X2(3-2x)(0<尢<伞②》=sin?xcosx(0<x<解析：①0<解析：①0<x<—,.*.3-2x>0*.* /cc、/八 3、 /cc、「尢+尢+(3—2尢)r.y=尢2(3-2x)(0<x<―)-X'X'(3-2尢)<[ -]3=1•• 2 3 ,当且仅当x=3-2x即x=l时，"=”号成立，故此函数最大值是1。兀②°<y 则y>。,欲求y的最大值，可先求义的最大值。=-(sinx-smx-2cosx)TOC\o"1-5"\h\zy2=Sin4X-COS2X =silPX-silPX-COS2X 21,sin尢+si皿尢+2co*尢、 4<--( )3二一2 3 27,当且仅当si建尢=2co像尢 2ntanx=V^,即x=〃n?tan加时273♦”号成立，故此函数最大值是歹。评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。类型ni：用均值不等式求最值等号不成立。4例3、若小冲尺+,求八“一尢+1（。。《1）的最小值。b解法一：（单调性法）由函数"尢）+不〃、“①图象及性质知,_ 4■（。，1］时，函数”尢）"尢二是减函数。证明：任取匕，。1］4——)=(x-%)+4-八xx-4八TOC\o"1-5"\h\zx-x<0, <0/（5）-小2）〉°二/（5）〉小2）,4 4即“尢）=尢+1在（。，1］上是减函数。故当，=1时，/⑴=尢+1在（。，1］上有最小值5o-6)2+4-6)2+4解法二：（配方法）因0。41,则有”尢）"二一2 2易知当0CW1时，4点一且单调递减，贝/0M耳一""+4在（。，1］上也是减函数,4 4即/⑴二A是在（。，1］上是减函数，当元=1时，/⑴7+I在（。」止欧阳引擎创编欧阳引擎创编欧阳引擎创编欧阳引擎创编2021.01.012021.01.012021.01.012021.01.01有最小值5。解法三：(拆分法)/(x)=x+i(o<x<i)=(x+i)+|-2fi+LI当且仅当x=1时』”号成立，故此函数最小值是5O评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。类型w：条件最值问题。星二1例4、已知正数X、y满足％y,求x+2y的最小值。解法一：(利用均值不等式),81、，c、s% .k16y1O—(—+—)(%+2y)—10+—+210+2j—,-18x+2yxy yx”x,18 1i%y<£=16y当且仅当「一丁即％=12,y=3时.，号成立，故此函数最小值是18。8 1 x—+——1 V- 解法二：(消元法)由"y得,X-8,由Yy>0n >0又X>0nx>8x—82x2(x-8)+16 _16 .o,16___QA16x+2yx+ =x+ =x+2+ =(x-8)+ +10—2.[(x-8)*—+10=18x+2yx-8 x-8 x-8 x-8Vx-8r_2-__当且仅当 一x-8即-12,此时y=3时♦”号成立，故此函数最小值是18。TOC\o"1-5"\h\z1=sin2X 8V X—_J九 sm2x11解法三：(三角换元法)令〔y则有〔y一cos2%则 ：_0、_ 8^21—sim%coszx-8csc2x+2sec2x=8(1+cot2x)+2(1+tan2x)=10+8cot2x+2tan2x>10+2>/(8cot2x)-(2tan2x)>i8,易求得％=12,此时y=3时口”号成立，故最小值是18。评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍x+2y=(―+—)(x+2y)>2j—•—•Jx-2y-8有这样一种错误的求解方法： xyKo原因就是等号成立的条件不一致。类型v：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数人>满足冲=%+y+3,试求孙、工十y的范围。角牟法一：由x>0,y>0,贝C^=x+y+3nq—3=x+y22历，即(板)2—2板+32。角牟得国"一1舍或923,当且仅当％=用3=%+尹3即x=y=3时取，士，号，故町的取值范围是［9,+8)。又x+yx+y+3-xy<( )20(了十,》—4(x+y)—1220n%+yV—2(舍)或%+y>6?当且仅当x=>且^=1+>+3即x=y=3时取“二”号，故工+y的取值范围是叵+8)。角牟法二：由x>O，y>。，孙=%+,+3=(%_1),=%+3知］。］,y= y>°n %>1则： ，-1,由x-1x+3%2+3x(x-l)2+5(x-l)+4. .. 4 _.oLZ4孙二%• = =-—— ——--二(%—1)+ +5>2(x-1)+5=9x-1 x-1 x-1 x-1VX-1 ,4当且仅当== ,并求得k3时取』，，号，故町的取值范围是9+8)。x+y=%+ =%+ =%++1=(x-l)+ +2>2^J(x-l) +2=6x-1 x-1 x-1 x-1Vx-1当且仅当即"=3,并求得尸3时取“二，号，故冲的取值范围是9+8）。评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。四、均值不等式易错例析：_(x+4)(x+9)例L求函数尸一x—的最值。^(x+4)(x+9)=x2+13x+36=13+x+36^3+.^36=25X X X \X36

X——当且仅当X即1=±6时取等号。所以当X=±6时，y的最小值为25,此函数没有最大值。分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等_(x+4)(x+9)式求最值时的条件导致错误。因为函数'=-x—的定义域为5o)u(。，+8),所以须对％的正负加以分类讨论。WA IQZ7y=13+x+—＞13+2A'x--=25正解：1)当x＞。时， X\X36X- 当且仅当，即—6时取等号。所以当工=6时,y=25minC出计 -->0 (t)+(*N2]T)(*=12TOC\o"1-5"\h\z2)当x<0时， x, -J、___36当且仅当r=一三，即1=-6时取等号，所以当％=-6时,y=13-12=1max *例2.当x＞。时，求厂—+装的最小值。9 । 9 6上 .^>0^y=4x+——>2'4x-——=-错斛：因为 \X27X9 3)9 6n-o所以当且仅当 装即》情时，幻「77=2加。分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定9值”或“和为定值”，而上述解法中以与区的积不是定值，导致错误。TOC\o"1-5"\h\z9 Q31 9~ ,_,、|x>0,y=4x+——=2x+2x+——>3^'2x•2x•——=3V36正解：因为 X2 X2\X29 _^36当且仅当"装，即"亍时等号成立，所以当"亍时，回。="2+5 £R)例3.求4+4 的最小值。y=%+5--《+4+ 1—>214x2+4- 1_=2错解：因为62+4 &2+4 \ 7x2+4 ,所以y=2min J%2+4―— — 分析：忽视了取最小值时须 "不再成立的条件，而此式化解得X2=-3,无解，所以原函数y取不到最小值2。_1正解：令”G7(拈2),则尸‘+ )_1又因为此1时，厂”7是递增的。所以当年2,即工=。时，5y=-2O—+一=1例4.已知x，"A+且xy,求沅=x+)的最小值.*.*!=—+—>~^=nJxy>4 ,_错解：X)向 广"X+Y22历28,.5的最小值为8.1_4分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为1二5和l=匕而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值8./ 、/1 4、匚4xy、厂4八 u—(x+y)(—+—)=5+—+—25+4=9正解： ％yy%当且仅当Vxggx=3,y=6时等号成立.二.m的最小值为9.综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。技巧一：凑项5 1例1：已知求函数尸4%-2+c的最大值。1解：因4x-5<。，所以首先要“调整”符号，又(以一幻不不是常欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01欧阳引擎创编 欧阳引擎创编 2021.01.01<-2+3=1<-2+3=1,y9x=2+—+10>6+10=16xy1+9-1xy可得x=4,y=12时，数，所以对4%-2要进行拆、凑项，“<I-5-4x>0,TOC\o"1-5"\h\z“c1 1「「.y=4x-2+ =-5-4x+ +34x-5 I 5-4x),,,5-4x=-1_ 一，当且仅当 5-4x,即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax技巧二：凑系数例2.当口匚门4时，求y=x（8-2x）的最大值。解析：由口CU4知，8-2^0,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到2x+（8-2x）=8为定值，故只需将y=x（8-2x）凑上一个系数即可。当改*--即x=2时取等号当x=2时，y=x（8-2x）的最大值为8。技巧三：分离x2+7x+10例3.求y=x+1 （x>一）的值域。解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。, y>2：（x+1）义+5=9 , ,,当二-1,即一1二口时,' x+1 （当且仅当x=1时取“=”号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x+1,化简原式在分离求最值。, y>2,:tx—+5=9当q-1,即t=克+1口口时,、t（当t=2即x=1时取“=”号）。技巧五：在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结

a _x2+5合函数f（x）=x+x的单调性。例：求函数一的值域。- y—x2+5='；x2+4+——1=t+-（t>2）解：令尸2+4—t（t>2），则y—¥百 口2+4 t因”0't.卜1,但t=1解得t-±1不在区间h内），故等号不成立，考虑单调性。因为y=t+1在区间k+Q单调递增，所以在其子区间h+Q为单调递>5增函数，故y2。「5 ）一,+8所以，所求函数的值域为I2人技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。1+9-12：已知x〉0,y〉0,且xy，求x+y的最小值。々力x〉0,y〉0,—i——1 二.x+y=(x+y)解： xy,y_9x当且仅当x―了时，上式等号成立，又