【实用资料】三重积分的计算及重积分的应用PPT

三重积分的计算及重积分的应用（优选）三重积分的计算及重积分的应用把积分化为三次积分,其中

由曲面提示:积分域为原式及平面所围成的闭区域.P183题7练习题

计算三重积分其中是由

xoy平面上曲线所围成的闭区域.提示:利用柱坐标原式绕x

轴旋转而成的曲面与平面P183题8(3)三重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号1.积分区域关于坐标面的对称性.2.被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.利用对称性简化三重积分的计算：其它情形依此类推.三重积分计算的简化P182题1(1)

设有空间闭区域

则有（）例1

解典型例题

例2

解利用球面坐标例3

解在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中第四节一、立体体积三、物体的质心重积分的应用

第十章四、物体的转动惯量二、曲面的面积五、物体的引力二重积分的元素法将定积分的元素法推广到二重积分，可得二重积分的元素法：若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性：

并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dσ时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y)dσ的形式，其中(x,y)在dσ内。f(x,y)dσ称为所求量U的元素，记为dU，则所求量的积分表达式为：（即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），一、立体体积一、立体体积

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.例1.求曲面分析:

第一步:求切平面

方程;第二步:求

与S2的交线在xOy面上的投影,写出所围区域D;第三步:求体积V.(示意图)任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:

曲面的切平面方程为它与曲面的交线在

xOy

面上的投影为(记所围域为D)在点例1.求曲面例2.求半径为a

的球面与半顶角为

的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为二、曲面的面积曲面方程：D:有界闭区域求曲面的面积AP1751，2，3第三步:求体积V.设物体占有空间区域,将第k块看作质量集中于点解:在球坐标系下空间立体所占区域为所围立体的体积V.(A为D的面积)若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性：采用“分割，近似，求和，取极限”可导出其质心处小切平面的面积dA无限积累而成.对点P0处的单位质量质点物体对位于点P0(x0,y0,z0)处的单位质量质点的引力为在xOy面上的投影,P15510将分成n小块,球冠在xoy面上的投影区域：设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D

上的投影为d

,(称为面积元素)则(见P99)故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且曲面面积其中D是曲面在坐标面z=0上的投影区域求曲面面积的步骤：（1）求曲面在坐标面z=0上的投影区域D（2）在区域D上计算二重积分：同理可得设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：将定积分的元素法推广到二重积分，可得二重积分的元素法：若求xOy面上的平面薄片D,引力元素在三坐标轴上分量为曲顶柱体的顶为连续曲面利用洛必达法则与导数定义,得求半径为a的球面与半顶角为的求半径为a的均匀半圆薄片对其直径采用“分割，近似，求和，取极限”可导出其质心若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,将定积分的元素法推广到二重积分，可得二重积分的元素法：消去被积函数绝对值符号（2）在区域D上计算二重积分：则面积A可看成曲面上各点物体对位于点P0(x0,y0,z0)处的单位质量质点的引力为例3求球面被平面所截的球冠的面积。解：球冠在xoy面上的投影区域：半球面面积：球面面积：例4求圆锥面被圆柱面所截部分的面积。投影区域：所求曲面：作业P15510P1751，2，3习题课三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域

,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“分割，近似，求和，取极限”可导出其质心将分成

n

小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点同理可得则得形心坐标：若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A

为D

的面积)得D

的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度—对x

轴的静矩—对y

轴的静矩例5.求位于两圆和的质心（形心）。

解:

利用对称性可知而之间均匀薄片z=0yxzo

柱面坐标a...用哪种坐标？例6..四、物体的转动惯量设平面有n个质点该质点系的转动惯量第k个质点的位置质点系的转动惯量质量xoy平面薄片的转动惯量TheMomentofInertiaofaLamina如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.例7.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.空间有界闭区域上物体的转动惯量设物体占有空间区域

,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为类似可得:对x

轴的转动惯量对y

轴的转动惯量对原点的转动惯量解:

取球心为原点,z轴为l

轴,则球体的质量例8.求均匀球体对于过球心的一条轴

l

的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)五、物体的引力

,G

为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域

,物体对位于点P0(x0,y0,z0)处的单位质量质点的引力为其密度函数引力元素在三坐标轴上分量为其中若求xOy面上的平面薄片D,对点P0处的单位质量质点的引力分量,因此引力分量为则上式改为D