数值计算方法(宋岱才版)课后答案

数值计算方法(宋岱才版)课后答案（常用版）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）

数值计算方法(宋岱才版)课后答案（常用版）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）第一章绪论一本章的学习要求（1）会求有效数字。（2）会求函数的误差及误差限。（3）能根据要求进行误差分析。二本章应掌握的重点公式（1）绝对误差：设为精确值，为的一个近似值，称为的绝对误差。（2）相对误差：。（3）绝对误差限：。（4）相对误差限：。（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数（6）一元函数的相对误差限：。（7）二元函数的绝对误差限：设一元函数（8）二元函数的相对误差限：。三本章习题解析下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别估计及的相对误差限。解：（1）有5位有效数字，有2位有效数字，有4位有效数字，有5位有效数字。（2）由题可知：为的近似值，分别为近似值。所以同理有为的近似值，，为，的近似值，代入相对误差限公式：正方形的边长大约为100cm，怎样测量才能使其面积误差不超过?解：设正方形的边长为，则面积为，，在这里设为边长的近似值，为面积的近似值：由题可知：即：推出：。测得某房间长约=4.32m，宽约为=3.12m，且长与宽的误差限均为0.01m解：设则有：，。在这里分别为，，的近似值：相对误差限为：。下列公式如何计算才比较准确：(1)当x的绝对值充分小时，计算；（2）当N的绝对值充分大时，计算；（3）当x的绝对值充分大时，计算。解：（1）当时，===（2）当时，===(3)当时，==。列满足递推关系=10-1，n=1,2,…，若=，计算到时误差有多大？这个计算数值稳定吗？解：已知准确值，近似值，设他们的误差为，则有：==以此类推所以==计算，取1.4，直接计算和用来计算，哪一个最好？解：依题意构造函数，则，由绝对误差公式==0.003072求二次方程-16x+1=0的较小正根，要求有3位有效数字。解：由求根公式：。所以。，对比可知：较小的根为，由相近数相减原理则有：如果利用四位函数表计算，试用不同方法计算并比较结果的误差。解：设x的相对误差限为δ，求的相对误差限。解：由题意可知：设，则有在这里设为的近似值，为的近似值，由已知的相对误差限为。所以：已知三角形面积S=absinc,其中c为弧度，满足0<c<，且a,b,c,的误差分别为,，。证明面积误差满足++。解：由误差定义：，又因为：，，代入上式可得：两边同除以可得：，约分可得：，因为：0<c<则有：>c>0.，所以命题成立。第二章插值法一本章的学习要求（1）会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。（2）会应用插值余项求节点数。（3）会应用均差的性质。二本章应掌握的重点公式（1）线性插值：。（2）抛物插值：。（3）次插值：。（4）拉格朗日插值余项：。（5）牛顿插值公式：。（6）。（7）。（8）牛顿插值余项：。三本章习题解析给定的一系列离散点（1，0），（2，—5），（3，—6），（4，3），试求Lagrange插值多项试。解：设所求插值多项式为，且已知：，代入插值基函数公式：可得：===化简代入得:若，求，。解:由，所以:!，.由均差的性质(三)可知:，给定函数表012345-7-452665128试用Lagrange插值法求一个三次插值多项式，并由此求的近似值。试用Newton插值公式求一个三次插值多项式，并由此求的近似值。解：(1)，取0.5附近的4个点为宜。故取，，。则，按照习题1求出插值基函数。代入。可得：，所以：（2）设牛顿插值多项式为，列差商表：一阶插商二阶插商三阶插商0-71-4325933262161所以：=-5.875设为互异节点（j=0,1,2,…,n）求证：，=0,1,2,…,其中为次插值基函数。证明：根据题意：设，所以有，结合上式所以有：=，由余项定理可知：，且由定理二可知，当时，所以就有。在这里令变量，所以命题：，成立。设且，求证：。证明：由题可知：，，故可构造线性插值多项式即为下式：，记为（1）式，因为，记为（2）式，其中，记为（3）式，将（1）（3）代入（2）整理：所以：这里取代入，可推出：再放缩得若有个不同实零点证明：证明：由题可知：有个不同实零点，故还可以表示成根形式的多项式，即：；由导数的定义可知：=在此设：；，记为（1）式当时，，则（1）变为；当，则（1）式变为0，综上所述：给定函数表-2-10123-5111725已知以上数据取自一个多项式，试确定这个多项式的次数；并求出这个多项式。解：用牛顿法：+，列插商表：一阶插商二阶插商三阶插商四阶插商五阶插商-2-5-116010-311001276310325186100，为三次。对函数，及任意常数a,b,证明：。证明：由高等数学的知识，我们构造函数，于是就有下式成立：由分式法则：=，所以命题成立。10.给定函数表0.00.20.40.60.81.000001.221401.491821.822122.22554试分别用Newton前插值公式和Newton后插值公式计算的近似值。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，分别代入Newton前插值公式和Newton后插值公式可得=1.05126.若要给出，的一张按等距步长h分布的函数表，并按线性插值计算任何的的值。问当h取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入余项公式，即可求出。设，采用Lagrange插值余项的证明方法，证明：埃尔米特插值余项。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，将定理2代入余项公式即可求得，在此不做说明。求不超过3次的多项式，使其满足。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为：，代入条件，即可求得：。求不超过4次的多项式，使其满足，。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为分析，代入条件，即可求得：。给定函数表012300.521.5在边界条件，下求三次样条插值函数；在边界条件，下求三次样条插值函数。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入样条插值函数公式，即可求得，在此不做说明。结果为：（1）（2）第三章函数逼近及最小二乘法一本章的学习要求（1）会用最小二乘法求拟合曲线。（2）会将非线性函数转化成线性函数。二本章应掌握的重点公式线性曲线拟合公式：，，，，。三本章习题解析设是区间[0,1]上带权的最高项系数为1的正交多项式序列，其中=1，求及和。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：；；。判断函数=1，=x,，，在上带权正交，并求使其在[-1，1]上带权与，，正交。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：。证明：若函数组是在[a,b]上带权正交的函数组，则必然是线性无关的函数组。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明。已知点列，，，，及权函数，，，利用公式（4—7）和（4—8）构造对应的正交多项式分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：，，。已知数据表012341.003.856.509.3512.05求拟合这些数据的直线方程。解：设所要拟合的直线方程为：，这里，，，，，，，，，所以可得到以下方程组：解得：，，所以所求方程为。已知数据表1234567833455667求拟合这些数据的直线方程。解：设所要拟合的直线方程为：，这里，，，，，，，，，所以可得到以下方程组：解得：，，所以所求方程为：。某发射源的发射强度公式为，现测得与的一组数据如下表0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.751.341.000.740.56试用最小二乘法根据以上数据确定参数和的值。解：先将线性化，即两边取以10为底的对数，变为，设，，，所以上式变为。这里，，，，代入公式得：，，，，，所以可得到以下方程组，解得：，，相应的。试用最小二乘法根据以下数据表1.001.251.501.752.005.105.796.537.458.46求的最小二乘拟合曲线。解：先将线性化，即两边取以10为底的对数，变为，设，，，所以原式变为：。这里，，，，代入公式得，，，，，所以可以得到以下方程组：，解得：，，代回求得，,,故方程为。用最小二乘法求形如的经验公式，使它拟合以下数据。192531384419.032.349.073.397.8解：先将线性化，设，则原式变为，这里，，，，代入公式得，，，，，所以可以得到以下方程组：，解得：，，所求方程为：。第四章数值积分和数值微分一本章的学习要求（1）会求各种插值型求积公式。（2）会应用求积公式分析代数精度。（3）掌握梯形公式，辛甫生公式及其误差余项。（4）掌握复化梯形公式，复化辛甫生公式及其误差余项。二本章应掌握的重点公式（1）梯形公式：。（2）辛甫生公式：。（3）复化梯形公式：。（4）复化辛甫生公式：。（5）梯形公式的误差余项：。（6）复化梯形公式的误差余项：。三本章习题解析用复化梯形公式和复化Simpson公式计算下列积分。（1）取；(2)，取解：（1）代入复化梯形公式可得=0.1114024，(2)代入梯复化形公式可得：=1.03562，同理，分别代入复化Simpson公式可得：，。确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所构造的求积公式所具有的代数精度。（1）（2）（3）（4）解：（1）设，，，求积公式准确成立，代入（1）式可得：解得：，代入原式整理得：，对于，代入上式验证，左边=右边，继续令，代入上式验证，左边右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。（2）设，，，求积公式准确成立，代入（2）式可得：解得：，代入原式整理得：，对于，代入上式验证，左边=右边，继续令，代入上式验证，左边右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。（3）设，，，求积公式准确成立，代入（3）式可得：解得：代入原式整理得：，对于，代入上式验证，左边=右边，继续令，代入上式验证，左边右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。（4）设，，求积公式准确成立，代入（4）式可得解得：代入原式整理得：，对于，代入上式验证，左边=右边。继续令，代入上式验证，左边右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。证明：具有3次代数精度。证明：当时，左边=1，，左边=右边。当时，，，左边=右边。当时，，，左边=右边。当时，，，左边=右边。当时，，，。故所求积公式具有3次代数精度。用复化Simpson公式计算积分，要使误差不超过，问应将区间分为多少等份？若改用复化梯形公式时，要达到同样精度问应将区间分为多少等份？解：复化Simpson公式的余项的绝对值为：由此可将原问题转化为解得：。同理若应用复化梯形公式，则有解得：。求积公式，已知其余项表达式为。试确定求积公式中的待定参数，，，使其代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精度及余项表达式。解：设，，求积公式准确成立，代入原式可得：解得：，，，所以原式变为：，当时，代入原式，左边=，右边=，左边右边，由题意知误差为且，所以求得，即为所求，上式求积公式具有3次代数精度。若用复化Simpson公式计算，要使误差不超过，问需要计算多少个节点上的函数值？解：，在这里取复化Simpson公式余项的绝对值，代入已知条件得：，进行放缩得：，解得：。7.推导下列三种矩形求积公式，其中（1）（2）（3）证明：（1）将在处展开成一阶泰勒公式，即：上式两边在积分，得：=，这里我们应用广义积分中值定理：，，于是上式中第二项就化简为如下形式：，，积分整理得到：。（2）将在处展开成一阶泰勒公式，即：上式两边在积分，得：=，上式中第二项应用广义积分中值定理化简代入即可得：。（3）将在处展开成二阶泰勒公式，即：，上式两边在积分得：，由广义积分中值定理，，代入上式第三项化简，然后对上式整体积分即可得：。8.对积分构造一个至少具有三次代数精度的数值求积公式。解：将三等分，即取节点0，1，2，3.构造求积公式：，令=1，，，求积公式准确成立，代入公式得：解得：所以所构造的求积公式至少具有三次代数精度，即：。用高斯-勒让德求积公式，取n=2计算定积分。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入高斯勒让德求积公式：即可求出：。用龙贝格求积公式计算定积分。解：代入复化梯形递推化公式，求得：，，，，，，，，，。若，证明用梯形公式计算积分所得的结果比准确值大，并说明其几何意义。证明：已知梯形公式为，由已知及余项公式，也就是即造成结果比准确值大。几何意义：由可知曲线为向下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。第五章常微分方程的数值解法一本章的学习要求（1）能够熟练的应用欧拉公式求初值问题。（2）掌握龙格库塔方法。二本章应掌握的重点公式（1）欧拉公式：。（2）后退的欧拉公式：。（3）梯形公式：。三本章习题解析对初值问题，在区间内取步长，分别用欧拉公式、改进的欧拉公式及经典的四阶Runge-Kutta公式作数值计算。解：（1）由欧拉公式可知：=。（2）由改进的欧拉公式可知：将已知代入化简可得：，，=。（3）由经典的四阶Runge-Kutta公式可知：公式为：记为（1），所以有：，，，，代入到（1）得：。用欧拉公式解初值问题，证明其整体截断误差为。证明：将已知代入欧拉公式，化简为，展开得：，应用递推关系可得：，以此类推：，，，然后迭代得：，由题可知，对原定解问题积分得：，故可得，所以有成立。用欧拉公式计算积分在，1，1.5，2点的近似值。解：设，则，且，故原问题转化为的定解条件在，，，，时的定解问题。由欧拉公式，可知：，=1.142，=2.501，=7.245。用欧拉公式计算初值问题，，取步长时，计算结果稳定吗？解：，所以计算结果不稳定。对初值问题，证明梯形公式求得的近似解为，并证明当步长时，。证明：由梯形公式：，代入化简可得：，合并同类项，整理可得：，化简得：，由已知，于是上式化为，即成立。由极限定义：，。对初值问题，如果取，证明欧拉公式求得的近似解为。证明：由欧拉公式：，将已知代入可得：，迭代可得：，同理，以此类推得：，由有即。8.取步长，试用经典的四阶龙格—库塔公式求初值问题的，的近似值。解：，其中，，，将，，，，代入原式：，取节点：，，，于是有：，。解初值问题，，若用梯形公式求解，要使迭代公式收敛，求步长的取值范围。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：。证明初值问题，是二阶的，并求其局部截断误差项。证明：将在处进行三阶泰勒公式展开得：，同理将，，也在处进行泰勒公式展开，由于原式第二项前有，故，只需展开成二阶泰勒公式即可，即：，，，将以上四式代回原方程得：eq\o\ac(○,1)现将在处进行三阶泰勒公式展开：eq\o\ac(○,2)现将eq\o\ac(○,1)与eq\o\ac(○,2)进行比较可知：，故原式是二阶的，局部截断误差为，局部截断误差的首项为。证明：线性二步法，当时方法是二阶的，当时方法是三阶的。证明：原式变形为，记为（1）式，将，，在处分别展开成三阶，二阶，二阶泰勒公式，即：，，，将上面三式代入（1）式化简可得：，记为（2）式，再将在处展开成三阶泰勒公式，，记为（3）式，将（2）式与（3）式对比，要想具有三阶精度则：，即，当时，，具有二阶精度。求系数a,b,c,d使公式有。解：将，，，在处分别展开成四阶，三阶，三阶泰勒公式，即：，，，，将以上几式代入原式，整理可得：，对照在处的四阶泰勒公式展开式的各阶系数，即可求出相应的未知数，解得，，。对于初值问题的模型方程，求二阶Runge-Kutta方法的稳定区间。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：。求系数，，使求初值问题的公式有尽可能高的精度，并求其局部截断误差首项。解：按照上面几个题的做法可知：，，将以上两式代入原式化简可得：，对照在处展开的三阶泰勒公式的系数即可得到方程组由于四个方程三个未知数，故解前三个方程即可，解得，，，代入说明具有二阶精度，局部截断误差首项为：。第六章方程求根一本章的学习要求（1）能够熟练的应用牛顿迭代公式。（2）能够根据要求推导出牛顿迭代公式并求其局部截断误差。二本章应掌握的重点公式（1）牛顿迭代公式：。（2）迭代收敛定理：设迭代过程收敛于方程的根为，若迭代误差，当时，，则称该迭代过程具有阶收敛。三本章习题解析用二分法求方程在内的近似根，准确到。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：。证明用二分法得到的序列为线性收敛。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明。提示：。设有方程，（1）证明该方程在区间上有唯一根。（2）证明迭代公式对于任意初值都是收敛的，并用此迭代公式求其近似根直到有8位有效数字。证明：（1）由题可知：，，且，由零点定理可知：在内有根。下面证唯一性，由高等数学的知识在有，即单调递增，原命题成立。（2）证明：已知，即，由，所以对任意初值都收敛。同学们可以任选初值进行8次迭代，或上机操作完成。对于，要使迭代公式局部收敛到，求的取值范围。解：由，可知，由收敛定理：，即，解得：。用迭代法求方程的根，求使迭代序列具有局部平方收敛。证明：已知，故可得：，对求导得：，设是的根，即：，所以上式化简为：，由题可知原式具有平方收敛，故由，可求得：，一般化为：，记为（1）式，现将（1）式代入可得：，对求二阶导，将的根代入得：，由于，所以，由收敛定理知，原命题成立。给定函数设对一切，都存在，且。证明对的任意常数，迭代法均收敛于方程的根。证明：由，即：，所以：，又因为：，所以可放缩为：。又因为：，代入上式，继续放缩：，两边取负号：，且，即：，等价于，由收敛定理知方程收敛。7.用Newton法求下列方程的根，准确到四位有效数字。（1）在附近的根；（2）在附近的根。解：本题为上机题。提示：（1）由牛顿迭代公式：，代入化简可得：，在此任取附的值进行迭代即可。（2）同理。8.求方程在附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：（1），迭代公式（2），迭代公式（3），迭代公式试分析每种迭代公式的收敛性；并选取一种收敛最快的迭代公式求出具有五位有效数字的近似根。解：（1）经验证取有根区间为，由已知可得，从而：，在有根区间内，即迭代公式收敛。（2）（3）同理。9.用弦截法求下列方程的根，准确到四位有效数字。（1）在区间内的根；（2）在附近的根。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在此只给出结果：（1）。（2）。10.方程有二重根，用Newton法和分别迭代三次，比较其结果。解：eq\o\ac(○,1)应用Newton法，设，可得：。代入牛顿迭代公式：，即得：，现取初值，进行迭代：，，。eq\o\ac(○,2)应用迭代公式，则，即，同样取初值进行迭代：，，。应用Newton法于方程，导出求的迭代公式，并由此计算的具有四位有效数字的近似值。解：设，所以：，由Newton迭代公式，即：，整理得：，此即为所求的迭代公式。下面求，由已知可知，此时，代入迭代公式，取初值进行迭代：，，。13.应用Newton法于方程，导出求的迭代公式，并求。解：（1）由，设，。建立牛顿迭代公式：，代入整理：，记为的迭代公式。由定理2.定理3.可知：，将代入上式最终化简为：。（2），这里：，。，代入上式即可求得原式=。14.设具有二阶连续导数，，证明迭代公式是二阶收敛的。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：将在点做Tarlor展开到二阶，再将公式两边同时减去，求极限。第七章解线性方程组的直接解法一本章的学习要求（1）会求各种向量范数和矩阵范数。（2）会求普半径和条将数。（3）能够将不同类型的矩阵分解成形式并能解该方程组。二本章应掌握的重点公式（1）矩阵的各种范数：，，。（2）向量的各种范数：，，。（3）当系数矩阵为对称矩阵时，普半径等于二范数。三本章习题解析用高斯消去法解线性方程组解：将其写成矩阵形式为：，现对其增广矩阵进行初等变换化为如下形式：，将其还原，此时求解原方程组的问题就变为解：，解得：。2.给定线性方程组：，已知精确解：。（1）用高斯消去法解此线性方程组；（2）用列主元素消去法解线性方程组。分析：本题被列入上机演算题目，将在最后的程序设计中给出解答。3.设，，经过一步高斯消去法得到，其中，证明：（1）若为对称矩阵，则也为对称矩阵；（2）若为对角占优矩阵，则也为对角占优矩阵。证明：（1）只要证出即可，因为：由为对称矩阵则上式化为证毕。同理可证（2）。4.设有方程组，试将系数矩阵分解成一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵之积；即，然后用你的分解解此方程组。解：将写成的形式即：，利用矩阵的乘法得：，，，，，，，所以可写成：。下面解此方程组，先解即：，解得：，再解，即：，解得。5.试推到矩阵的Crout分解的计算公式，其中为下三角矩阵，为单位上三角矩阵。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：设：，所以：。6.设为非奇异下三角矩阵，（1）列出逐次代入求解的公式；（2）上述求解过程需要多少次乘除法？证明：（1）设，其中：，。解上述方程组可以得到：，，。（2）计算次数为：次乘除法。7.用平方根法解方程组。解：因为系数矩阵为对称正定矩阵，应用平方根法，可分解为即如下形式：，按照矩阵乘法展开与原矩阵对比整理得：，，，，，，。，，。先解方程组，即：，解得：，再解，即：，解得：即为方程的解。8.用追赶法解方程组。解：由题可知：矩阵为三对角占优矩阵，由追赶法知：设的分解为：，按照矩阵乘法展开与原矩阵对比可得：，，，，，，，，，。下面解此方程组，先解，即：，解得：，再解，。即：，解得：即为方程的解。9.设向量，求，，。解：，，。10.设为非奇异矩阵，为的一种向量范数，定义，证明也是的一种向量范数。证明：eq\o\ac(○,1)，A为非奇异矩阵当且仅当：。eq\o\ac(○,2)齐次性。eq\o\ac(○,3).。11.记其中，证明：。证明：，两边同时开次方得：，两边同时取极限得：。由两边夹得：。12.设，求，，，。解：，，，先解：，由线性代数特征向量的知识可知：，并令上式等于0，解得：，，所以：，又因为为对称矩阵，所以：。13.设均为非奇异矩阵，表示矩阵的某一种算子范数，证明（1）；（2）。证明：(1)，变形即：。（2）。14.设为对称矩阵，，，为的特征值，证明。证明：，又因为为对称矩阵，故有，所以有：，由，，…为的特征值，由线性代数的知识可知：，，…是的特征值，且（迹）。所以：。即：。15.设，试证明。证明：，两边开平方，即：，两边同除以，得：。16.设，按矩阵范数的定义证明是一种矩阵范数。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：eq\o\ac(○,1)，当且仅当：。eq\o\ac(○,2).。eq\o\ac(○,3).。17.设，，求，，。解：，，，，。18.证明（1），（2）。证明：（1）由定义可知：，即（1）成立。（2）。第八章解线性方程组的迭代法一本章的学习要求（1）会应用Jacobi迭代法和GAUSS-Seidel迭代法判断敛散性。二本章应掌握的重点公式（1）Jacobi迭代，先求，再令，再根据收敛。（2）Gauss-Seidel迭代，先求，再令，再根据收敛。（3）建设系数矩阵为：。则：，，，分解后再按照不同要求进行求解。三本章习题解析1.设，求的取值范围使。解：由题可知，要使，即与等价，故：令：。得：，显然：，还得要求，即。2.给定方程（1），（2）证明：对（1）Jacobi迭代收敛，而Gauss-Seidel迭代发散；（2）Jacobi迭代发散，而Gauss-Seidel迭代收敛。证明：（1）首先应用Jacobi迭代法，此时，按照矩阵乘法整理如下：，所以令行列式：解得：为复数根，其模满足，故Jacobi迭代收敛。下面应用Gauss-Seidel迭代法：，令行列式：，解得：，发散。（2）由系数矩阵为对称正定矩阵，故由定理可知：Gauss-Seidel迭代一定收敛。而Jacobi迭代则不一定成立，按照（1）的方法验证Jacobi迭代为发散。3.给定方程组，判别用Jacobi和Gauss-Seidel迭代解此方程组的收敛性，若收敛，取初值，求满足的解。分析：本题被列入上机演算题目，将在最后的程序设计中给出解答。4.给定方程组，判别用Jacobi和Gauss-Seidel迭代解此方程组的收敛性。解：首先应用Jacobi迭代法可知：，令：，解得：，显然，收敛。再应用Gauss-Seidel迭代法：，由于求比较复杂，故采用直接代入求解，即：，令上式等于0，即：，由于：，所以只有：。由：，，对上式取行列式，即：，解得：，，所以：，发散。5.已知方程组，对任意，给出解此方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法收敛时的取值范围。解：首先应用Jacobi迭法：，令行列式：，解得：，所以要想收敛则应满足：，即：。再应用Gauss-Seidel迭代公式：，令行列式：，解得：，或，所以要想收敛则应满足：，即：，则。6.证明矩阵对于是正定的，且此时用Jacobi迭代法解方程组时是收敛的。证明：要想正定各阶顺序主子式均大于0，即：eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)，，eq\o\ac(○,3)，解得：，综上所述：。应用Jacobi迭代公式：，令行列式：，解得：，或，，命题成立。7.证明矩阵对于是正定的，而Jacobi迭代法只对是收敛的。证明：要想正定各阶顺序主子式均大于0，即：eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)，eq\o\ac(○,3)，解得：，综上所述：。应用Jacobi迭代公式：，令行列式：解得：，所以要想收敛必满足：，即：。10.设，证明，但对于时，不存在。解：根据上述极限存在的充要条件可知，这里通过普半径来验证其存在性。（1）令行列式，得：，收敛，极限存在。（2）令行列式，得：，发散，故原极限不存在。11.设方程组，证明解此方程组的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散；并给出两种迭代法收敛的充要条件。证明：将方程组表示成矩阵形式，即：，首先应用Jacobi迭代法，令行列式：，解得：。再应用Gauss-Seidel迭代法：，令行列式：，解得：，所以普半径：。当时，同时收敛，当同时发散。12.给定方程组，不进行计算，试判别用Jacobi和Gauss-Seidel迭代解此方程组的收敛性，若收敛，哪种迭代收敛快？分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：通过观察此方程为对角占优矩阵，由定理可知：当时，方程迭代收敛，且越小收敛又快。13.试说明Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵中至少有一个特征值等于零。证明：由线性代数的知识可知：，又因为：，而：，所以：，又因为为上三角矩阵，所以：中至少有一个为零。14.已知方程组，对任意，若用迭代公式求解此方程组时，（1）的取值范围，使迭代公式收敛；（2）取何值时，收敛速度最快？解：由，可知，根据可得：，对照公式，可知此时：设为的特征根，则的特征根为：，令行列式：，解得：，所以的特征值为：，和，要想收敛则普半径为：，解不等式组：，解得：。（2）由定理可知越小收敛速度越快。由解析几何的思想：，且：。我们把看成是的函数，化简不等式组可得：，图像如下：解最小交点坐标：即：，解得，此时收敛最快。模拟试题一填空：（每空3分，共30分）1.用迭代法，求方程的根，要使迭代序列具有平方收敛，则=即可。2.使用松弛法（SOR）解线性方程组时，松弛因子满足条件时一定发散。3.设要使，则应满足4.区间上的三次样条插值函数在上具有直到阶的连续导数。5.设当满足条件可以分解？其中为具有正对角元的下三角矩阵，此时=6.测得某圆锥的底圆半径，高为，单位（）今取。若用此三个值计算圆锥体积时，则的误差限为7.已知求积公式满足：，，，则此公式至少具有次代数精度。8.向量,则是一种向量范数（一定，不一定，一定不），而是一种向量范数（一定，不一定，一定不）二计算题：1.下面的数据取自一个多项式，试用Newton插值公式确定这个多项式的次数，并求出这个多项式。-2-10123-51117252.用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合19253138441932.34973.397.8111113.试确定函数，使迭代公式产生的序列至少三阶局部收敛到的根。4.证明：线性二步法，，当时，方法是二阶的，当时方法是三阶的。5.设方程组=试将系数矩阵分解成一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵之积，即，然后用你的分解解此方程组。6.已知方程组试给出解此方程组的Jacobi迭代法和Gauss-seidel迭代法的收敛的充要条件。7.设方程的重根，证明Newton迭代法仅为线性收敛，若用迭代公式则可至少达到二阶受敛，给出证明。期末考试程序设计题解析一求程序：（C语言）#include<stdio.h>#include<math.h>voidmain(){ doubleIA[21],IB[21]; inti; IA[0]=0.18232155,IB[20]=0.0087301587; //利用递推公式(A),计算IA for(i=1;i<=21;i++) { IA[i]=(-5.0)*IA[i-1]+1.0/i; } //利用递推公式(B),计算IB for(i=20;i>=1;i--) { IB[i-1]=-(IB[i]/5.0)+1/(5.0*i); } //输出结果 printf("第一题\n\nn\tI(A)\t\t\t\tn\tI(B)\n"); for(i=0;i<21;i++) { printf("%d\t%-18.10f\t\t%d\t%-18.10f\n",i,IA[i],i,IB[i]); } }运行结果：二给定函数表012345-7-452665128试用Lagrange插值法求一个五次插值多项式，并由此求的近似值。程序：（C语言）#include<stdio.h>#include<math.h>voidmain(){ floatx[6]={0,1,2,3,4,5},y[6]={-7,-4,5,26,65,128},l[6]={1,1,1,1,1,1}; floata=0.5,s=0.0; inti,j; for(i=0;i<=5;i++) { for(j=0;j<=5;j++) { if(i!=j) { //插值基函数 l[i]=l[i]*(a-x[j])/(x[i]-x[j]); } } //插值多项式 s+=l[i]*y[i]; } //输出结果 printf("第二题\n"); printf("Theresultis%6.3f\n",s);}运行结果：三用梯形公式的递推化公式计算积分，要求误差不超过。程序（C语言）：#include<stdio.h>#include<math.h>//被积函数doublefunc(doublex){ doublet; t=4.0/(1+x*x); returnt;}voidmain(){ inta=0,b=1,k=1,i,j; doubleT[100]={0},s; //梯形公式的递推化公式 T[0]=(b-a)*1.0/2.0*(func(a)+func(b)); do { s=0; for(i=0;i<pow(2,k-1);i++) { s=s+func(a+(2*i+1)*1.0*(b-a)/pow(2,k)); } T[k]=T[k-1]/2+(b-a)*1.0/pow(2,k)*s; k++; }while(fabs(T[k-1]-T[k-2])>0.000005); //输出结果 printf("第三题\n"); for(j=0;j<k;j++) { printf("T[%.f]=%10.7f\n",pow(2,j),T[j]); } printf("满足误差要求的积分表达式的值=%10.7f\n",T[k-1]);}运行结果：四用龙贝格（Romberg）加速公式计算积分，要求误差不超过。程序：（C语言）#include<stdio.h>#include<math.h>voidmain(){ doubleT[4]={3.0,3.1,3.1311765,3.1389885},S[3],C[2],R; inti; //由第三题得到T的值 printf("第四题\n"); for(i=0;i<4;i++) { printf("T[%.f]=%.7f\n",pow(2,i),T[i]); } printf("*******************************************\n"); for(i=0;i<3;i++) { S[i]=4.0*T[i+1]/3-T[i]/3.0; printf("S[%.f]=%.7f\n",pow(2,i),S[i]); } printf("*******************************************\n"); for(i=0;i<2;i++) { C[i]=16.0*S[i+1]/15-S[i]/15.0; printf("C[%.f]=%.7f\n",pow(2,i),C[i]); } printf("*******************************************\n"); R=64.0*C[1]/63-C[0]/63.0; printf("*******************************************\n"); printf("满足误差要求的积分表达式的值R=%-15.7f\n",R);}运行结果：五设初值问题，取h=0.1，试用Euler方法、后退的Euler方法和梯形公式求解。程序：（C语言）#include<stdio.h>#include<math.h>voidmain(){ doubleX,Y1[6]={1.0},Y2[6]={1.0},Y3[6]={1.0},Y4[6]={1.0}; inti; for(i=0;i<5;i++) { X=0.1*i; Y1[i+1]=0.9*Y1[i]+0.1*X+0.1; Y2[i+1]=(Y2[i]+0.1*X+0.11)/1.1; Y3[i+1]=(0.95*Y3[i]+0.1*X+0.105)/1.05; Y4[i]=X+exp(-1.0*X); } X=0.1*i; Y4[i]=X+exp(-1.0*X); //输出结果 printf("第五题\n"); printf("Xn\t\tEuler方法\t后退Euler方法\t梯形公式\t准确解\n"); for(i=0;i<6;i++) { printf("%.1f\t%.6f\t%.6f\t%.6f\t%.6f\n",0.1*i,Y1[i],Y2[i],Y3[i],Y4[i]); }}运行结果：六用Newton法求下列方程的根，准确到四位有效数字。（1）在附近的根；（2）在附近的根。程序：（C语言）#include<stdio.h>#include<math.h>voidmain(){ inti=1,N1,N2; doubleX1[100],X2[100]; X1[0]=X2[0]=2.0; //简单迭代 do { X1[i]=pow(3.0*X1[i-1]+1,1.0/3.0); N1=i; i++; }while(fabs(X1[i-1]-X1[i-2])>0.0005); //牛顿迭代 i=1; do { X2[i]=X2[i-1]-(X2[i-1]*X2[i-1]*X2[i-1]-3*X2[i-1]-1)/(3*X2[i-1]*X2[i-1]-3); N2=i; i++; }while(fabs(X2[i-1]-X2[i-2])>0.0005); //输出结果 printf("第六题\n"); printf("(1)简单迭代法\n"); for(i=0;i<=N1;i++) { printf("%10.7f\n",X1[i]); } printf("利用简单迭代法满足有效数字的方程的根x=%6.3f\n",X1[N1-1]); printf("************************************************\n"); printf("(1)Newton法\n"); for(i=0;i<=N2;i++) { printf("%10.7f\n",X2[i]); } printf("利用牛顿法满足有效数字的方程的根x=%6.3f\n",X2[N2-1]);}运行结果：七.给定线性方程组：，已知精确解：（1）用高斯消去法解此线性方程组；（2）用列主元素消去法解线性方程组。程序：（MATLAB程序）clear;clc;D=zeros(3,4);E=zeros(3,4);A=[-0.00222;10.781250;3.9965.56254];B=[0.41.38167.4178]';C=[AB]D(1,:)=C(1,:);E(1,:)=C(1,:);fori=2:3forj=1:4D(i,j)=C(i,j)+C(1,j)*(-1)*C(i,1)/C(1,1)endendE(2,:)=D(2,:);forj=2:4E(3,j)=D(3,j)+D(2,j)*(-1)*D(3,2)/D(2,2);endB1=E(:,4);x3=vpa(B1(3)/E(3,3),8);x2=vpa((B1(2)-E(2,3)*x3)/E(2,2),8);x1=vpa((B1(1)-E(1,3)*x3-E(1,2)*x2)/E(1,1),8);x=[x1x2x3]结果：用列主元素消去法解线性方程组解的方程的根为：x=[1.9273000,-.69849600,.90042330] 八用SOR迭代法解方程组。方程组的准确解为。程序：（C语言）#include<stdio.h>#include<math.h>voidmain(){ doublex1[6]={1.0},x2[6]={1.0},x3[6]={1.0}; doublew[2]={1.0,1.25}; inti,j;printf("第八题\n"); for(i=0;i<2;i++) { printf("迭代次数kw=%f\n",w[i]);printf("\tx1(k)\t\tx2(k)\t\tx3(k)\n"); for(j=1;j<6;j++) { x1[j]=x1[j-1]+w[i]*(24-4*x1[j-1]-3*x2[j-1])/4.0; x2[j]=x2[j-1]+w[i]*(30-3*x1[j]-4*x2[j-1]+x3[j-1])/4.0; x3[j]=x3[j-1]+w[i]*(-24+x2[j]-4*x3[j-1])/4.0; printf("%d\t%.7f\t%.7f\t%.7f\n",j,x1[j],x2[j],x3[j]); } }}运行结果：。控制预测储量控制预测储量分类评价宣贯材料之二《石油天然气控制储量计算方法》Q/SY179-2006中国石油控制预测储量分类评价项目组2007年6月 目次 TOC\o"1-1"\h\z\u前言 II1范围 12规范性引用文件 13术语和定义 14控制储量界定条件 25控制地质储量计算 36控制技术可采储量计算 77控制经济、次经济可采储量计算 88控制储量综合评价与可升级性评价 89控制储量报告编写要求 8附录A（规范性附录）储量计算公式中参数名称、符号、计量单位及取值位数 10附录B（资料性附录）油（气）藏类型与油（气）采收率对照表 11附录C（规范性附录）油（气）田（藏）储量规模和品位等分类 13附录D（规范性附录）控制储量年报表格式 17附录E（规范性附录）控制储量年报封面和扉页格式 22附录F（规范性附录）含油气构造（油气田）控制储量报告封面和扉页格式 24附录G（规范性附录）含油气构造（油气田）控制储量报告内容基本要求 26前言本标准的附录A、附录C、附录D、附录E、附录F、附录G是规范性附录，附录B是资料性附录。本标准由中国石油天然气股份勘探与生产分公司专业标准化技术委员会提出并归口。本标准主要起草单位：中国石油天然气股份勘探开发研究院廊坊分院、大庆油田有限责任公司、辽河油田分公司。本标准起草人：王永祥、孙广伯、黄薇、李晓光、韩征、李淑珣、徐小林。石油天然气控制储量计算方法1范围本标准规定了石油及天然气控制储量（以下简称控制储量）的术语和定义、界定条件、计算方法、分类评价以及储量报告编写的要求。本标准适用于中国石油天然气股份的控制储量计算、分类评价、报告编写、评审和统计工作。2规范性引用文件下列文件中的条款通过本标准的引用而成为本标准的条款。凡是注日期的引用文件，其随后所有的修改单（不包括勘误的内容）或修订版均不适用于本标准，然而，鼓励根据本标准达成协议的各方研究是否使用这些文件的最新版本。凡是不注日期的引用文件，其最新版本适用于本标准。GB/T19492-2004石油天然气资源/储量分类DZ/T0217-2005石油天然气储量计算规范SY/T5367石油可采储量计算方法SY/T6098天然气可采储量计算方法SY/T6193稠油注蒸汽开发可采储量标定方法Q/SY180-2006石油天然气经济可采储量评价方法3术语和定义下列术语和定义适用于本标准。3.1储量reserves是地质储量和可采储量的统称。可采储量又是技术可采储量和经济可采储量的统称。[GB/T19492-2004，定义2.4]3.2地质储量discoveredpetroleuminitiallyinplace是指在钻探发现油气后，根据已发现油气藏（田）的地震、钻井、测井和测试等资料估算求得的已发现油气藏（田）中原始储藏的油气总量。地质储量分为探明地质储量、控制地质储量和预测地质储量。[GB/T19492-2004，]3.3控制地质储量indicatedpetroleuminitiallyinplace是指在圈闭预探阶段预探井获得工业油（气）流，并经过初步钻探认为可提供开采后，估算求得的、确定性较大的地质储量，其相对误差不超过±50%。控制地质储量的估算，应初步查明了圈闭形态、储层变化、油气层分布、油气藏类型、流体性质及产能等，具有中等的地质可靠程度，可作为油气藏评价钻探、编制开发规划和开发概念设计的依据。[GB/T19492-2004，.2]3.4可采储量recoverablereserves是指从油气地质储量中可采出的油气数量。[GB/T19492-2004，]3.5技术可采储量technicalrecoverablereserves是指在给定的技术条件下，经理论计算或类比估算的、最终可采出的油气数量，[GB/T19492-2004，定义2.5]3.6控制技术可采储量probableestimatedultimaterecovery是指在推测可能实施的操作技术下所估算的技术可采储量。3.7经济可采储量commercialrecoverablereserves是指在当前已实施的或推测可能要实施的技术条件下，按当前的经济条件（如价格、成本等）估算的、可经济开采的油气数量。3.8控制经济可采储量probablereserves是指满足下列条件所估算的经济可采储量：a)可行性评价为经济的；b)将来实际采出量大于或等于估算的经济可采储量的概率至少为50%。[GB/T19492-2004，.5]3.9控制次经济可采储量probablesub-economicinitialreserves是指控制技术可采储量与控制经济可采储量的差值。[GB/T19492-2004，.6]4控制储量界定条件4.1计算控制储量应具备的条件勘探程度：a)已进行地震详查，地震主测线距一般不大于2km，复杂构造主体部位主测线距不大于1km。b)已有探井，并在主要油（气）层取得了代表性岩心或井壁取心，进行了常规的岩心分析及必要的特殊岩心分析。c)采用适合本探区特点的测井系列，解释了油、气、水层及其它特殊岩性段，基本满足孔隙度、饱和度、有效厚度等储量参数计算的要求。d)计算单元内已进行了油气测试（包括实施增产措施），单井测试产量达到储量起算标准，取得了产能、压力、温度、流体性质及高压物性等资料。地质认识程度：a)基本查明圈闭形态，编绘了由钻井资料校正的比例尺不小于1：5x104的油（气）层顶（底）面构造图。b)初步查明了储层的岩性、储集类型、物性及厚度变化趋势。c)综合确定了储量计算参数。d)初步确定了油气藏类型、流体性质及产能。4.1.3初步开展了油（气）藏经济评价工作，确定了油（气）藏进一步评价的可行性。4.2下列情况之一者可计算控制储量探井测试产量达到储量起算标准，初步查明油（气）藏类型和含油（气）范围，进行了油（气）藏描述，并综合确定了储量计算参数。油（气）藏未钻遇油（气）水界面，油（气）层底界以上部位已计算探明储量，油（气）层底界与合理推测的油（气）水界面之间的较可靠部分。复杂小断块油气（藏）田的三级圈闭中，已有断块满足计算探明储量的要求，构造位置不低于该断块的相邻断块，同一含油（气）层组虽未钻探证实，但综合分析有油气层存在。同一圈闭的同一含油（气）层组中，部分井块已经计算探明储量，尚未钻探或井控程度低的剩余部分，综合分析有油气层存在。在地质认识上已达到探明程度，技术上具有开发可行性，由于经济、市场、法规以及提高采收率方法尚未付诸实施等原因，暂不能计算探明储量的油（气）田（藏）。5控制地质储量计算5.1储量计算单元划分原则储量计算单元（简称计算单元）一般是单个油（气）藏，但有些油（气）藏可根据情况细分或合并计算。a）计算单元平面上一般按区块划分。——面积很大的油（气）藏，视不同情况可细分井块（井区）；——受同一构造控制的几个小型的断块或岩性油（气）藏，当油（气）藏类型、储层类型和流体性质相似，且含油（气）连片或迭置时，可合并为一个计算单元。b）计算单元纵向上一般按油（气）层组（砂层组）划分。——已查明为统一油（气）水界面的油（气）水系统一般划为一个计算单元，含油（气）高度很大时也可细分亚组或小层；——不同岩性、储集特征的储层应划分独立的计算单元；——同一岩性的块状油（气）藏，含油（气）高度很大时可按水平段细划计算单元；——尚不能断定为统一油（气）水界面的层状油（气）藏，当油（气）层跨度大于100mc)裂缝性油（气）藏，应以连通的裂缝系统细分计算单元。5.2地质储量计算方法地质储量计算采用容积法。油藏地质储量计算原油地质储量用体积单位表示时，采用公式（1）计算；用质量单位表示时，采用公式（3）计算。溶解气地质储量大于0.1×108m3并可利用时，采用公式（4N=100AohφSoi/Boi…………（1）Sof=100φSoi/Boi…………（2）Nz=Nρo………………（3）Gs＝1－4NRsi……………（4）式中：N，Nz—原油地质储量，104m3，Sof—原油单储系数，104m3/（km2·m）；Ao—含油面积，km2；h－有效厚度，m；φ—有效孔隙度；Soi—原始含油饱和度；Boi—原始原油体积系数，量纲为1；ρo—原油密度，t/m3；Gs—溶解气地质储量，108Rsi—原始溶解气油比，m3/m3。当油藏有气顶时，气顶气地质储量按气藏或凝析气藏地质储量计算公式计算。气藏地质储量计算气藏地质储量采用公式（5）计算，其中原始天然气体积系数（Bgi）采用公式（7）计算。G＝0.01AghφSgi/Bgi……（5）Sgf＝0.01φSgi/Bgi……（6）Bgi＝PscZiT/（PiTsc）………（7）式中：G—气藏气地质储量，108Sgf—气藏气单储系数，108m3/（km2·m）；Ag—含气面积，km2；Sgi—原始含气饱和度；Bgi—原始天然气体积系数，量纲为1；Psc—地面标准压力，MPa；Zi—原始气体偏差系数；T—地层温度，K；Pi—原始地层压力，MPa；Tsc—地面标准温度，K。5.2.3凝析气藏凝析气总地质储量（Gc）采用公式（5）计算。当凝析气藏中凝析油含量大于等于100cm3/m3或凝析油地质储量大于等于1×104m3时，应分别由公式（8）、公式（9）或公式（10）计算干气和凝析油的地质储量。天然气摩尔分量（fd）由公式（11）计算,凝析油含量（σ）由公式（12Gd＝Gcfd………………（8）Nc＝0.01Gcσ……………（9）Ncz=Ncρc……………（10）fd＝GOR/(GEc+GOR)………（11）σ＝106/(GEc+GOR)……（12）GEc＝543.15(1.03－γc………………（13）式中：Gc—凝析气总地质储量，108m3Gd—干气地质储量，108m3fd—天然气摩尔分量；Nc，Ncz—凝析油地质储量，104m3σ—凝析油含量，cm3/m3；ρc—凝析油密度，t/m3；GOR—凝析气油比，m3/m3；GEc—凝析油的气体当量体积，m3/m3；γc—凝析油相对密度，量纲为1；当气藏或凝析气藏中总非烃类气含量大于15%或硫化氢含量大于5%、二氧化碳含量大于5%、氦含量大于0.1%时，应分别计算烃类气和非烃类气地质储量；具有油环或底油时，其储量按油藏地质储量计算公式计算。5.3控制地质储量计算参数确定原则5.在经钻井资料校正的、比例尺不小于1：5x104的油（气）层顶（底）面构造图上，依据油（气）藏类型，利用地震、钻井、测井和测试（含试油，下同）等资料，综合研究油、气、水分布规律和确定流体界面（即气油界面、油水界面、气水界面）以及油气遮挡（如断层、岩性、地层）边界，辅以划定的计算线综合圈定含油（气）面积。具体方法如下：a)依据测井解释的油（气）层底界面、钻遇的或预测的流体界面圈定含油(气)面积。b)油（气）藏断层（或地层）遮挡边界，宜以油（气）层顶（底）面与断层（或地层不整合、地层超覆及剥蚀线）面相交的外含油（气）边界圈定含油(气)面积。c)油（气）藏储层岩性（或物性）遮挡边界，用有效厚度零线或渗透储层一定厚度线圈定含油（气）面积。d)利用较可靠的压力资料或探边测试资料确定的边界圈定含油（气）面积。e)在储层厚度和埋藏深度等适当条件下，利用高分辨率地震资料，经钻井资料约束预测的流体界面和岩性边界圈定含油（气）面积。f)复杂小断块油气田的同一三级圈闭中，无井控制的断块可按相邻探明断块的充满系数圈定面积，或按与之相同的流体界面圈定面积。g)同一圈闭中已有探明储量，无井控制或井控程度低的剩余部分，一般按与探明井块相同的原则或相同的界面圈定面积。h)采用上述方法无法确定含油（气）边界时，以边部探井外推1倍探井井距作为储量计算线，油藏一般不超过2km，气藏一般不超过45.3..1单井有效厚度确定方法如下：a)依据已有探井资料建立油（气）层有效厚度的岩性、物性、含油性、电性标准确定。b）依据类比区油（气）层有效厚度的岩性、物性、含油性及电性标准确定。c）特殊情况下可依据录井和测试结果确定。d）有效厚度起算厚度为0.2m—0.4m，夹层的起扣厚度为e）定向井的有效厚度应折算为铅直厚度。f）测试证实达到或经过类比能够达到储量起算标准的油（气）水同层宜全厚度参加储量计算，油（气）水同层的饱和度参与储量计算。.2计算单元有效厚度确定方法：a）视具体情况可采用等值线面积权衡法、井点面积权衡法或分区面积权衡法求取。b）根据井点所处油（气）藏位置和油（气）藏类型，采用井点算术平均值或井点折算值。c）井控程度低的区块，可利用储层厚度和净毛比的关系求取。d）无井控制的复杂断块可按相邻断块有效厚度取值，也可考虑沉积规律确定有效厚度选值，但取值不能大于邻断块有效厚度取值。5.3.3.1取心井利用经岩心刻度后的测井解释成果求取。.2缺乏取心资料的井采用邻区已建立的经验公式求取或应用测井解释成果求取。.3裂缝孔隙型储层宜分别确定基质有效孔隙度和裂缝、溶洞有效孔隙度。.4单井有效孔隙度采用有效厚度权衡法确定。.5计算单元平均有效孔隙度采用井点算术平均法确定。.6有效孔隙度选值、特别是疏松砂岩储层的有效孔隙度选值应考虑孔隙的压缩规律，将地面孔隙度校正为地下孔隙度。5.3.4.1有油基泥浆或密闭取心时，应利用可靠的岩心分析的饱和度对测井进行标定，建立测井饱和度解释模型，其绝对误差不超过±5％。5.3.4.2选择适合本地区的测井解释含水饱和度模型，以岩电参数.3用毛管压力资料确定含油（气）饱和度时，应取得有代表性的岩心分析资料，进行J—函数等处理，有条件时应进行油、气水界面张力、润湿性等实验。.4利用本区或类比区的含油（气）饱和度经验公式或图版求取。.5低渗透储层或重质稠油油层可采用水基泥浆取心样品及时分析得到的含水饱和度资料计算含油气饱和度。.6有代表性的相渗透率资料或利用相渗资料编制的含水饱和度与含水率关系图版可以用于计算含油（气）饱和度。.7裂缝孔隙型储层宜分别确定基质含油（气）饱和度和裂缝、溶洞含油（气）饱和度。.8单井含油（气）饱和度采用孔隙体积权衡法或有效厚度权衡法确定。.9计算单元平均含油（气）饱和度采用井点算术平均法或类比法确定。5.3.其它参数包括：原始原油体积系数、气油比、原油（凝析油）密度，天然气藏的温度和压力、地面标准温度和压力、原始气体偏差系数、气体摩尔分量、凝析油含量等。应采用本油（气）藏的实测数据，在资料不足时也可利用邻区相同性质油（气）藏的资料综合类比评价后确定。.1原始原油体积系数采用油藏具代表性高压物性实测资料确定，也可采用类比法和经验公式法求取。.2原油的原始溶解气油比和凝析气藏的凝析气油比从油（气）藏不同部位的井中取样作高压物性分析测定。凝析气藏和小型油藏的原始气油比可借用合理工作制度下稳定生产气油比，选择有代表性样品的算术平均值作为选值。.3原油（凝析油）密度采用实测平均值，无井控制区块可采用相邻区块（断块、井块）同层位分析值。.4天然气藏的温度和压力采用气藏中部深度的实测值或折算值，无井控制区块可根据本区的经验公式计算求得。.5地面标准温度和压力我国石油天然气储量计算采用的地面标准温度为20℃，地面标准压力为.6原始气体偏差系数、气体摩尔分量、凝析油含量可采用高压物性分析值，也可采用公式计算求得。储量计算参数选值.1应用多种方法（或多种资料）求得储量计算参数时，选用一种有代表性的参数值。.2通过综合研究，建立地质模型，可直接采用计算机图形，求取储量计算参数并计算地质储量。.3各项储量计算参数的有效位数要求见附录A。计算单元的储量计算参数选值，储量的计算和汇总，采用四舍五入进位法。.4采用类比法确定储量参数选值时，要充分论证类比油（气）藏特征的相似性。6控制技术可采储量计算6.1控制技术可采储量计算方法根据计算的地质储量和确定的采收率，按公式（14）～公式（20）计算控制技术可采储量。NR＝NER……………（14）NZR＝NZER……………（15）GSR＝GSER…………（16）GR＝GER……………（17）GdR＝GdER……………（18）NCR＝NCER……………（19）NCZR＝NCZER……………（20）式中：NR，NZR—原油可采储量，104m3ER—采收率；GSR——溶解气可采储量，108GR—气藏气可采储量，108GdR—凝析气藏干气可采储量，108NCR，NCZR—凝析油可采储量，104m3，106.2采收率的确定用于计算控制技术可采储量的采收率是在推测可能实施的技术条件下的采收率。采收率应采用如下方法计算：a)原油采收率：根据油藏类型、驱动类型、储层特征、流体性质和开发方式、井网等情况，选择经验公式法、经验取值法（表格计算法）、类比法和数值模拟法（见SY/T5367和SY/T6193）求取。b)溶解气采收率：根据油藏的饱和程度和开发方式等情况，选择合理的方法求取（见SY/T6098）,或依据溶解气、原油采收率统计规律求取，也可采用类比法求取。c)气藏气采收率：根据气藏类型、地层水活跃程度、储层特征和开发方式、废弃压力等情况，选择经验公式法、经验取值法、类比法和数值模拟法（见SY/T6098）求取。d)凝析油采收率：根据气藏特征、气油比和开发方式等情况，选择经验公式法和类比法等求取。部分类型油（气）藏的采收率确定范围可参见附录B。7控制经济、次经济可采储量计算7.1控制经济可采储量控制经济可采储量可采用现金流法、经济极限法和类比法3种方法计算。具体计算方法见Q/SY180-2006第5章～第7章。7.2控制次经济可采储量控制次经济可采储量利用控制技术可采储量减去控制经济可采储量求得。8控制储量综合评价与可升级性评价8.1储量综合评价对油(气)藏的储量可靠性做出评价，并按照附录C的规定对油（气）藏储量规模和品位等进行分类评价。8.2控制储量可升级性评价新增控制储量要进行可升级行评价，要有近三年内评价升级的计划部署安排。9控制储量报告编写要求控制储量报告包括控制储量年报和含油气构造（油气田）控制储量报告两部分。9.1控制储量年报编制要求控制储量年报附表表格见附录D。控制储量年报封面和扉页格式见附录E。控制储量年报内容基本要求9.1.3.1控制储量概况：包括本年度新增控制储量情况、上年度累计剩余控制储量变化情况9.1.3.2新增控制储量分述石油地质储量规模大于1000×104t、天然气地质储量东部地区大于30×108m3、中西部地区大于50×10石油地质储量规模在100×104t-1000×104t，天然气地质储量东部地区在5×108m3-30×108m3、中西部地区在5×108m3石油控制地质储量小于100×104t或天然气控制地质储量小于5×108m3.3上年度累计控制储量变化情况：叙述上年度累计控制储量的变化情况及变化原因。.4累计剩余控制储量综合评价：统计各子（分）公司累计剩余控制储量的按规模、丰度、产能、油品、埋深、物性、油藏类型的分布情况，分析其特点，对储量可升级性及升级安排进行论述。.5累计剩余控制储量存在的问题和下步工作建议：通过累计剩余控制储量的综合评价，明确储量在落实程度、可升级性等方面存在的主要问题，提出下步工作建议。9.2含油气构造（油气田）控制储量报告编制要求报告封面和扉页格式：含油气构造（油气田）控制储量报告封面和扉页格式见附录F。9.2.2报告内容基本要求：含油气构造（油气田）控制储量报告内容基本要求见附录G附录A（规范性附录）储量计算公式中参数名称、符号、计量单位及取值位数储量计算公式中参数名称、符号、计量单位及取值位数见表A.1。表A.1储量计算公式中参数名称、符号、计量单位及取值位数参数计量单位取值位数名称符号名称符号含气面积Ag平方千米km2小数点后一位含油面积Ao平方千米km2小数点后一位原始天然气体积系数Bgi量纲为1小数点后五位原始原油体积系数Boi量纲为1小数点后三位采收率ER小数小数点后两位凝析气藏干气摩尔分量Fd小数小数点后三位气藏气地质储量G亿立方米10小数点后二位凝析气总地质储量GC亿立方米10小数点后二位凝析气藏干气地质储量Gd亿立方米10小数点后二位凝析油的气体当量体积GEc立方米每立方米m3/m3整数凝析气油比GOR立方米每立方米m3/m3整数气藏气可采储量GR亿立方米10小数点后二位凝析气藏干气可采储量GDr亿立方米10小数点后二位溶解气地质储量GS亿立方米10小数点后二位溶解气可采储量GSR亿立方米10小数点后二位有效厚度H米m小数点后一位原油地质储量N,NZ万立方米，万吨104m3，整数凝析油地质储量NC,NCZ万立方米，万吨104m3，整数原油可采储量NR,NZR万立方米，万吨104m3，小数点后一位凝析油可采储量NCR,NCZR万立方米，万吨104m3，小数点后一位原始地层压力Pi兆帕MPa小数点后两位地面标准压力Psc兆帕MPa小数点后三位原始溶解气油比Rsi立方米每立方米m3/m3整数气藏气单储系数Sgf亿立方米每平方千米米108m3/（km2.m）小数点后二位原油单储系数Sof万立方米每平方千米米104m3/（km2.m）小数点后二位原始含气饱和度Sgi小数小数点后两位原始含油饱和度Soi小数小数点后两位地层温度T开尔文K整数地面标准温度Tsc开尔文K整数原始气体偏差系数Zi量纲为1小数点后三位凝析油相对密度γc量纲为1小数点后三位凝析油密度ρc吨每立方米t/m3小数点后三位原油密度ρo吨每立方米t/m3小数点后三位凝析油含量σ立方厘米每立方米cm3/m3整数有效孔隙度φ小数有效位数两位附录B（资料性附录）油（气）藏类型与油（气）采收率对照表油（气）藏类型与油（气）采收率对照表见表B.1~表B.3。表B.1油藏采收率范围表驱动机理类型采收率1液体和岩石弹性0.02～0.052溶解气驱0.12～0.253油环气顶驱0.20～0.404重力驱0.50～0.705