工程数学-概率统计简明教程-同济大学-高等教育出版社-课后答案

工程数学-概率统计简明教程_同济大学_高等教育出版社_课后答案【完整版】(文档可以直接使用，也可根据实际需要修订后使用,可编辑放心下载）

习题一解答工程数学-概率统计简明教程_同济大学_高等教育出版社_课后答案【完整版】(文档可以直接使用，也可根据实际需要修订后使用,可编辑放心下载）1.用集合的形式写出以下随机试验的样本空间与随机事件：A(1)抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同.A；(2)记录某总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{.A一分钟内呼叫次数不超过次}；3(3)从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{.A寿命在到小时之间}。20002500解(1))},(),,(),,(),,{(..........，)},(),,{(.....A.(2)记X为一分钟内接到的呼叫次数，那么},2,1,0|{......kkX，}3,2,1,0|{...kkXA.(3)记X为抽到的灯泡的寿命〔单位：小时〕，那么)},0({.....X，)}2500,2000({..XA.2.袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设.A{取得球的号码是偶数}，.B{取得球的号码是奇数}，{取得球的号码小于5}，问以下运算表示什么事件：.C(1)；(2)BA.AB；(3)；(4)ACAC；(5)CA；(6)CB.；(7)CA..解(1)是必然事件；..BA.(2)..AB是不可能事件；(3){取得球的号码是2，4}；.AC(4).AC{取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5).CA{取得球的号码为奇数，且不小于5}.{取得球的号码为5，7，9}；(6)..CBCB..{取得球的号码是不小于5的偶数}.{取得球的号码为6，8，10}；(7)...CACA{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3.在区间上任取一数，记]2,0[BA.........121xxA，.........2341xxB，求以下事件的表达式：(1)；(2)BA.；(3)BA；(4)BA..解(1).........2341xxBA.;(2)............BxxxBA.21210或................2312141xxxx.;(3)因为BA.，所以..BA；(4)............223410xxxABA或..............223121410xxxx或或4.用事件的运算关系式表示以下事件：CBA,,(1)出现，都不出现〔记为〕；ACB,1E(2)都出现，不出现〔记为〕；BA,C2E(3)所有三个事件都出现〔记为〕；3E(4)三个事件中至少有一个出现〔记为〕；4E(5)三个事件都不出现〔记为〕；5E(6)不多于一个事件出现〔记为〕；6E(7)不多于两个事件出现〔记为〕；7E(8)三个事件中至少有两个出现〔记为〕。8E解(1)CBAE.1；(2)CABE.2；(3)；(4)ABCE.3CBAE...4；(5)CBAE.5；(6)CBACBACBACBAE....6；(7)CBAABCE....7；(8)BCACABE...8.5.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设表示事件“第i次iA

抽到废品〞，，试用表示以下事件：3,2,1.i21AA.21AA..iA32A2Ak(1)第一次、第二次中至少有一次抽到废品；(2)只有第一次抽到废品；(3)三次都抽到废品；(4)至少有一次抽到合格品；(2)只有两次抽到废品。解(1)；(2)321AAA；(3)；321AAA(4)；(5)321321321AAAAAAAAA...6.接连进行三次射击，设={第次射击命中}，iAi3,2,1.i，.B{三次射击恰好命中二次}，{三次射击至少命中二次}；试用表示.CiAB和C。解32133121AAAAAC...习题二解答1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。解这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为，那么有利于的样本点数.于是.........350n.................15245k39299!2484950!35444535015245)(..................................nkAP2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求(1)第一次、第二次都取到红球的概率；(2)第一次取到红球，第二次取到白球的概率；(3)二次取得的球为红、白各一的概率；(4)第二次取到红球的概率。解此题是有放回抽取模式，样本点总数.记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为.27.nDCBA,,,(ⅰ)有利于的样本点数，故25.A492575)(2........AP(ⅱ)有利于B的样本点数，故25..Bk4910725)(2...BP(ⅲ)有利于的样本点数C252...Ck，故4920)(.CP(ⅳ)有利于的样本点数，故D57..Dk754935757)(2....DP.3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1)最小号码是3的概率；(2)最大号码是3的概率。解此题是无放回模式，样本点总数56..n.(ⅰ)最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为，所求概率为32.515632....(ⅱ)最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为22.，

所求概率为1525622....4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求以下事件的概率：(1)2只都合格；(2)1只合格，1只不合格；(3)至少有1只合格。解分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为，那么CBA,,522562342624)(.......................AP.............................BP注意到，且BAC..A与B互斥，因而由概率的可加性知151415852)()()(.....BPAPCP5．掷两颗骰子，求以下事件的概率：(1)点数之和为7；(2)点数之和不超过5；(3)点数之和为偶数。解分别记题(1)、(2)、(3)的事件为,样本点总数CBA,,26.n(ⅰ)A含样本点,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3))2,5(),5,2(6166)(2...AP(ⅱ)B含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)185610)(2...BP(ⅲ)含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3),(3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6),一共18个样本点。C213618)(...CP6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。解记求概率的事件为，样本点总数为，而有利的样本点数为A35A345..，所以25125345)(3....AP.7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求以下事件的概率：(1)事件：“其中恰有一位精通英语〞；A(2)事件B：“其中恰有二位精通英语〞；(3)事件：“其中有人精通英语〞。C解样本点总数为........35(1)53106345!332352312)(................................AP；

(2)103345!33351322)(..............................BP；(3)因，且与BAC..AB互斥，因而10910353)()()(.....BPAPCP.8．设一质点一定落在平面内由xOyx轴、y轴及直线1..yxA所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线3/1.x的左边的概率。1S解记求概率的事件为，那么AAS为图中阴影局部，而，2/1||..2...........AS最后由几何概型的概率计算公式可得952/118/5||||)(....ASAP.9．〔见前面问答题2.3〕10．BA.，，4.0)(.AP6.0)(.BP，求(1))(AP,)(BP；(2)；(3)；(4))(BAP.)(ABP)(),(BAPABP；(5))(BAP.解(1))(1)(.....APAP，4.06.01)(1)(.....BPBP；(2)6.0)()()()()()()()(........BPAPBPAPABPBPAPBAP.；(3)；4.0)()(..APABP(4)0)()()(.....PBAPABP,)(1)()(......BAPBAPBAP..;(5)..0)()(.....ABPBAP11．设是两个事件，，BA,5.0)(.AP7.0)(.BP，8.0)(.BAP.，试求及)(BAP.).(ABP.解注意到)()()()(ABPBPAPBAP....4)()(ABAPBAP....0)(...ABP，因而)()()(BPAPABP..).0...)(BAP..)(..AB.0....)()(...BPABBP.于是，()(ABPAP..；.习题三解答1．随机事件的概率，随机事件A5.0)(.APB的概率6.0)(.BP，条件概率8.0)|(.ABP，试求及)(ABP)(BAP.解.0)|()()(....ABPAPABP)()()(1)(1)()(ABPBPAPBAPBAPBAP..........05.01.....2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次〔每次取一个〕，求第三次才取得正品的概率。解.......p.3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购置股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19(1)他已投入基金，再购置股票的概率是多少？(2)他已购置股票，再投入基金的概率是多少？解记.A{基金}，.B{股票}，那么19.0)(,28.0)(,58.0)(...ABPBPAPyx1/31.图2.3

.327.058.019.0)()()|(...APABPABP(1)678.028.019.0)((2))(BAP5.0)(.AP3.0)(.BP15.0)(.ABP),()|(),()|(APBAPAPBAP..)()|(BPABP.).()|(BPABP.给定)(213.015.0)()()|(APBPABPBAP....解)(.07.015.05.0)(1)()()()()|(APBPABPAPBPBAPBAP.........)(.0)()()|(BPAPABPABP....)(.015.03.0)(1)()()()()|(PAPABPBPAPBAPABP........5．有朋自远方来，他坐火车的概率0.25，假设坐船，迟到的概率是0.3，假设坐汽车，迟到的概率是0.1，假设坐飞机那么不会迟解B.1A，.2A，.A.A.41..iiBAB3425.0)|(1.ABP3.0)|(2.ABP1.0)|(3.ABP0)|(4.ABP且按题意........4145.01..025.03.0)|()()(ABPAPBP..1iii6．甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8(1)随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；.B，所以.1A.2A(1ABP(2)1272414)(..BP7．某，各0140.0.解.035.005.025.0......%45.30345.0008.00125.0....8．发报台分别以概率0.6，0.4发出"".".和"".，于通信受到""."""".""."."的概率；"时，发出"..8和0.2收"".和"".，同样，当发出信号"..B"".}.A".)收)|()()|()()(ABPAPABPAPBP..解记"52.004.048.01..0.......(1)(2)131252.08.06.0)()|)|(....BPABPBAP.9．设某工厂有ACB,,，各个车间成品中次品的比分5%，4%，2%，如从该厂品中抽取一件，

CBA,,记事件)|PAD.35.005.014.0.)()|(DADP)()|(DBDP)()DP独立，且PPAP.)(CBA,,CBA,,.D)|()()|()(()(CDPCPBDPBPAP.解为.0.025.0.....)(DP.0345.0008.00125.0...40|()(|(.CDPCDCPABqBPpA..)(,)()(BAP.)(BAP.，)(BAP..pqpBPAPBBAP.....)()()()(.10．设，解qppPAPAP...1()((.BA,)()(,9/1)(BAPBAPBAP..)(),BPAPBPAPP..)()(1()()(BAPBAP.()()()()(BPAPBPAP.解)())()(BPAPAPAP.)((BPAP.从而()()(PBPB..)3/.3/2)()(..APBP9/1)(.BAP，有2))(1())(1))((1()()(9/1APBPAPBPAP......所以1)(1..AP12．甲、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，目标.1A.2A.iiAB.98111121)()()(11)(32131....................APAPAPAPBPii.p13．设六同的元件.A.iAi6,5,4,3,2,1.i654321AAAAAA..)()()()(654321AAPAAPAAPAP...那么A.642)1()1(3)1(3ppp......14．假故解0512.0)8.0()2.0(3523..........p.15．灯)2解104.0096.0008.0.0(8.023)2.0(3323.......................p.AA)(AP16．设在三次独立试验中，事件A出现等线每12路中，安置个元

.iA{Ai.3,2,1.i)(APp.332131)1(1)(12719pAAAPAPii........，27)1(..p，此即3/1.p.17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。解注意.iA{i.3,2,1.i097.090307.0195.097.098.01)()()(13211.......APAPAPAPii.18．三率。.A.iAi.3,2,1.i7075.02925.016.065.075.01.......19．将一枚均匀硬币256632151010...............10642.........kk2T(1)在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；(2)在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率(3)在此时刻所有电梯都在运行的概率。256255)25.0(1)75.01(144.....1282741436)25.0()75.0(242222........................2568143)75.0(44........习题四解答1.以下随5,4,3,2,1,0,15..iipi..3,2,1,0,652...iipi5,4,3,2,41..ipi〔4〕5,4,3,2,1,25..ipi。

解要说数列，是否是随的分ip.,2,1,0..ipi，其二条件为1..iip。依据上面的说明可得〔1〕中的数列为随机变量的分布律；〔2〕中的数列不是随机变量的分布律，0646953..125i....4,3,2,1,0,2...iciXPi..2.XP..2ic21240...iic3116.c解.....210....XPXPXP...........2122..........XPXPXP314231.......。3.一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋布函数。....612,21.XP.3.,P1.X21613X的分布函数3..x....xXPxF..3113...x2.x651.12.x4.一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3中最大号码，写出X的分布律和分布函数。解依题意X可能取到的值为3.X101.；事件号球中任选，此时.3.表示随机取出的3个球的最大号码为3，....103352314....................XP..1063......

101103106X的分布函数为3.x0...xF43..x10..x105415.x5.在相同布律。6.0,5..pn..5,,1,0,4.06.055.............kkkXPkk到的可能性相等。在以下三种情形下，分别求出直到取得正品为止所〔1〕每次取出的产品立即放回这批产品中再取〔2〕每次取出的产品都不放回这批产品中；〔3〕每次取出一件产品后总是放回一件正品。.,2,1,.iAii..,,,1nAA...,2,1,1310..iAPi...........kAPAPAPAAAPkXPkkkkk13....126514352861概率13....131313..由于三种抽样方式不同，导致X..pBX,6~....51...XPXPp..2.XP

解由于，因此。.pBX,6~....6,,1,0,1666..............kppkXPkk由此可算得........,165,16155ppXPppXP......即解得...,161655pppp...21.p；此时，..641521!25621212626262.................................XP。8.掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为21，因此X服从21,4..pn的二项分布，即..4,3,2,1,0,212144........................kkkXPkk由此可得X的分布函数0，0.x161，10..x...xF165，21..x1611，32..x1615，43..x1，4.x9.某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数4..的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？解设至少要进件物品，由题意应满足nn....,99.0,99.01.....nXPnXP即..99.0!41104........nkkeknXP..99.0!404......nkkeknXP查泊松分布表可求得。9.n10.有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。解设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从0001.0,1000..pn1000..np.的二项分布，即，由于较大，.0001.0,1000~BX~Xn.p较小，因此也可以近似地认为X服从..的泊松分布，即，所求概率为.1.0P.....................eeXPXPXP11.某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，假设以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。解设事件表示第次试验成功，那么iAi..75.0.iAP，且相互独立。随机变量X取意味着前次试验未成功，但第次试验成功，因此有..,,,1nAAk1.kk.......kkkkkAPAPAPAAAPkXP..所求的分布律为X12…k…概率0.7575.025.0.…75.025.01..k…

12.设随机变量X的密度函数为...xf，x2Ax..00，其他，试求：〔1〕常数；〔2〕X的分布函数。A解〔1〕成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为；其二为，因此有，解得..xf..0.xf........1dxxf..Axdx0121..A，其中1..A舍去，即取1.A。〔2〕分布函数............xdxxfxXPxF=..................xx=102x1100....xxx13.设随机变量X的密度函数为..........xAexfx,，求：〔1〕系数；〔2〕A..10..XP；〔3〕X的分布函数。解〔1〕系数必须满足A.......1dxAex，由于xe.为偶函数，所以.................12200dxAedxAedxAexxx解得21.A；〔3〕........xdxxfxF=...........xxxxxdxedxedxe0021212100..xx=.........xxxxxdxedxedxe0021212100.xx=..xxee...121212100..xx=xxee..2112100..xx14.证明：函数022cxecx.〔为正的常数〕00..xx为某个随机变量X的密度函数。.................................cxcxcxecxdedxecxdxxf，.

因此满足密度函数的二个条件，由此可得..xf..xf为某个随机变量的密度函数。15.求出与密度函数....xxx对应的分布函数的表达式。..xF解当时，0.x.............xxxxedxedxxfxF当时，2.x...05.00220...........xxdxdxdxexF综合有,1,25.05.0,5.0xex..2;20;0....xxx16.设随机变量X在上服从均匀分布，求方程有实根的概率。..6,1012...Xtt解X的密度函数为...xf,5161..x；其他.*,0方程有实根的充分必要条件为，即012...Xtt042..X42.X，因此所求得概率为......................6225451022224dxXPXPXXPXP或。17.设某药品的有效期X以天计，其概率密度为.xf..,100200003.x;0，其他.求：(1)X的分布函数；(2)至少有200天有效期的概率。解(1)=....,10020000,003dxxx...0;0..xx=..,100100001.0;0..xx(2)......................FXPXP。18.设随机变量X的分布函数为.xF..,11,0xex...00..xx求X的密度函数，并计算..1.XP和。..2.XP解由分布函数与密度函数的关系，可得在..xF..xf..xf的一切连续点处有....xFxf..，因此...xf,,xxe.其他0.x所求概率......112111111.........eeFXP；..........223211121212.............eeFXPXP。19.设随机变量X的分布函数为..........xxBAxF,arctan，求(1)常数；(2)BA,..1.XP；(3)随机变量X的密度函数。0

解：(1)要使成为随机变量X的分布函数，必须满足..xF10......1lim,0lim........xFxFxx，即....arctanlimarctanlim........xBAxBAxx计算后得1202....BABA..解得.121..BA另外，可验证当.1,21..BA时，..xxFarctan121...也满足分布函数其余的几条性质。〔2〕........11111........FFXPXP.............1arctan1211arctan121..24141.................〔3〕X的密度函数................xxxFxf,112.。20.设顾客在某银行的窗口等待效劳的时间〔单位：min〕服从51..的指数分布，其密度函数为0,515xe.，某顾客在窗口等待效劳，假设超过10min，他就离开。其他0.x〔1〕设某顾客某天去银行，求他未等到效劳就离开的概率；〔2〕设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到效劳的概率。解〔1〕设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待效劳的时间，依题意X服从51..的指数分布，且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到效劳就离开的概率为..........10255110edxeXPx；〔2〕设Y表示某顾客五次去银行未等到效劳的次数，那么Y服从的二项分布，所求概率为2,5...epn..............................................eeeeeeYPYPYP21.设X服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：〔1〕；〔2〕；〔3〕.1,0.XP..176.XP..78.0..；〔4〕..55.1.XP；〔5〕..5.2.XP。解查正态分布表可得〔1〕....9861.02.22.2....XP；〔2〕......0392.09608.0176.1176.1176.1..........XPXP；〔3〕......2177.07823.0178.0178.078.0...........XP；〔4〕........55.155.155.155.155.1..........XPXP........8788.019394.02155.1255.1155.1............〔5〕

........15.2215.215.2........XPXP....0124.09938.0125.222......。22.设X服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：〔1〕.16,1....44.2.XP；〔2〕..5.1..XP；〔3〕；〔4〕..8.2..XP.4.XP；〔5〕..25...XP；〔6〕..11..XP。解当..2,~...X时，..........................abbXaP，借助于该性质，再查标准正态分布函数表可求得〔1〕....8051.086.04144.244.2.............XP；〔2〕....125.01415.115.1.................XP......5498.0125.0125.011.......；〔3〕......3264.06736.0145.0145.0418.28.2.....................XP；〔4〕.....75.025.14144144.........................XP....6678.07734.018944.075.0125.1.........；〔5〕.....175.041541225...........................XP....9321.018413.07734.01175.0.........；〔6〕.............................................8253.05987.07724.0125.075.01.........。23.某厂生产的滚珠直径服从正态分布..01.0,05.2.，合格品的规格规定为，求该厂滚珠的合格率。2.02.解所求得概率为.........927.09938.019332.05.215.15.25.11.....................................XP24.某人上班所需的时间〔单位：min〕上班时间为8：30，他每天7：50出门，求：〔1〕某天迟到的概率；〔2〕一周〔以5天计〕最多迟到一次的概率。.100,30~.X解〔1〕由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为.........XP；〔2〕记Y为5天中某人迟到的次数，那么Y服从1587.0,5..pn的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为........8192.08413.01587.0158413.01587.0151450......................YP。习题五解答1.二维随机变量只能取以下数组中的值：...YX,...0,2,31,1,1,1,0,0........，且取这些组值的概率依次为125,121,31,61，求这二维随机变量的分布律。解由题意可得的联合分布律为.YX,

X\Y0311-1012131061002125002.一口袋中有四个球，它们依次标有数字。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求的分布律及3,2,2,1..YX,.YXP.。解X可能的取值为，Y可能的取值为，相应的，其概率为3,2,13,2,1...................03,3,6134212,3,1211,3,6134123,2,6134122,2,6134121,2,12134113,1,6134212,1,01,1.............................................YXPYXPYXPYXPYXPYXPYXPYXPYXP或写成X\Y123106112126161613121610........613,32,21,1...........YXPYXPYXPYXP3.箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：X=0，假设第一次取出正品；Y=0，假设第二次取出正品；1，假设第一次取出次品；1，假设第二次取出次品。分别就下面两种情况求出二维随机变量的联合分布律：〔1〕放回抽样；〔2〕不放回抽样。.YX,解〔1〕在放回抽样时，X可能取的值为，Y可能取的值也为，且1,01,0........,2511010221,1,2541010820,1,2541010281,0,25161010880,0........................YXPYXPYXPYXP或写成X\Y01025162541254251〔2〕在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为........,451910121,1,458910820,1,458910281,0,4528910780,0........................YXPYXPYXPYXP

08845245的458451于..YX,解把第1题中的联合分布律按行得X的边缘分布律为X-102515126127311.YX,121213及关于Y的边缘分布律。解在有放回情况下X的边X41554155415541.YX,5512..x围成的三角形区域。域D见图5.2。y易算得D的面积为1.S412112..YX,,4y...yxf,,0..Dyx.,其他分布函数.YX,.........yxyxf,..dxdyyxF,,x21..x0.y..0.yF120,021......xyx..2xF；-112,021.....xyx..1444,2121

当..,yx.2002124当，.xF.......02112021,xdydxy综合,0021...yx或,22yyxy...y4120021.........yxF,,1442..xx12021....,22yy.100...yx且机变量..YX,*,110..yx且函数为..........dyyxfxfX,,412.xdy1.,00.其他02..,0,124.x其他021...x..40.dx......dxyxyfY,,0,其他10..y..,0,12y.其他10..y3题的情况与Y是否为什么？25....0............2516545400.....YPXP..000,...YPXPYXP...,101,0....YPXPYXP......1,1,010,1.......YXPYPXPY。由于..XP.Y......11...YPXPXP2555.45280,0..........000,0.....YPXPYXP9.在第6题中，X与Y是否独立41,21.........f，易见...1f34..334....YX4.................10.设独立布律：概率111143123244Y相立因..YX,...,...xXPyYxiji.....25.0,2.........YPXPYXP...,3,2,1,4,3,2,1,....jiyYPXPj.8121415..fP

-106112112124148148161121上的均匀分布，121..2.0,0..YX,.YXP.解.由均匀分布的定义知...xf,50.X,0其他2.0.x知....yfY0,,55ye其他0.y独立..YX,的密........yfxfyxfYX,,0其他,255ye.0,2.00...yx,.......GdxdyfYXP区域.3，....yxyxG..|,012..YX,....12.052.00051525...........edxedyedxYXPxxy0.y....yxf,,0其他..,43yxke..,0.x2〕0,1...Y证明X与Y相互独......831..eYPk.............1,dxdyyxf..143.........dxkedyyx12.kX..20214311220,10............edxedyXyxx.........dyyxfxfX,....,0,12043dyeyx.....其他0.3,0,3xe.其他0.x数为...yfY,0其他,44ye.0.x.....xyfX,,.............yfxyxfY,x..YX,...yxf,,0其他..,1yxk.yx....0,102〕分别求关于X及k......00〔〕的边缘密度函数k.........1,dxdyyxf....111xydyxkdx24.k2X..1x.1..........dyyxfxfX,,0,240dyyx.其他0.x11..,0,122xx.其他0..x义.yx必须满足.二维随机变量〔满足0.2x图5.3

.,y.yfY,0.1241..yydxx其他10..121..,0,12yy.其他0..y314141,21....f，.x......................,2Xff不相互独X\Y002531b2a25〔251a252..530|1...XYPba,b,..23212b17.a...111jiijp12525.1P.....532520253.b2517..ba2514.a即a2532514..b〔2〕当.253,2514.....25170,2550....YPXP....25...XPXP解易知.2...YPp..YX,2.Y22X|Y=2123.2.Y12.122.p32p33X312..YX,..........021,xx...1fX,0其他2,124x

......,x时,x时......xfxyfXXY||他......,0,1244.x其120...xy20.,0,1其他12..xy1.-0.502〔X2；〔.1；〕81411811611311..X2X概率463X1.X818240.2504162.X.X232.X.X828631.X411..X.368238X0144112X218743641247......24,1,1;1,0..XX假设假设解由于X服从参数1..的泊松分布，因此1.XPk........11110..........eeXPXPXPYP..,,2,1,0,!!11......1211111.........eXPXPYP

即Y10.x求机其他12.e121..e〔...xf,0,2x,;1.2X解求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果..xy.〔g..................22yXPyXPyYPyFXY2.0......yyy1402y2200....yyyyY02其他20..y2y2...yhyx....21..yh=,21.12..y......yhyhfyfXY..,0其他=0,2y其他20..y..........yhfyf.21.1...XY....1,1......yhyhyx11..y...10y..其他110...y其他...012.y0...yhy11,...，因此Y函数为2XY.y.1,02xy.......y121yy,0,其他10..y,0,1其他10..y解圆面积21XY..，由于X均匀取..6,5中的X..6,5...xf,15..x,0其他X.;6为单调可导函数，那么也可利用性质求得。.FYx，.X，由于

增加数...6,5.x241xy.....yyh..12124..............hyhfyfXY,0,1y.,;625其他...y.,0,1y..;9425其他5.设随机变量X服从正态分布..1,0.，试求随机变量的函数2XY...yfY解，所X..1,0~.X..y。须先求..........xexxy.质求出fYY的分布函数..yFY....yXPyYFYy..Py..yX,0;0..yy...x....,0,2121212122yeyeyy.....,其他,0,212yey...其他6.设随机变量X服从参eXY...yfY解xfX,0.其他.e;0.xey..hy1,ln....yy.....yhf;0ln.yln1,0,yey.,其他y,0,12y.其他7.设X服从..1,0.，证明X.服从.a.,其中a..2,..,a0..证明..1,0~.X,增函数..........xexfxX,2122.axy....fyfXY..为单，其反.....,因的密度为......此Y函.........eyhyh112.，..2,~..aaX..f,x.所以

1,00,01,0.XXX....假设；假设；假设,0,31.;21其他...x............01313101dxXPYP....000....XPYP1dx..........2032310233..YX,X１111448811；〔81X8；解..YX,41418181.2,2.3,281.81.3,3..1,1..2,1..3,1..1,2...1,3.2,3..YX.０-１-210-1210YX.123246369XY〔1〕YX.13114848YX.1111184448〔Ｘ１511884X2

511884XY13114848............41,1~,41,1~BYBXYXZ..Z〔２〕记随机变量XU2.，求U的分布律。从而证实：即使Ｘ、Ｙ服从同样的分布，YX.X2论。解............41,1~,41,1~BYBX.......41,2~BYX....2,1,0,434122...........................kkkYXPkZPkk,Z961161616X1344XU2.1344易YX.同时X2同一YX.X2XY并不一定取值，因而导致它们的分布也不同。１１.设二维随机变量..YX,的联合分布律为X\Y１１199291929291..YXU,max.〔２〕求..YXV,的分布律。min.解〔１〕变量U可能取到的值为１，２，３中的一个，且

..................................;95919292003,32,31,33,23,13,max3;31919202,21,22,12,max2;911,11,max1...............................................YXPYXPYXPYXPYXPYXPUPYXPYXPYXPYXPUPYXPYXPUP综合有U１２３概率913195〔２〕随机变量V可能取到的值为１，２，３中的一个，且...............;95929202111,31,23,12,11,11,min1........................YXPYXPYXPYXPYXPYXPVP同理可求得....,913,312....VPVP综合有V１２３概率953191１２.设二维随机变量..YX,服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线，0,0..yx2,2..yx所围成的区域，求XY.的分布函数及密度函数。解的联合密度函数为.YX,1,02,0(,)40,xyfxy..........其他.设，那么的分布函数-202x图6.2yzD2

...............zzDZdxdyyxfzYXPzZPzF,,其中区域其中区域....zyxyxDz....zyxyxDz...:,，当时，积分区域见图6.2，此时2..z......zDZdxdyzF00当时，积分区域见图6.3，此时02...zzD........22281221414141,zzDdxdydxdyyxfzFzDDZzz...............的面积区域其中是区域限在中的那局部。zD..yzD20,20...x当时，积分区域见图6.4，此时20..zzD......zzDdxdydxdyyxfzFzDDZzz........................的面积区域其中是区域限在zD.zD20,20....yx中的那局部。当时，积分区域见图6.5，此时2.zzD....1,....zDZdxdyyxfzF。综合有....,1,2811,281,022zz...,2;20;02;2........zzzzZ的密度函数...,0,241,241zz...;20;02其他.....zz13.设的密度函数为，用函数表达随机变量.YX,.yxf,fYX.的密度函数。解设YXZ..,那么Z的分布函数-202xy2图6.4图6.3-202xy2zD图6.5-202xy2zD

..............................xzzyxZdxdyyxfdxdxdyyxfzYXPzZPzF,,。对积分变量y作变换yxu..，得到.............zxzduxuxfdyyxf,,于是................dxduxuxfzFzZ,，交换积分变量ux,的次序得................zZdudxxuxfzF,从而，Z的密度函数为，...........dxxzxfzfZ,把X与Y的地位对换，同样可得到Z的密度函数的另一种形式。...........dyyyzfzfZ,习题七解答1.设X的分布律为，X-102112概率31616112141求〔1〕EX，〔2〕，〔3〕E，〔4〕)1(..XEDX。解由随机变量X的分布律，得X-101212-X+121120-1X2101414P31616112141所以..111111(1)0123626124EX..............1111111210(1)3626124EX..............22235197()()(())()24372DXEXEX.....另外，也可根据数学期望的性质可得：....121133EXEX.........2.设随机变量X服从参数为.0...的泊松分布，且......232...XXE，求.的值。解

......................204526526565322222......................XEXEXDXEXEXXEXXE3.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求2X的数学期望..2XE。解..4.0,10~BX所以.....010,44.010.......XDXE故........4.1844.2222.....XEXDXE4.国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量，它在[2000，4000]〔单位：吨〕上服从均匀分布。假设每售出一吨，可得外汇3万美元，假设销售不出而积压，那么每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？解设随机变量Y表示平均收益〔单位：万元〕，进货量为吨aY=..aXaX33..axax..那么.............aadxadxaxYEaa要使得平均收益最大，所以..YE..080000001400022.....aa得〔吨〕3500.a5.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望..XE和方差。..XD解X的可能取值为0，1，2，3，有......................................XPXPXPXP所以X的分布律为X0123Pr0.5040.3980.0920.006.........................XDXEXE6.设X的密度函数为..xexf..21，求〔1〕..XE；〔2〕..2XE。解〔1〕...........021dxexXEx〔2〕................0222221221dxexdxexXExx注：求解〔1〕时利用被积函数是奇函数的性质，求解〔2〕时化简为可以看成为是服从参数为1的指数分布随机变量的二阶原点矩。....02dxexx

7.某商店经销商品的利润率的密度函数为)(xf.....0)1(2x,其他10..x，求,。解〔1〕..1012(1)3EXxxdx.....〔2〕..122021(1)6EXxxdx.....故222111()()(())()6318DXEXEX.....8.设随机变量X的密度函数为00.x求、、..XE..XE2..XeXE2..、。..XD解......0122xEXxedxEXEX........................22230022022141113321XXxxxxEXeEXEeeedxedxEXxedxDXEXEX..............................9.设随机变量的联合分布律为.YX,X\Y0100.30.210.40.1求、、、、..XE..YE..YXE2...XYE3、..YD、..YX,cov、YX,.。解关于X与Y的边缘分布律分别为：X01Y01Pr0.50.5Pr0.70.3..5.05.015.00.....XE........................................212121.025.005.0,cov05.03.05.01.0,cov3.01.031.0114.0012.0103.0003331.03.025.02221.03.03.03.03.017.003.03.017.0025.05.05.05.05.015.00,22222222..........................................................YDXDYXYEXEXYEYXXYEXYEYEXEYXEYDYEYEXDXEYX.10.设随机变量X,Y相互独立，它们的密度函数分别为..xfX202xe.00..xx..fY404ye.00..yy求。..YXD.解，所以..2~EX..41212..XD，..y

01xy1..4~EYY，所以，所以....161412..YD，X,Y相互独立，所以......165....YDXDYXD。11.设.服从在A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线YX,..X01...yx所围成的区域，求〔1〕；〔2〕；〔3〕E..YXE23....XYE的值。解先画出A区域的图...yxf,2..Ayx.,0其他...........dyyxfxfX,.xdyx.....122021.x1..0其他...........dxyxfyfY,.ydxy.....1220211...y0其他.....................................................................dxxxdydxxyXYEYEXEYXEdyyyYEdxxxXEx12.设随机变量的联合密度函数为.YX,...yxf,212y10...xy0其他求............YDXDYXEXYEYEXE,,,,,22.。解先画出区域10...xy的图...........dyyxfxfX,..xxdyy03241210..x0其他...........dxyxfyfY,.....12211212yyydyy10..yy-1-1-y-1xAy0xG

0其他..............................................................................13.设随机变量X,Y相互独立，且........3,2,1....YDXDYEXE，求。.XYD解.........................................................YEXEYEYDXEXDYEXEYEXEXYEYXEXYD14.设....4.0,36,25,...YXYDXD.，求〔1〕..YXD.；〔2〕..YXD.。解：〔1〕..........YDXDYDXDYXDYX,2.....8536254.023625.......〔2〕..........YDXDYDXDYXDYX,2.....3736254.023625.......15.设随机变量相互独立，，YX,)1,1(~NX)1,2(~.NY，求)2(),2(YXDYXE..。解()1,()1;()2,()1EXDXEYDY....2(2)2()()21(2)0(2)2()()4115EXYEXEYDXYDXDY...............16.验证：当为二维连续型随机变量时，按公式及按公式算得的),(YXEX...........dydxyxxfEX),(XYX),,(......dxxxfEX)(值相等。这里，、依次表示的分布密度。),(yxf)(xf证明(,)(,)EXxfxydydxxfxydydx......................()xfxdx......17.设X的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计}5.7{..EXXP的值。解2(){7.5}..18.设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计..6..YXP的值。解......022.......YEXEYXE............3415.02412,...........YDXDYDXDYXDYX.所以

..........121666062..............YXDYXEYXPYXPYXP21.在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年内每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。解设死亡人数为，保险公司亏本当且仅当，即。于是，由棣莫弗—拉普拉斯定理，公司亏本的概率为.001.0,3000~,BXX3000102000..X15.X....................................xppnpnppnpnpXPXP习题九解答1.设是来自服从参数为621,,,XXX..的泊松分布...P的样本，试写出样本的联合分布律。解..!!!,,,621621621xexexexxxfxxx...............1661!niixiiex........2.设是来自621,,,XXX...,0上的均匀分布的样本，0..未知〔1〕写出样本的联合密度函数；〔2〕指出以下样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？6XXXTXEXTXTXXXT............〔3〕设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。解〔1〕...621,,,xxxf.6.....621,,,0xxx.0其他〔2〕1和是，2和3不是。因为1T和4中不含总体中的唯一未知参数T4TTTT.，而2T和3T中含有未知参数.。.............iiniiXXnX样本方差....261212611........iiniiXXXXnS..............0433.02.02.02.01.02.03.061222222..........样本标准差2082.00433.02...SS。3.查表求，，t，。)12(299.0.)12(201.0.)12(99.0)12(01.0t解，，t20.99(12)26.217..20.01(12)3.571..0.99(12)2.6810.，t0.01(12)2.6810..。4.设T，求常数，使..10~tc..95.0..cTP。

解由t分布关于纵轴对称，所以..95.0..cTP即为..05.0...cTP。由附表5.6可查得，所以。81.1..c81.1..c5.设是来自正态总体nXXX,,,21...2,0..的样本，试证：〔1〕..nXnii2122~1....；〔2〕..1~12212..........niiXn。证明：〔1〕.iX独立同分布于..1,0.，由分布的定义，2...nXnii221~..........，即..nXnii2122~1....。〔2〕易见，，即1,0~.nXii.....12.1,0~21....nXii，由分布的定义，..1~2221................nXnii，即。6.设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个521,,,XXX...5,,2,1..iXi都服从..1,0.。〔1〕试给出常数，使得c..2221XXc.服从分布，并指出它的自由度；2.〔2〕试给出常数，使得25242321XXXXXd...服从t分布，并指出它的自由度。解〔1〕易见，即为二个独立的服从2221XX...1,0.的随机变量平方和，服从分布，即..22.1.c；自由度为2。〔2〕由于..2,0~21..XX，那么..1,0~221..XX。又，..3~2252423.XXX..221XX.与相互独立，那么252423XXX........3~3225242321tXXXXX...即..3~2625242321tXXXXX...即26.d，自由度为3。7.设是取自总体.nXXX,,,21....EX~X~R的一个样本，在以下三种情况下，分别求......2,,SEXDXE：〔1〕；〔2〕.pBX,1~.；〔3〕..2,0X，其中0..。解〔1〕..pBX,1~............211,,111nniiiiEXpEXpDXppEXEXEXpnn.....................211111nniiiippDXDXDXnnn..............

..............................................................................................〔2〕...EX~.....................................nXEXDnXEXDnSEnXDXEXDXEniii〔3〕..2,0~RX，其中0......................................niiiXEXDnXEXDnSEnXDXEXDXE8.某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：〔1〕样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；〔2〕样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。解〔1〕引入新变量：.iX1，第个样本居民年收入超过1万i0，第个样本居民年收入没超过1万i其中1600,,,2,1..nni.易见：..1.01...iXPp又因，故可以近似看成有放回抽样，相互独立。1000001600....NnnXXX,,21.....3.09.01.0,1.0......iiXDXE..样本中年收入超过1万的比例即为，由于较大，可以使用渐近分布求解，即.........nX2,~..，所求概率即为........0918.09082.013413.01.011.040111.01%11...............................XnPXPXP〔2〕同〔1〕解法

引入新变量：.iX1，第个样本居民受过高等教育i0，第个样本居民未受过高等教育i其中1600,,,2,1..nni............iXPp..............6826.018413.02112114.02.021.0404.02.019.040%21%19..............................XnPXP答：〔1〕样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918；〔2〕样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。习题十解答1.设是取自总体X的一个样本，在以下情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：nXXX,,,21.〔1〕，其中.pnBX,~p未知，10..p；〔2〕...EX~，其中.未知，0..。解〔1〕，故..pXE.p的矩估计量有Xp..。另，X的分布律为，....1,0,11.....xppxXPxx故似然函数为...........niiniiXnXpppL111对数似然函数为：....pXnpXpLniinii....................1lnlnln11令..01ln11.........pXnpXdppLdniinii解得p的最大似然估计量XXnpnii....11.。可以看出p的矩估计量与最大似然估计量是相同的。〔2〕...1.XE，令X..1，故.的矩估计量X1...。另，X的密度函数为...xfX0xe...00..xx故似然函数为01...niiXne..其他niXi,,2,1,0...对数似然函数为....0lnlnln11.........niiniiXndLdXnL......解得的最大似然估计量XXnnii1.1.....。

可以看出.的矩估计量与最大似然估计量是相同的。2.设是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为nXXX,,,21...的泊松分布，其中.未知，0..，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值X01234频数17201021求.的矩估计值与最大似然估计值。解....XE，故.的矩估计量X...。由样本观测值可算得..........X另，X的分布律为...,2,1,0,!....xxexXPx..故似然函数为..niXXXXeLinniin,,2,1,,2,1,0,!!11............对数似然函数为......0ln!lnlnln111..........................niiniiniiXndLdXXnL解得.的最大似然估计量XnXnii....1..，故.的最大似然估计值。1...3.设是取自总体X的一个样本，其中X服从区间nXXX,,,21....,0的均匀分布，其中0..未知，求.的矩估计。解..2..XE，令X.2.，故.的矩估计量X2...。4.设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为nXXX,,,21.022.x其他...x0其中0..未知，求.的矩估计。解.....32202....dxxxXE，令X..32，故.的矩估计量为X23...。5.设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为nXXX,,,21....xf.0.01..x.其他1..x其中0..未知，求.的矩估计和最大似然估计。解....21110...........dxxxXE，令X...21..，故.的矩估计量为121....XX.，另，似然函数0..011...niinX..其他1..iX对数似然函数为

......0ln1lnln1lnln11...........niiniiXndLdXnL......解得的最大似然估计量为XXnnii111.1.........。6.设是取自总体X的一个样本，总体X服从参数为nXXX,,,21....,11...xppxp的几何分布，即，其中...,3,2,1..xXPp未知，10..p，求p的最大似然估计。解似然函数....nXnniipppL.....11对数似然函数......01ln1lnlnln11...................pnXpndppLdpnXpnpLniinii解得p的最大似然估计量为Xp1..。7.某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布...E，其中0..未知，现在观测到六个时间间隔数据〔单位：s〕：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过的平均时间间隔的