数列递推与通项(学生答案)

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数列递推与通项数列递推与通项(学生答案)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）一.观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。1.根据给出数列的前n项，写出下列的一个通项公式。11,103,1005,10007…..7,77,777,7777……2,-6,12,-20,30,-42,….1,3,3,5,5,7,7,9,9,…..1,0,3,0，5,0…..二.公式法（1）当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。已知数列的前n项和求通项时，通常用公式。2.已知下列数列的前n项和求通项公式。3.已知数列{an}中，a1=1，Sn=，求{an}的通项公式．解：∴是以1为首项，公差为2的等差数列．∴=1+2（n－1）=2n－1，即Sn=．∴an=Sn－Sn－1==∴an=三.由递推式求数列通项(迭加法、迭乘法)对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。称辅助数列法。4.根据的首项和递推公式，写出数列的前5项及通项公式5.（迭加法）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3×（－）n－1（n≥3），且S1=1，S2=－，求{an}的通项公式．解：先考虑偶数项有：S2n－S2n－2=－3·S2n－2－S2n－4=－3·……S4－S2=－3·将以上各式叠加得S2n－S2=－3×，所以S2n=－2+．再考虑奇数项有：S2n＋1－S2n－1=3·S2n－1－S2n－3=3·……S3－S1=3·将以上各式叠加得S2n＋1=2－．所以a2n+1=S2n+1－S2n=4－3×，a2n=S2n－S2n－1=－4+3×．综上所述an=，即an=（－1）n－1·．6.（an+1=pan+r类型数列）在数列{an}中，an+1=2an－3，a1=5，求{an}的通项公式．解：∵an+1－3=2（an－3）∴{an－3}是以2为首项，公比为2的等比数列．∴an－3=2n∴an=2n+3．7.在数列{an}中，a1=2，且an+1=，求{an}的通项公式．解：an+12=an2+∴an+12－1=（an2－1）∴{an+12－1}是以3为首项，公比为的等差数列．∴an+12－1=3×，即an=8.（an+1=pan+f（n）类型）已知数列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n－1，求{an}的通项公式．解：（待定系数法）设an+p·3n=an－1+p·3n－1则an=an－1－2p·3n－1，与an=an－1+3n－1比较可知p=－．所以是常数列，且a1－=－．所以=－，即an=．四、转化为常见类型求解：（1）倒数变换法：形如（为常数，且）的递推公式，可令。则可转化为型；（2）对数变换法：9.已知数列{an}中，a1=，an+1=，求{an}的通项公式．解：∴是以为首项，公差为2的等差数列，即+2（n－1）=∴an=10.已知数列满足，求。11.（求和法，利用公式an=Sn－Sn－1，n≥2）已知正数数列{an}的前n项和Sn=，求{an}的通项公式．解：S1=a1=，所以a1=1．∵an=Sn－Sn－1∴2Sn=Sn－Sn－1+∴Sn+Sn－1=，即Sn2－Sn－12=1∴是以1为首项，公差为1的等差数列．∴Sn2=n，即Sn=∴an=Sn－Sn－1=－（n≥2）∴an=－．12.数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（=1\*ROMANI）求的值；（=2\*ROMANII）求的通项公式．解：（=1\*ROMANI），，，因为，，成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．（=2\*ROMANII）当时，由于，，…………，所以．又，，故．当时，上式也成立，所以第二版学海导航专题辅导利用递推关系求数列通项1.形如型，用累加法.方法如下：由得：时，，，所以各式相加得时，，=.例1.已知数列｛an｝满足, 证明证明：由已知得：=.2．已知前n项和求通项公式，用公式例2.已知数列中,且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则3.形如型,用累乘法.由得时，，=f(n)f(n-1).例3.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1),即时，==.3.转化法。通过对数列递推关系式的恰当恒等变形，如配方(适合题型:an+1=pan+q、an+1=pan+f(n))、因式分解、取对数、取倒数、平方等常用手段，将其转化为等比数列或等差数列。例4已知数列｛an｝满足a1=1，2an+1=an+6n+3。求an。解（配方法）设2[an+1+k（n+1）+b]=an+kn+b2an+1=an–kn-2k-bk=-6,b=9∴2[an+1–6(n+1）+9]=an-6n+9∴｛an-6n+9｝是以4为首相1/2为公比的等比数列∴an-6n+9=4∴an=4+6n-9例5.已知，求an解：对两边平方,得，且an0不妨设+q=2(+q)（配方法）q=1+1=2(+1),又,∴数列是以2为首项，公比为2的等比数列，=，∴an=（）4．归纳法。先计算数列的前若干项，通过观察规律，猜想通项公式，进而用数学归纳法证之。例6对例5的数学归纳法求解：易求出a1=1，a2=，a3=，a4=，a5=，猜想：an=，下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=结论成立；②假设当n=k时结论成立，即ak=，当n=k+1时，===，即n=k+1时结论成立。由①②知an=对所有的正整数都成立。∴an=（）三．已知三相以上的数列的递推公式求数列的通项公式，只能运用“观察，归纳，猜想，证明”的步骤和方法加以解决。例7．已知数列｛an｝满足a1=1，a2=6，an+2=an+1–an,求a2004解：a1=1，a2=6，a3=5，a4=-1，a5=-6，a6=-5，a7=1，a8=6，a9=5，a10=-1...猜想数列｛an｝是以6为周期的周期数列。事实上，an+2=an+1–an=an-an-1–an=-an-1∴an+3=-an∴an+6=-an+3=an。即｛an｝是以6为周期的周期数列。∴a2004=a6*334=a6=-5。专题二数列的通项递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决（即构造等差、等比的辅助数列），因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。常见的求法有：1、公式法：由等差，等比定义，写出通项公式（一般求，再用通项或变形公式）2、累加法：型；累乘法：型；迭代法3、待定系数法：型；型（为常数，且）特别提醒：一阶递推,我们通常将其化为{bn}的等比数列（常考查）4、不动点法：与的递推公式中，不含。5、特征根的方法：（其中p，q均为常数）。6、对数变换法：7、换元法：对含an与Sn的题，利用消去，转换为的推公式，再用前面的方法特别提醒：对含an与Sn的题，在求和的问题时，也可以用这样的方法消去，得到关于的递推公式，同样采用上述求通项地方法求出8、周期数列：9、数学归纳法：（以后学）说明：①仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。②其中方法3、4、5、6、7都属于构造辅助数列：构造为等差（等比）数列，求出，然后就可以求出了。③重点掌握：公式法、累加（乘）法、型、型、型、周期数列求法。一、公式法：（略）要求：【熟练运用】二、类型1、累加法：【熟练运用】解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法求解。例1:已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。练习1：已知数列满足，求数列的通项公式。练习2：已知数列满足，求数列的通项公式。类型2、累乘法：【熟练运用】解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法求解。例2:已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，练习:已知，，求。解：。三、待定系数法：类型1（其中p，q均为常数，）。【熟练运用】解法：（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例3:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.练习:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项类型2，【不重点掌握】解法：方法和类型1相似，把原递推公式转化为：，再利用换元法转化为等比数列求解。例4:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.练习:已知数列满足，求数列的通项公式。类型3、（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）【不重点掌握】解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例5:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以练习:已知数列满足，求数列的通项公式。五、常考题型：型【熟练运用】解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例6：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。解：取倒数：是等差数列，变式1:（2006，江西,理,22）已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝求数列｛an｝的通项公式；解：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n1）练习：已知数列中=，。不动点法：由型变形【不需要掌握】仅作了解例7、已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。例8已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则x=1是函数的不动点。因为，所以，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。五、特征根法：【不需要掌握】递推公式为（其中p，q均为常数）。解(特征根法：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例9:数列：，,求解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是故练习1:已知数列中，,,，求。练习2:（2006，福建,文,22）已知数列满足求数列的通项公式；解：六、对数变换法：【不重点掌握】解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例10：已知数列｛｝中，，求数列解：由两边取对数得，令，则，再利用待定系数法解得：。七、换元法：递推公式为与的关系式。(或【熟练运用】解法：利用与消去或与消去进行求解。例11：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用待定系数法（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以特别提醒：若求，除了因，采用错位相减法求以外，还可以对消去，得到，变为再用前面的待定系数法（类型3）例12：（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2，则{an}的通项解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，由n个式子相乘，得注意：例12也是运用了的方法八、周期型数列【熟练运用】解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例10：若数列满足，若，则的值为___________。解：带值可知：；；；，故T=3,练习:已知数列满足，则=（）A．0B．C．D．由递推公式求数列的通项（说课稿）青浦一中叶志丰一、学情分析和教法设计：1、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节专题探究课，将会根据递推公式求出数列的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。2、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以问题情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题及变式中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。在教学过程中采取如下方法：①诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性；③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。二、教学设计：1、教材的地位与作用：递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。对数列的递推公式的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考常新的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。2、教学重点、难点：教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。教学难点：解题过程中方法的正确选择。3、教学目标：(1)知识与技能：会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式。(2)过程与方法：①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力；②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。(3)情感、态度与价值观：①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；②通过对数列递推公式和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。三、教学过程：（1）复习引入：复习数列的递推公式、等差和等比数列的递推公式，并解决问题例1。（2）问题探究及变式训练：例2：例3：根据下列递推公式求通项公式：例4：根据下列递推公式求通项公式：（3）课堂小结（4）作业布置三、课后反思：递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。求递推数列通项公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、换元法等等。只要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。2008/11/由递推公式求数列的通项（说课稿）青浦一中叶志丰一、学情分析和教法设计：1、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节专题探究课，将会根据递推公式求出数列的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。2、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以问题情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题及变式中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。在教学过程中采取如下方法：①诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性；③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。二、教学设计：1、教材的地位与作用：递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。对数列的递推公式的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考常新的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。因此，研究由递推