线性电路叠加定理的证明

线性电路叠加定理的证明胡世昌【摘要】线性电路必定满足叠加定理，满足叠加定理的电路必定是线性电路,但循环定义无助于识别线性电路和应用叠加定理.文章指出线性是线性系统输人信号与输出信号关系的一种描述，是齐次性与叠加性之和.线性电路元件是电流/电压关系特性符合线性系统输入/输出要求的电路元件，进一步可以分为自身电流与自身电压成线性关系的普通线性电路元件，和控制电压或电流与受控电压或电流成线性关系的受控线性电路元件.线性电路是由线性电路元件和独立源构成的电路，其中独立源被看做线性电路的输入（激励）,而电路中的任何电压和电流都被看做是线性电路的输出（响应）.最后根据线性概念及基尔霍夫定律，给出了叠加定理的证明.%Linearcircuitmustmeetthesuperpositiontheorem,whilecircuitthatmeetsthesuperpositiontheoremmustbelinearcircuit,butcirculardefinitiondoesnothelpinidentifyinglinearcircuitsorapplyingsuperpositiontheorem.Thisarticlepointsoutthatlinearityisadescriptionfortheinputandoutputsignalrelationoflinearsystem,whichisthesumofhomogeneityandadditivity.Linearcircuitelementisanycircuitelementwhosecircuit/voltagerelationmeettherequirementoflinearsysteminput/outputrelation,whichcanbefurtherdividedintoordinarylinearcircuitelementwhosecircuitandvoltagerelationofitselfsatisfylinearity,andcontrolledlinearcircuitelementwhosecontrolledsignalandcontrolsignalrelationsatisfylinearity.Linearcircuitiscomposedbylinearelementandindependentsourcewhereinindependentsourceisseenasinput（excitation）oflinearcircuitwhileanyvoltageandcircuitareseenasoutput(response).FinallyaproofisgivenbasedontheconceptoflinearityandKirchhoff'sLaw.【期刊名称】《沈阳师范大学学报(自然科学版)》【年(卷)，期】2012(030)004【总页数】6页(P503-508)【关键词】线性;叠加定理;证明【作者】胡世昌【作者单位】沈阳师范大学科信软件学院，沈阳110034【正文语种】中文【中图分类】TP309.080引言线性电路和叠加定理是电路分析中十分重要的概念，二者紧密关联，线性电路必定满足叠加定理，满足叠加定理的电路必定是线性电路。但仅仅使用这种循环定义显然是不够的，因为学习和研究叠加定理的目的，是为了使用叠加定理；而使用叠加定理，首先要确定叠加定理的适用范围。如果把叠加定理的适用范围定义为线性电路，又把线性电路定义为满足叠加定理的电路，那么读者就难以确定：除了那些已知的可以使用叠加定理的电路，还有哪些类型的电路可以使用叠加定理；如果遇到包含新型元件的电路，或者用新方法组合起来的新型电路，读者同样不能确定它是不是线性电路，更不能从定义中确定该电路是否可以使用叠加定理。1现有表述及其存在的问题很多文献对线性电路和叠加定理的表述，都存在着定义不准确、不完整、不实用，甚至循环定义的问题，具体分析如下。对于叠加定理的适用电路，即线性电路，有的文献定义为〃线性电阻、线性受控源及独立源”［1-2］，有的定义为〃由线性电阻和线性受控源构成的线性网络”［3］。但是，叠加定理的适用范围决不仅仅是电阻电路，因而这种表述方式是不准确的。有的文献把线性电路定义为〃电流和电压成正比例关系的电路”［4］，这种定义也不完整，因为它把线性概念的范围缩小了。应该说，电流和电压成正比例关系的电路一定是线性电路，但是不成正比例关系的电路却未必不是线性电路。有的文献直接从数学角度讨论［5］，把线性电路定义为〃有线性唯一解的电路”，这种说法完全正确，但未免过分强调数学而脱离了电路理论体系。多数读者不能理解，究竟什么样的电路才满足〃有线性唯一解”这样的条件。如果不能要求读者很简明地掌握什么样的电路才是“有线性唯一解的电路”，那么这种定义的实用价值就大打折扣了。有些文献回避了线性电路的定义，而仅仅说明线性电路的特点［6-7］，问题是掌握一个电路的特点要么是在实践测试之后，要么是理论分析之后，才能知道一个电路是不是线性，能不能使用叠加定理，所以这种说法也不能帮助人们很容易地掌握究竟什么样的电路才是线性电路。有的文献中把叠加定理所适用的电源表述为〃直流电源”［8］，这也是不正确的，实际上，多数情况下，用叠加定理来处理多个直流电源的电路并不能带来多少方便［9］。对于叠加定理的证明，有些文献采用了举例说明的方式［10-12］，但是举例说明的方式严格说来不能算作证明；还有的文献则采用结点法结合克莱姆法则来证明［13-14］，可是克莱姆法则证明的方法只能适用于线性电阻电路，所以也不能算作适当的证明。本文对线性、线性电路的概念做了澄清，并在不引入过分复杂数学的基础上，对叠加定理给出证明。2线性概念假设某系统的输入x与输出y之间存在如下关系如果f（x）满足则称该系统为线性系统。其中，x、y可以是标量、向量，也可以是函数、泛函、状态机，f是对x的运算，k1、k2可以是实数，也可以是虚数。上述线性条件又可以分解成2个条件[15]:所以，满足齐次性和叠加性的系统称为线性系统。齐次性和叠加性既是线性系统的重要性质，也是线性概念的定义本身。3线性电路下文中，为讨论方便，假设元件k和元件j是电路中任意的2个元件。元件k的电压用uk表示，电流用ik表示。元件j的电压用uj表示，电流用ij表示。3.1线性电路元件把每个电路元件看做是一个系统，以电流或电压作为该系统的输入、输出信号。如果某电路元件的输出信号与与输入信号成线性关系（满足齐次性和叠加性），则称之为线性电路元件。线性电路元件又可以分为如下两种类型：以线性电阻为代表的普通线性元件，其自身电流电压特性成线性关系。如果元件k属于此类，以元件自身电压作为输入，元件自身电流作为输出，其特性应表示为：也可以以元件自身电流作为输入，元件自身电压作为输出，其特性应表示为：显然，线性运算与fk互为逆运算，下标k强调了它们代表着元件k自身的特性，这些运算可以是线性函数，可以是更广泛的线性运算或线性变换。以线性受控源为代表的受控线性元件，其输出信号受输入信号控制，而输出信号和输入信号均既可以是电压，又可以是电流。通常控制信号与被控制信号分别属于不同元件，为表达清楚，同样以元件k和元件j为例，假设受控元件k的输入信号连接到控制元件j的输出信号上，受控线性元件k可以分为4类：1） 元件j的电压控制元件k的电压：uk=fk（uj）;2） 元件j的电压控制元件k的电流：ik=fk（uj）;3） 元件j的电流控制元件k的电流：ik=fk（ij）;4） 元件j的电流控制元件k的电压：uk=fk（ij）。上面的符号fk代表了受控元件k的自身特性，同样是一个线性运算。3.2独立源元件独立源元件可以分为独立电压源与独立电流源2类，讨论如下：1） 独立电流源的电流由自身决定，不受外电路的影响，而其电压必须与外界电路共同决定。如果元件k为独立电流源，则其特性的完整数学表达式为：2） 独立电压源的电压由自身决定，不受外电路的影响，而其电流必须与外界电路共同决定。如果元件j为独立电压源，则其特性的完整数学表达式为：3.3线性电路的定义线性电路是由线性电路元件和独立源构成的电路，其中独立源被看做线性电路的输入（激励），而电路中的任何电压和电流都被看做是线性电路的输出（响应）。4叠加定理及其证明可以根据元件之间的连接约束（KCL、KVL）和元件自身的特性约束（元件电流电压关系）来证明叠加定理。4.1元件特性（支路方程）分析一个拥有m个元件的电路，只要求出电路中每个元件的电流、电压，就可以根据KCL、KVL得到电路中任何电流和电压。把电路中所有元件的电流、电压做为未知数，m个元件共对应2m个变量，求出这2m个变量，就完成了对该电路的分析。把这2m个变量命名为（i1，i2，...，im，u1，u2，...，um），其中i1代表元件1的电流，i2代表元件2的电流，…，im代表元件m的电流，u1代表元件1的电压，u2代表元件2的电压，…，um代表元件m的电压。由于元件的编号顺序不影响分析结果，为方便起见，做如下假设：元件1是类似电阻的普通线性元件；元件2是线性受控源，它的电压受元件3的电压控制；元件k是独立电流源；元件j是独立电压源，这种假设涵盖了4种可能的元件类型。对应m个元件，一共能够得到m个特性方程式（1a）上述特性方程中所出现的运算均为线性运算，将方程改写为式（1b）的形式方程左边每一项都是对待求变量的运算，这些运算，要么是把待求变量简单地乘以系数0,1或（-1），要么把待求变量作为线性运算fk的输入（自变量）之后再乘以1或（-1），又因为乘以系数0,1或（-1）实际上也是一种线性运算，所以，方程组左边的每一项都是对单个待求变量的线性运算。ffi（i1,i2，…，im）作为第（1,2，…，m）个待求变量，把（u1,u2，…，um）作为第（m+1,m+2,...,2m）个待求变量；把第k个方程中对j个变量的线性运算记作Lkj,则上述m个元件特性方程可以写成式（1c）简单对应可知，第1个方程左侧共有2m项线性运算，其中第一项是乘以系数1,所以第1个线性运算项为第1个方程中的第(m+1)个线性运算项为(-fl(ul))，所以第1个方程中的其余各项线性运算均为乘以0，所以类似地，第2个方程左侧的各个线性运算项，L2(m+2)(u2)=u2,L2(m+3)(u3)=-f2(u3),其余各项线性运算均为乘以0。第k个方程左侧线性运算，Lkk(ik)=ik,其余各项线性运算均为乘以0。第j个方程左侧线性运算，Lj(m+j)(uj)=uj,其余各项线性运算均为乘以0。把每一个二端元件视为一个支路，则电路有m条支路，每个支路方程即为元件自身特性方程，对应前面m个线性方程。4.2结点方程再对结点列KCL方程，不同的结点对应不同的KCL方程：结点只连接两个二端元件(两条支路)ia+ib=0；结点连接多个二端元件(多条支路)ic+...+id=0。观察及理论分析易知，结点方程的右侧始终为常数项0。结点方程的左侧各项，分别是待求变量(i1,i2，…，im,u1,u2，…，um)乘以系数1,0,或(-1),而这些运算也同样是线性运算。假设电路具有n个结点，一共可以列出(n-1)个独立的结点方程，这(n-1)个独立的结点方程也写成2m个线性运算项相加的形式简单分析可知，每个结点方程左侧的前m项可能乘以系数1,0,或（-1），后m项运算都是乘以0，即从第（m+1）项到第（2m）项的各个线性运算项实际上都是0。4.3回路方程求解2m个变量需要2m个独立的方程，上面由m个元件特性得到了m个独立的支路方程，根据KCL得到了3-1）个独立的结点方程，还需要根据KVL针取得（m-n+1）个独立的回路方程。类似分析可知，这些回路方程也可以写成2m个线性运算项相加的形式每个回路方程的右侧都是只有常数项0，每个回路方程左侧的前m项运算都是乘以系数0,左侧的后m项可能乘以系数1,0,或（-1）。4.4线性电路方程解的叠加综合联立上述支路方程式（1c）、结点方程式（2）、回路方程式（3），得到2m个独立的线性电路方程式根据式（7）可知，（i1k+i1j,i2k+i2j imk+imj,u1k+u1j,u2k+u2j umk+umj）是独立源iks和ujs共同作用时的解。综上，只要上述2m个方程的解是唯一的，就可以证明独立源iks和ujs共同作用时的电路中各支路上的电流和电压，等于独立源iks和ujs单独作用时相应支路上电流和电压的叠加。5结论文章以层层递进的的方式，定义了线性、线性系统、线性电路元件、线性电路、叠加定理这几个相互关联又相互区别的概念：1） 从对象之间的关系的角度来定义线性概念本身：满足齐次性和叠加性的关系称为线性关系。2） 在线性概念的基础上定义线性系统：输出信号（响应）和输入信号（激励）之间满足线性关系的系统，叫做线性系统。3） 把线性电路元件本身定义为简单的线性系统：输出电流（或电压）与输入电流（或电压）满足线性关系的电路元件，叫做线性电路元件。线性电路元件包括自身电流电压成线性关系的普通线性电路元件（如电阻），和受控信号与控制信号成线性关系的受控线性电路元件（如受控源）。4） 把线性电路元件构成的电路定义为线性电路：由线性电路元件和独立源（包括独立电压源和独立电流源）构成的电路系统，叫做线性电路。5） 用上述概念结合电路基本理论证明线性电路必定满足叠加定理：有唯一解的线性电路中，多个独立源共同作用的所产生的电流和电压，等于各个独立源单独作用时所产生的电流和电压的叠加，这就是叠加定理。如果把独立源作为输入（激励），电压和电流作为输出（响应），叠加定理也可以表述为，线性电路的输出和输入之间关系满足叠加性，或者说线性电路的响应与激励之间关系满足叠加性。通过这样层层递进的定义和数学推导，就可以避免电路理论表述中长期存在的循环定义，以及对叠加定理与叠加性的概念不加区分的问题，使每个概念、及概念之间的关系更加清晰，便于理解、掌握和使用。参考文献：[1]李翰荪.电路分析：上册[M].北京：中央广播电视大学出版社，1986:138.[2]杨小平.电工与电路基