高中数学-直线与圆学案文

PAGE2PAGE1A第十二单元直线与圆教材复习课“直线与圆”相关基础知识一课过直线的方程[过双基]1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为eq\a\vs4\al(0)；③范围：直线l的倾斜角的取值范围是[0，π)．(2)直线的斜率①定义：当直线l的倾斜角α≠eq\f(π,2)时，其倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线eq\a\vs4\al([小题速通])1．已知A(m，－2)，B(3,0)，若直线AB的斜率为2，则m的值为()A．－1 B．2C．－1或2 D．－2解析：选B由直线AB的斜率k＝eq\f(－2－0,m－3)＝2，解得m＝2.2．若经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是()A．(5,8) B．(8，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)，8)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(13,2)))解析：选D由题意知eq\f(8－m,m－5)>1，即eq\f(2m－13,m－5)<0，∴5<m<eq\f(13,2).3．过点C(2，－1)且与直线x＋y－3＝0垂直的直线是()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋1＝0C．x－y－3＝0 D．x－y－1＝0解析：选C设所求直线斜率为k，∵直线x＋y－3＝0的斜率为－1，且所求直线与直线x＋y－3＝0垂直，∴k＝1.又∵直线过点C(2，－1)，∴所求直线方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1解析：选D由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2.当y＝0时，x＝eq\f(a＋2,a).∴eq\f(a＋2,a)＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.5．经过点(－4,1)，且倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的eq\f(1,3)的直线方程为________．解析：由题意可知，所求直线方程的倾斜角为45°，即斜率k＝1，故所求直线方程为y－1＝x＋4，即x－y＋5＝0.答案：x－y＋5＝0[清易错]1．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．2．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．1．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________．解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点到直线的距离公式，得eq\f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq\f(3,4).故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝02．经过点A(1,1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．解析：当直线过原点时，方程为y＝x，即x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，把点(1,1)代入直线方程可得a＝2，故直线方程为x＋y－2＝0.综上可得所求的直线方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.答案：x－y＝0或x＋y－2＝0圆的方程[过双基]1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b)，半径：eq\a\vs4\al(r)一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径：eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.eq\a\vs4\al([小题速通])1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()A．(－∞，－2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))C．(－2,0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))解析：选D由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，解得－2<a<eq\f(2,3).2．(2018·天津模拟)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是()A．(－1,1) B．(－eq\r(3)，eq\r(3))C．(－eq\r(2)，eq\r(2)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))解析：选C因为(0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则有(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－eq\r(2)<m<eq\r(2).3．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：选D圆的半径r＝eq\r(1－02＋1－02)＝eq\r(2)，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4．若圆C的圆心在x轴上，且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________________．解析：设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即eq\r(a＋12＋1)＝eq\r(a－12＋9)，解得a＝2，所以圆心为C(2,0)，半径|CA|＝eq\r(2＋12＋1)＝eq\r(10)，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案：(x－2)2＋y2＝10两条直线的位置关系[过双基]1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3．距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))eq\a\vs4\al([小题速通])1．已知直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝()A．－7或－1 B．－7C．7或1 D．－1解析：选B由题意可得a≠－5，所以eq\f(3＋a,2)＝eq\f(4,5＋a)≠eq\f(5－3a,8)，解得a＝－7(a＝－1舍去)．2．圆x2＋y2－6x－2y＋3＝0的圆心到直线x＋ay－1＝0的距离为1，则a＝()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C.eq\r(3) D．2解析：选B圆x2＋y2－6x－2y＋3＝0可化为(x－3)2＋(y－1)2＝7，其圆心(3,1)到直线x＋ay－1＝0的距离d＝eq\f(|2＋a|,\r(1＋a2))＝1，解得a＝－eq\f(3,4).3．已知直线l1：(m＋2)x－y＋5＝0与l2：(m＋3)x＋(18＋m)y＋2＝0垂直，则实数m的值为()A．2或4 B．1或4C．1或2 D．－6或2解析：选D当m＝－18时，两条直线不垂直，舍去；当m≠－18时，由l1⊥l2，可得(m＋2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m＋3,18＋m)))＝－1，化简得(m＋6)(m－2)＝0，解得m＝－6或2.4．若两条平行直线4x＋3y－6＝0和4x＋3y＋a＝0之间的距离等于2，则实数a＝________.解析：∵两条平行直线的方程为4x＋3y－6＝0和4x＋3y＋a＝0，∴由平行线间的距离公式可得2＝eq\f(|－6－a|,\r(42＋32))，即|－6－a|＝10，解得a＝4或－16.答案：4或－16[清易错]1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．1．已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，直线l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A法一：(1)当直线l1的斜率不存在，即a＝2时，有l1：x－2＝0，l2：2y－1＝0，此时符合l1⊥l2.(2)当直线l1的斜率存在，即a≠2时，直线l1的斜率k1＝－eq\f(1,a－2)≠0，若l1⊥l2，则必有直线l2的斜率k2＝－eq\f(a－2,a)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a－2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a－2,a)))＝－1，解得a＝－1.综上所述，l1⊥l2⇔a＝－1或a＝2.故“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．法二：l1⊥l2⇔1×(a－2)＋(a－2)×a＝0，解得a＝－1或a＝2.所以“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.eq\f(9,5) B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10) D.eq\f(29,5)解析：选C因为eq\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,5)，所以两直线平行．由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq\f(29,10).直线与圆的位置关系[过双基]直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δeq\a\vs4\al(＜)0Δ＝0Δeq\a\vs4\al(＞)0几何观点d＞rdeq\a\vs4\al(＝)rd＜req\a\vs4\al([小题速通])1．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是()A．相切 B．相交C．相离 D．随a的变化而变化解析：选B因为直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆x2＋y2－2x－3＝0的内部，故直线与圆相交．2．(2018·大连模拟)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)解析：选D因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|c|,\r(2)|c|)＝eq\f(\r(2),2)，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，所以弦长为eq\r(2).3．已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，则圆心C的坐标为______；若直线y＝kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k的值为________．解析：圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由eq\f(|3k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝±eq\f(\r(2),4)，由切点在第四象限，可得k＝－eq\f(\r(2),4).答案：(3,0)－eq\f(\r(2),4)圆与圆的位置关系[过双基]圆与圆的位置关系(两圆半径r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|eq\a\vs4\al([小题速通])1．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.答案：±2eq\r(5)或02．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＋4y－12＝0，))得x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).由勾股定理得弦长的一半为eq\r(4－2)＝eq\r(2)，所以所求弦长为2eq\r(2).答案：2eq\r(2)一、选择题1．直线eq\r(3)x＋y－3＝0的倾斜角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)解析：选C∵直线eq\r(3)x＋y－3＝0可化为y＝－eq\r(3)x＋3，∴直线的斜率为－eq\r(3)，设倾斜角为α，则tanα＝－eq\r(3)，又∵0≤α<π，∴α＝eq\f(2π,3).2.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则必有()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2解析：选D由图可知k1＜0，k2＞0，k3＞0，且k2＞k3，所以k1＜k3＜k2.3．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：选B由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.4．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0解析：选A设过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点的直线方程为2x－y＋4＋λ(x－y＋5)＝0，即(2＋λ)x－(1＋λ)y＋4＋5λ＝0，∵该直线与直线x－2y＝0垂直，∴k＝eq\f(2＋λ,1＋λ)＝－2，解得λ＝－eq\f(4,3).∴所求的直线方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(4,3)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,3)))y＋4＋5×－eq\f(4,3)＝0，即2x＋y－8＝0.5．已知直线l1：x＋2y＋t2＝0和直线l2：2x＋4y＋2t－3＝0，则当l1与l2间的距离最短时t的值为()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．2解析：选B∵直线l2：2x＋4y＋2t－3＝0，即x＋2y＋eq\f(2t－3,2)＝0.∴l1∥l2，∴l1与l2间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t2－\f(2t－3,2))),\r(12＋22))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋\f(5,4),\r(5))≥eq\f(\r(5),4)，当且仅当t＝eq\f(1,2)时取等号．∴当l1与l2间的距离最短时t的值为eq\f(1,2).6．已知直线l1：(a＋3)x＋y－4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B∵直线l1：(a＋3)x＋y－4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，∴a＋3＋a－1＝0，解得a＝－1，∴直线l1：2x＋y－4＝0，∴直线l1在x轴上的截距是2.7．一条光线从Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))处射到点B(0,1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为()A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．x－2y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0解析：选B由题意可得点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))关于y轴的对称点A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))在反射光线所在的直线上，又点B(0,1)也在反射光线所在的直线上，则两点式求得反射光线所在的直线方程为eq\f(y－1,0－1)＝eq\f(x－0,\f(1,2)－0)，即2x＋y－1＝0.8．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－3))2＋(y－1)2＝1解析：选A由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)(a>0)，又由圆与直线4x－3y＝0相切可得eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.二、填空题9．已知直线l过点A(0,2)和B(－eq\r(3)，3m2＋12m＋13)(m∈R)，则直线l的倾斜角的取值范围为________．解析：设此直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，则tanθ＝eq\f(3m2＋12m＋13－2,－\r(3)－0)＝－eq\r(3)(m＋2)2＋eq\f(\r(3),3)≤eq\f(\r(3),3).因为θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))10．已知点A(－1，－2)，B(2,3)，若直线l：x＋y－c＝0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围为__________．解析：如图，把A(－1，－2)，B(2,3)分别代入直线l：x＋y－c＝0，得c的值分别为－3,5.故若直线l：x＋y－c＝0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围为[－3,5]．答案：[－3,5]11．已知直线x＋y－3m＝0与2x－y＋2m－1＝0的交点在第四象限，则实数m的取值范围为________．解析：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3m＝0，,2x－y＋2m－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(m＋1,3)，,y＝\f(8m－1,3).))∵两直线的交点在第四象限，∴eq\f(m＋1,3)>0，且eq\f(8m－1,3)<0，解得－1<m<eq\f(1,8)，∴实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,8))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,8)))12．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧eq\x\to(AB)的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是______________．解析：因为圆C与两坐标轴相切，且M是劣弧eq\x\to(AB)的中点，所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为eq\r(2)，所以|OM|＝eq\r(2)－1，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－1，1－\f(\r(2),2)))，所以切线方程为y－1＋eq\f(\r(2),2)＝x－eq\f(\r(2),2)＋1，整理得x－y＋2－eq\r(2)＝0.答案：x－y＋2－eq\r(2)＝0三、解答题13．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－2,－2－2)，即x＋2y－4＝0.(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x＝eq\f(2－2,2)＝0，y＝eq\f(1＋3,2)＝2.BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为eq\f(x,－3)＋eq\f(y,2)＝1，即2x－3y＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－eq\f(1,2)，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.14．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4)，|PC|＝2，设P(a,2a)，则eq\r(a2＋2a－42)＝2，解得a＝2或a＝eq\f(6,5)，所以点P的坐标为(2,4)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(12,5))).(2)证明：设P(b,2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4y＝0，,x＋2y－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(16,5)，))所以该圆必经过定点(0,4)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(16,5))).高考研究课(一)直线方程命题4角度——求方程、判位置、定距离、用对称[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度直线方程5年2考多与圆、抛物线结合考查两直线位置关系未考查点到直线的距离5年3考多与圆结合考查对称问题未考查直线方程的求法[典例](1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的eq\f(1,3)的直线方程．(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．[解](1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×eq\f(1,3)＝－eq\f(4,3).又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－eq\f(4,3)(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－eq\f(1,2)，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－eq\f(2,5)，所以直线方程为y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.[方法技巧]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时演练]1．若直线l过点A(3,4)，且点B(－3,2)到直线l的距离最远，则直线l的方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0解析：选D当l⊥AB时满足条件．∵kAB＝eq\f(2－4,－3－3)＝eq\f(1,3)，则kl＝－3.∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.2．已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程为____________．解析：设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2·eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝0两直线的位置关系[典例](1)若直线l1：(m＋3)x＋4y＋3m－5＝0与l2：2x＋(m＋5)y－8＝0平行，则m的值为()A．－7 B．－1或－7C．－6 D．－6或－7(2)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2017,2)π－2α))的值为()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．1 D．－eq\f(1,2)[解析](1)直线l1的斜率一定存在，因为l2：2x＋(m＋5)y－8＝0，当m＝－5时，l2的斜率不存在，两直线不平行．当m≠－5时，由l1∥l2，得(m＋3)(m＋5)－2×4＝0，解得m＝－1或－7.当m＝－1时，两直线重合，故不满足条件；经检验，m＝－7满足条件，故选A.(2)由已知得tanα＝2，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2017,2)π－2α))＝sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(4,5).[答案](1)A(2)A[方法技巧]由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)[提醒]在判断两直线位置关系时，比例式eq\f(A1,A2)与eq\f(B1,B2)，eq\f(C1,C2)的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．[即时演练]1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0解析：选A依题意，设所求的直线方程为x－2y＋a＝0，由点(1,0)在所求直线上，得1＋a＝0，即a＝－1，则所求的直线方程为x－2y－1＝0.2．若直线l经过点P(1,2)，且垂直于直线2x＋y－1＝0，则直线l的方程是______________．解析：设垂直于直线2x＋y－1＝0的直线l的方程为x－2y＋c＝0，∵直线l经过点P(1,2)，∴1－4＋c＝0，解得c＝3，∴直线l的方程是x－2y＋3＝0.答案：x－2y＋3＝0距离问题[典例](1)过直线x－eq\r(3)y＋1＝0与eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0的交点，且与原点的距离等于1的直线有()A．0条 B．1条C．2条 D．3条(2)直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．[解析](1)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)y＋1＝0，,\r(3)x＋y－\r(3)＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(\r(3),2).))由于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝1，则所求直线只有1条．[答案]B(2)当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x＝2，点A到直线l的距离为d1＝1，点B到直线l的距离为d2＝3，不符合题意，故直线l的斜率必存在．∵直线l过点P(2，－5)，∴设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)．即kx－y－2k－5＝0.∴点A(3，－2)到直线l的距离d1＝eq\f(|3k－－2－2k－5|,\r(k2＋1))＝eq\f(|k－3|,\r(k2＋1))，点B(－1,6)到直线l的距离d2＝eq\f(|－k－6－2k－5|,\r(k2＋1))＝eq\f(|3k＋11|,\r(k2＋1)).∵d1∶d2＝1∶2，∴eq\f(|k－3|,|3k＋11|)＝eq\f(1,2)，∴k2＋18k＋17＝0，∴k1＝－1，k2＝－17.∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.[方法技巧]求解距离问题的注意点解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．[即时演练]1．已知点A(a,2)到直线l：x－y＋3＝0距离为eq\r(2)，则a等于()A．1 B．±1C．－3 D．1或－3解析：选D∵点A(a,2)到直线l：x－y＋3＝0距离为eq\r(2)，∴eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝eq\r(2)，∴a＋1＝±2.解得a＝1或－3.2．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为__________．解析：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－eq\f(1,3).∴直线l的方程为y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．答案：x＝－1或x＋3y－5＝0对称问题对称问题是高考常考内容之一，也是考查转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称；(4)对称问题的应用．角度一：点关于点对称1．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(10,a)))，则线段AB的长为()A．11 B．10C．9 D．8解析：选B依题意a＝2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(－2y，y)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,2x＋y＝10，))得A(4,8)，B(－4,2)，所以|AB|＝eq\r(4＋42＋8－22)＝10.[方法技巧]点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))角度二：点关于线的对称问题2．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝()A.eq\f(34,5) B.eq\f(36,5)C.eq\f(28,3) D.eq\f(32,3)解析：选A由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq\f(34,5)[方法技巧]解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直．角度三：线关于线对称问题3．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(2)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．解：(1)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点为M′(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1.))解得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设直线m与直线l的交点为N，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(2)在直线l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上．易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.[方法技巧]若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上．角度四：对称问题的应用4．已知有条光线从点A(－2,1)出发射向x轴上的B点，经过x轴反射后射向y轴上的C点，再经过y轴反射后到达点D(－2，7)．(1)求直线BC的方程；(2)求光线从A点到达D点所经过的路程．解：作出草图，如图所示，(1)∵A(－2,1),∴点A关于x轴的对称点A′(－2，－1),∵D(－2,7),∴点D关于y轴的对称点D′(2,7).由对称性可得，A′，D′所在直线方程即为BC所在直线方程，由两点式得直线BC的方程为eq\f(y－7,－1－7)＝eq\f(x－2,－2－2)，整理得2x－y＋3＝0.(2)由图可得，光线从A点到达D点所经过的路程即为|A′D′|＝eq\r(－2－22＋－1－72)＝4eq\r(5).[方法技巧]解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．1．(2013·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)或y＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)C．y＝eq\r(3)(x－1)或y＝－eq\r(3)(x－1)D．y＝eq\f(\r(2),2)(x－1)或y＝－eq\f(\r(2),2)(x－1)解析：选C法一：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由BB1∥AA1可知eq\f(|BB1|,|AA1|)＝eq\f(|MB|,|MA|)，即eq\f(m,3m)＝eq\f(|MB|,|MB|＋4m)，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，结合选项知选C项．法二：由|AF|＝3|BF|可知eq\o(AF,\s\up7(→))＝3eq\o(FB,\s\up7(→))，易知F(1,0)，设B(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－xA＝3x0－1，,－yA＝3y0，))从而可解得A的坐标为(4－3x0，－3y0)．因为点A，B都在抛物线上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,0)＝4x0，,－3y02＝44－3x0，))解得x0＝eq\f(1,3)，y0＝±eq\f(2,\r(3))，所以kl＝eq\f(y0－0,x0－1)＝±eq\r(3).2．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))解析：选B由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y＝ax＋b))消去x，得y＝eq\f(a＋b,a＋1)，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)，0))，结合图形知eq\f(1,2)×eq\f(a＋b,a＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))＝eq\f(1,2)，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝eq\f(b2,1－2b).∵a＞0，∴eq\f(b2,1－2b)＞0，解得b＜eq\f(1,2).考虑极限位置，即a＝0，此时易得b＝1－eq\f(\r(2),2)，故选B.一、选择题1．如果AB＞0，BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0不经过的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选C由AB＞0，BC＜0，可得直线Ax＋By＋C＝0的斜率为－eq\f(A,B)＜0，直线在y轴上的截距－eq\f(C,B)＞0,故直线不经过第三象限．2．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))解析：选B直线xsinα＋y＋2＝0的斜率为k＝－sinα，∵－1≤sinα≤1,∴－1≤k≤1,∴直线倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).3．已知点M是直线x＋eq\r(3)y＝2上的一个动点，且点P(eq\r(3)，－1)，则|PM|的最小值为()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．3解析：选B|PM|的最小值即点P(eq\r(3)，－1)到直线x＋eq\r(3)y＝2的距离，又eq\f(|\r(3)－\r(3)－2|,\r(1＋3))＝1，故|PM|的最小值为1.4．(2018·郑州质量预测)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B∵ax＋y＋1＝0与(a＋2)x－3y－2＝0垂直，∴a(a＋2)－3＝0，解得a＝1或a＝－3.∴“a＝1”是两直线垂直的充分不必要条件．5．已知点A(1，－2)，B(m,2)，若线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值为()A．－2 B．－7C．3 D．1解析：选C∵A(1，－2)和B(m,2)的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋m,2)，0))在直线x＋2y－2＝0上，∴eq\f(1＋m,2)＋2×0－2＝0，∴m＝3.6．已知直线l过点P(1,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，则当△AOB的面积取得最小值时，直线l的方程为()A．2x＋y－4＝0 B．x－2y＋3＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋1＝0解析：选A由题可知，直线l的斜率k存在，且k<0，则直线l的方程为y－2＝k(x－1)．∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,k)，0))，B(0,2－k)，∴S△OAB＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,k)))(2－k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－k＋\f(4,－k)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋2\r(－k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,－k))))))＝4，当且仅当k＝－2时取等号．∴直线l的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.7．(2018·豫南九校质量考评)若直线x＋ay－2＝0与以A(3,1)，B(1,2)为端点的线段没有公共点，则实数a的取值范围是()A．(－2,1)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))D．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：选D直线x＋ay－2＝0过定点C(2,0)，直线CB的斜率kCB＝－2，直线CA的斜率kCA＝1，所以由题意可得a≠0且－2<－eq\f(1,a)<1，解得a<－1或a>eq\f(1,2).8．已知P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示()A．过点P且与l垂直的直线B．过点P且与l平行的直线C．不过点P且与l垂直的直线D．不过点P且与l平行的直线解析：选D因为P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，所以Ax0＋By0＋C＝k，k≠0.若方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0，则Ax＋By＋C＋k＝0.因为直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l斜率相等，但在y轴上的截距不相等，故直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l平行．因为Ax0＋By0＋C＝k，且k≠0，所以Ax0＋By0＋C＋k≠0，所以直线Ax＋By＋C＋k＝0不过点P，故选D.二、填空题9．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得eq\f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝－eq\f(1,3)或－eq\f(7,9).答案：－eq\f(1,3)或－eq\f(7,9)10．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________________．解析：由平行关系设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0,令x＝0，可得y＝－eq\f(c,3)；令y＝0，可得x＝－eq\f(c,2)，∴－eq\f(c,2)－eq\f(c,3)＝6，解得c＝－eq\f(36,5)，∴所求直线方程为2x＋3y－eq\f(36,5)＝0,化为一般式可得10x＋15y－36＝0.答案：10x＋15y－36＝011．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________．解析：直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋eq\f(1,2)＝0，∴直线l1与l2的距离为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋7)),\r(32＋42))＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)12．在平面直角坐标系中，已知点P(－2,2)，对于任意不全为零的实数a，b，直线l：a(x－1)＋b(y＋2)＝0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是____________．解析：由题意，直线过定点Q(1，－2)，PQ⊥l时，d取得最大值eq\r(1＋22＋－2－22)＝5,直线l过点P时，d取得最小值0,所以d的取值范围[0,5]．答案：[0,5]三、解答题13．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋5－2m＝0(m∈R)．(1)求方程表示一条直线的条件；(2)当m为何值时，方程表示的直线与x轴垂直；(3)若方程表示的直线在两坐标轴上的截距相等，求实数m的值．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3＝0，,2m2＋m－1＝0，))解得m＝－1，∵方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋5－2m＝0(m∈R)表示直线，∴m2－2m－3,2m2＋m－1不同时为0，∴m≠－1.故方程表示一条直线的条件为m≠－1.(2)∵方程表示的直线与x轴垂直，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3≠0，,2m2＋m－1＝0，))解得m＝eq\f(1,2).(3)当5－2m＝0，即m＝eq\f(5,2)时，直线过原点，在两坐标轴上的截距均为0；当m≠eq\f(5,2)时，由eq\f(2m－5,m2－2m－3)＝eq\f(2m－5,2m2＋m－1)，解得m＝－2.故实数m的值为eq\f(5,2)或－2.14．已知直线m：2x－y－3＝0与直线n：x＋y－3＝0的交点为P.(1)若直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，求直线l的方程；(2)若直线l1过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，△ABO的面积为4，求直线l1的方程．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－3＝0，,x＋y－3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))即交点P(2,1)．由直线l与A，B的距离相等可知，l∥AB或l过AB的中点．①由l∥AB，得kl＝kAB＝eq\f(2－3,3－1)＝－eq\f(1,2)，所以直线l的方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0，②由l过AB的中点得l的方程为x＝2，故x＋2y－4＝0或x＝2为所求．(2)法一：由题可知，直线l1的斜率k存在，且k＜0.则直线l1的方程为y＝k(x－2)＋1＝kx－2k＋1.令x＝0，得y＝1－2k＞0，令y＝0，得x＝eq\f(2k－1,k)>0，∴S△ABO＝eq\f(1,2)×(1－2k)×eq\f(2k－1,k)＝4，解得k＝－eq\f(1,2)，故直线l1的方程为y＝－eq\f(1,2)x＋2，即x＋2y－4＝0.法二：由题可知，直线l1的横、纵截距a，b存在，且a＞0，b＞0，则l1：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.又l1过点(2,1)，△ABO的面积为4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，,\f(1,2)ab＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2，))故直线l1的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.1．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)(点P与点A，B不重合)，则△PAB的面积最大值是()A．2eq\r(5) B．5C.eq\f(5,2) D.eq\r(5)解析：选C由题意可知，动直线x＋my＝0过定点A(0,0)．动直线mx－y－m＋3＝0⇒m(x－1)＋3－y＝0，因此直线过定点B(1,3)．当m＝0时，两条直线分别为x＝0，y＝3，交点P(0,3)，S△PAB＝eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2).当m≠0时，两条直线的斜率分别为－eq\f(1,m)，m，则－eq\f(1,m)·m＝－1，因此两条直线相互垂直．当|PA|＝|PB|时，△PAB的面积取得最大值．由eq\r(2)|PA|＝|AB|＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，解得|PA|＝eq\r(5).∴S△PAB＝eq\f(1,2)|PA|2＝eq\f(5,2).综上可得，△PAB的面积最大值是eq\f(5,2).2．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4) B．(－2，－4)C．(2,4) D．(2，－4)解析：选C设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2))，即(4，－2)．∴直线BC所在方程为y－1＝eq\f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－10＝0，,y＝2x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))可得C(2,4)．3．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．∵kAC＝eq\f(6－2,3－1)＝2，∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.①又∵kBD＝eq\f(5－－1,1－7)＝－1，∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋y－6＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))即M(2,4)．答案：(2,4)高考研究课(二)圆的方程命题3角度——求方程、算最值、定轨迹[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度圆的方程5年4考求圆的方程及先求圆的方程再考查应用与圆有关的最值问题5年1考求范围与圆有关的轨迹问题未考查圆的方程圆的方程的求法，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法：1几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.2代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.[典例]求经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程．[解]法一：用“几何法”解题由题意知kAB＝2，AB的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b)，∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－4)＝－\f(1,2)，,2a－b－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))∴C(2,1)，∴r＝|CA|＝eq\r(5－22＋2－12)＝eq\r(10).∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.法二：用“代数法”解题设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b－3＝0，,5－a2＋2－b2＝r2，,3－a2＋－2－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,r＝\r(10)，))故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.法三：用“代数法”解题设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25＋4＋5D＋2E＋F＝0，,9＋4＋3D－2E＋F＝0，,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋\f(E,2)－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－2，,F＝－5，))∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.[方法技巧]求圆的方程的方法(1)方程选择原则若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程．(2)求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是代数法，大致步骤如下：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．[即时演练]根据下列条件，求圆的方程．(1)已知圆心为C的圆经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上；(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．解：(1)法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－62－6E＋F＝0，,12＋－52＋D－5E＋F＝0，,D－E－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝6，,E＝4，,F＝－12，))所以圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0.法二：因为A(0，－6)，B(1，－5)，所以线段AB的中点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(11,2)))，直线AB的斜率kAB＝eq\f(－5－－6,1－0)＝1，因此线段AB的垂直平分线的方程是y＋eq\f(11,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即x＋y＋5＝0.则圆心C的坐标是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋5＝0，,x－y＋1＝0))的解，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2，))所以圆心C的坐标是(－3，－2)．圆的半径长r＝|AC|＝eq\r(0＋32＋－6＋22)＝5，所以圆的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.(2)法一：如图，设圆心坐标为(x0，－4x0)，依题意得eq\f(－2－－4x0,3－x0)＝1，∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝eq\r(1－32＋－4＋22)＝2eq\r(2)，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二：设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，根据已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝－4x0，,3－x02＋－2－y02＝r2，,\f(|x0＋y0－1|,\r(2))＝r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝－4，,r＝2\r(2).))因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题；(4)距离和(差)的最值问题；(5)三角形的面积的最值问题．角度一：斜率型最值问题1．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求eq\f(y,x)的最大值和最小值．解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆．eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y－x的最大值和最小值．解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6).所以y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6).角度三：距离型最值问题3．设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为()A．6 B．25C．26 D．36解析：选D(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方，又点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d＝eq\r(5－22＋－42)＝5，则点P(x，y)到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.角度四：距离和(差)的最值问题4．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5eq\r(2)－4B.eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2) D.eq\r(17)解析：选A圆心C1(2,3)，C2(3,4)，作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2与x轴交于点P，此时|PM|＋|PN|取得最小值，为|C1′C2|－1－3＝5eq\r(2)－4.角度五：三角形的面积的最值问题5．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是()A．2，eq\f(1,2)(4－eq\r(5)) B.eq\f(1,2)(4＋eq\r(5))，eq\f(1,2)(4－eq\r(5))C.eq\r(5)，4－eq\r(5) D.eq\f(1,2)(eq\r(5)＋2)，eq\f(1,2)(eq\r(5)－2)解析：选B直线AB的方程为eq\f(x,－1)＋eq\f(y,2)＝1，即2x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离d＝eq\f(2＋2,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，则点P到直线AB的距离最大值为eq\f(4\r(5),5)＋1，最小值为eq\f(4\r(5),5)－1，又|AB|＝eq\r(5)，则(S△PAB)max＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),5)＋1))＝eq\f(1,2)(4＋eq\r(5))，(S△PAB)min＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),5)－1))＝eq\f(1,2)(4－eq\r(5))，故选B.[方法技巧]求解与圆有关的最值问题的2大规律(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用基本不等式法、参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．与圆有关的轨迹问题[典例]已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解](1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋