2022年春浙教版九年级数学中考复习《手拉手模型综合压轴题》专题突破训练(附答案)

2022年春浙教版九年级数学中考复习《手拉手模型综合压轴题》专题突破训练(附答案)如图，四边形ABCD是正方形，AECF为等腰直角三角形，/ECF=90。，点E在BC上，点F在CD上,N为EF的中点，连接NA,以NA，NF为邻边作-ANFG，连接DG，DN,将RtAECF绕点C顺时针旋转，旋转角为a(0°WaW360°).如图1,当a=0°时，DG与DN的关系为.如图2,当0°VaV45。时，(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.在RtAECF的旋转过程中，当ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB=12,EC=5匚龙时，连接GN,请直接写出GN的长.團1團1團2备用囹如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=a(0°<a<180°),过点A作射线AM交射线BC于点D,将AM绕点A逆时针旋转a得到AN,过点C作CF^AM交直线AN于点F,在AM上取点E,使ZAEB=ZACB.当AM与线段BC相交时,如图1,当a=60。时，线段AE,CE和CF之间的数量关系为如图2,当a=90。时，写出线段AE,CE和CF之间的数量关系，并说明理由.4当tana=^,AB=5时，若ACDE是直角三角形，直接写出AF的长.B备用團

B备用團在ABCD中，/BAD=a,DE平分ZADC,交对角线AC于点G,交射线AB于点E,将线段EB绕点E顺时针旋转*a得线段EP.如图1,当a=120°时，连接AP,请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；如图2,当a=90。时，过点B作BF丄EP于点F,连接AF,请写出线段AF,AB,AD之间的数量关系，并说明理由;当a=120°时，连接AP,若BE=*AB,请直接写出AAPE与ACDG面积的比值.如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF,以CF为对角线作正方形CGFE(C,G,F,E按逆时针排列)，连接BE,DG.当点F在线段AD上时.求证：BE=DG；求证：CD-FD=；2BE；设正方形ABCD的面积为％,正方形CGFE的面积为S2,以C,G,D,F为顶点13S3的四边形的面积为S3,当时，请直接写出石兰的值.Jp5-已知△阿和皿0"都是等腰直角三角形pAWON),ZAOB=ZMON=90°•AA(1)如图AA(1)如图1：连AM,BN,求证：△AOM^KBON；0B普用图(2)若将AMON绕点O顺时针旋转,如图2,当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2=2ON2；当点A,M,N在同一条直线上时，若OB=4,ON=3,请直接写出线段BN的长.在AABC中，AB=AC,ZBAC=a,点P为线段CA延长线上一动点，连接PB,将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为a,得到线段PD,连接DB,DC.如图1,当a=60。时，求证：PA=DC；求/DCP的度数；如图2,当a=120°时，请直接写出PA和DC的数量关系.图2图1CP的距离为.备用图图2图1CP的距离为.备用图已知：菱形ABCD和菱形A'B'CD',ZBAD=ZB‘A'D',起始位置点A在边A'B'上，点B在A'B'所在直线上，点B在点A的右侧，点B'在点A'的右侧，连接AC和A'C',将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转a角(0°VaV180°).如图1，若点A与A'重合，且ZBAD=ZB'A'D'=90°,求证:BB'=DD'.若点A与A'不重合，M是A'C'上一点，当MA'=MA时，连接BM和A'C，BM和A'C所在直线相交于点P.如图2,当ZBAD=ZB'A'D'=90。时，请猜想线段BM和线段A'C的数量关系及ZBPC的度数.如图3,当ZBAD=ZB'A'D'=60。时，请求出线段BM和线段A'C的数量关系及ZBPC的度数.在②的条件下，若点A与A'B'的中点重合，A'B'=4,AB=2,在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长.D'CDD'CDrC'因1團2E3如图，射线AB和射线CB相交于点B,ZABC=a(0°<a<180°),且AB=CB.点D是射线CB上的动点(点D不与点C和点B重合)，作射线AD,并在射线AD上取一点E,使ZAEC=a,连接CE,BE.如图①，当点D在线段CB上,a=90。时，请直接写出ZAEB的度数；如图②，当点D在线段CB上,a=120°时，请写出线段AE,BE,CE之间的数量关系，并说明理由；1CE当a=120°,tanZDAB=£时，请直接写岀的值.3BE團①C备用團

團①C备用團如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC=BC,ZACB=ZADB=90°.如图1,若延长DA到点E,使AE=BD，连接CD,CE.求证：CD=CE，CD丄CE；求证：AD+BD=一2CD；在RtAABC中，ZACB=90°,D是△ABC内一点，连接AD，BD,在BD左侧作Rt△BDE,使ZBDE=90°，以AD和DE为邻边作ADEF，连接CD,DF.(1)若AC=BC,BD=DE.如图1,当B,D,F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为.如图2,当B,D,F三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由.若BC=2AC,BD=2DE,■，且E,C,F三点共线，求琴的值.乩5L.E已知：在△ABC中，ZACB=90°，点D是AC边上一点，连接BD,点E是线段BD延长线上一点，连接AE,CE,使/CAE=/CBE，过点C作CF丄CE,交BD于点F.①如图1,当ZABC=45。时，线段AE与BF之间的数量关系.②如图2,当ZABC=60。时，线段AE与BF之间的数量关系是.如图3,当ZABC=30°时，线段AE与BF之间具有怎样的数量关系？请说明理由.如图4,当ZABC=a(0°VaV90°)时，直接写出线段AE与BF之间的数量关系.(用含a的式子表示)S102S3團斗菱形ABCD中、ZBAD=120°，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E,将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON,射线ON与直线CD相交于点F.如图①，点O与点A重合时，点E,F分别在线段BC,CD上，请直接写出CE,CF,CA三条段段之间的数量关系;如图②，点O在CA的延长线上，且OA=^AC,E,F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE,CF,CA三条线段之间的数量关系，并说明理由;请直接写出请直接写出BE的长.".△".△ABC中，AB=AC,ZABC=a，过点A作直线MN,使MN//BC,点D在直线MN".△".△ABC中，AB=AC,ZABC=a，过点A作直线MN,使MN//BC,点D在直线MN1313.在△ABC和AADE中，BA=BC,DA=DE.且ZABC=ZADE=a，点E在△ABC的内部，连接EC,EB和BD,并且ZACE+ZABE=90°.如图①，当a=60。时，线段BD与CE的数量关系为，线段EA,EB,EC的数量关系为;如图②，当a=90。时，请写出线段EA,EB,EC的数量关系，并说明理由；在(2)的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=2沅，请直接写出ABDE的面积.图①图②管用图图①图②管用图14.在△ABC中，AB=BC,点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系；如图2,当ZABC=90。时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由若CF-AEI=2,EF=2(2，当APOF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长.S1團2备用團

S1團2备用團上，作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转角a后交直线AC于点E.如图①，当a=60。，且点D在射线AN上时，直接写出线段AB，AD，AE的数量关系.如图②，当a=45°，且点D在射线AN上时，直写出线段AB.AD.AE的数量关系，并说明理由.当a=30。时，若点D在射线AM上，ZABE=15°,AD=lg-l,请直接写出线段AE的长度.已知：△ABC和AADE按如图所示方式放置，点D在△ABC内，连接BD、CD和CE,且ZDCE=且ZDCE=90°.如图①，当△ABC和AADE均为等边三角形时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；如图②，当BA=BC=2AC,DA=DE=2AE时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；如图③，当AB：BC：AC=AD：DE：AE=m：n：p时，请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系.如图，OF是上MON的平分线，点A在射线OM上，P,Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON于点B、点C,连接AB、PB.如图1,当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；如图2,当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；如图3，ZMON=60。，连接AP，设益厂k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由.18.已知：△ABC和AADE均为等边三角形，连接BE，CD,点F，G，H分别为DE，BE，CD中点.当AADE绕点A旋转时，如图1,则AFGH的形状为，说明理由；在AADE旋转的过程中，当B,D,E三点共线时，如图2,若AB=3,AD=2,求线段FH的长；在AADE旋转的过程中，若AB=a,AD=b(a>b>0),则AFGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由.EB备用團

EB备用團如图，在RtAABC中，ZACB=90°,ZA=30。，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP,将线段OP绕点P顺时针旋转60°,得到线段PQ，连接BQ.（1）如图1,当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系.（2）如图2,当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明;若不成立，请说明理由;（3）如图3,当点P在BC延长线上时，若ZBPO=15°,BP=4,请求出BQ的长GPB匿11圉GPB匿11圉2图?如图1,在Rt如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点D、E分别在AC、BC边上，DC=EC,连接DE、AE、BD,点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、薈用圍MN.4DBE与MN的数量关系是.(1薈用圍MN.4DBE与MN的数量关系是.(1)(2)将ADEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立,(2)如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由;（3）若CB=6,CE=2，在将图1中的ADEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，MN的长度为.

已知在菱形ABCD中，ZABC=60°，对角线AC、BD相交于点O,点E是线段BD上一动点(不与点B,D重合)，连接AE,以AE为边在AE的右侧作菱形AEFG,且/AEF=60°.如图1,若点F落在线段BD上，请判断：线段EF与线段DF的数量关系是如图2,若点F不在线段BD上，其它条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；若点C,E,G三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出线段BE与线段BD的数量关系.备用图图？备用图图？如图，在△ABC中，BC>AC,点E在BC上,CE=CA,点D在AB上，连接DE,ZACB+ZADE=180°，作CH丄AB,垂足为H.如图a,当ZACB=90。时，连接CD,过点C作CF丄CD交BA的延长线于点F.求证：FA=DE；请猜想三条线段DE,AD,CH之间的数量关系，直接写出结论；如图b当ZACB=120°时，三条线段DE,AD,CH之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论.

如图①，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点E在AC上(且不与点A,C重合)，在AABC的外部作ACED,使ZCED=90°,DE=CE,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.请直接写出线段AF,AE的数量关系；将ACED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE,请判断线段AF,AE的数量关系，并证明你的结论；在图②的基础上，将ACED绕点C继续逆时针旋转，请判断(2)问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由.图①图①如图①，△ABC与ACDE是等腰直角三角形，直角边AC.CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD.猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；现将图①中的ACDE绕着点C顺时针旋转a(0°VaV90°),得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC,CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明.图②图③图①

图②图③图①已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点(不与点B重合)，连接AD.如图1,当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE,连接CE.求证：BD=CE,BD丄CE.如图2,当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量如图①，ZQPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，ZQPN=a,将ZQPN绕点P旋转，旋转过程中ZQPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和如图①，当a=90。时，DE,DF,AD之间满足的数量关系是；如图②，将图①中的正方形ABCD改为ZADC=120°的菱形，其他条件不变，当a=60。时，(1)中的结论变为DE+DF=Sd，请给出证明；2在(2)的条件下，若旋转过程中ZQPN的边PQ与射线AD交于点E,其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE,DF,AD之间满足的数量关系，直接写出结论,不用加以证明.27•菱形ABCD中，两条对角线AC,BD相交于点O,/MON+/BCD=180°,/MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E,射线ON交边DC于点F,连接EF.如图1,当ZABC=90。时，AOEF的形状；如图2,当ZABC=60。时，请判断AOEF的形状，并说明理由；在(1)的条件下，将zMON的顶点移到AO的中点O'处，ZMOZN绕点O'旋转，仍满足ZMO'N+ZBCD=180°，射线O'M交直线BC于点E,射线O'N交直线CD于点F,当BC=4，且二舟■时，直接写出线段CE的长.〈四边形_ABCDS【问题探究】如图1,锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰AABE和等腰AACD,使AE=AB,AD=AC,ZBAE=ZCAD，连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由.【深入探究】如图2,四边形ABCD中，AB=7cm,BC=3cm,ZABC=ZACD=ZADC=45°,求BD的长.如图3,在(2)的条件下，当AACD在线段AC的左侧时，求BD的长.如图1,在△ABC中，AB=AC,射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为a(0°VaV180°)当ZBAC=60。时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上.若ZCDP=120°,则ZACDZABD(填“>”、“=”、“V”)，线段BD、CD与AD之间的数量关系是;当ZBAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上,若ZCDP=60°，求证：bd-cd=-Sad；将图3中的BP继续旋转，当30°VaV180°时，点D是直线BP上一点(点P不在线段BD上),若ZCDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系(不必证明).参考答案GEE解：(1)如图1中，连接AE,AF,CN.GEEDFCE1•四边形ABCD是正方形，・AB=AD=CB=CD,ZB=ZADF=90°,・CE=CF,.BE=DF,・△ABE^^ADF(SAS),AE=AF,・EN=NF,•ANLEF,CN=NF=EN,・CE=CF,EN=NF,CNLEF,・A,N,C共线，•四边形ANFG是平行四边形，ZANF=90°,•四边形ANFG是矩形，.AG=FN=CN,ZGAN=90°,*ZDCA=ZDAC=45°,ZGAD=ZNCD=45°,・△GAD竺4NCD(SAS),DG=DN,ZADG=ZCDN,ZGDN=ZADC=90°,・DG丄DN,DG=DN.故答案为：DG丄DN,DG=DN；(2)结论成立.理由：如图2中，作直线EF交AD于J,交BC于K连接CN.•・•四边形ANFG是平行四边形，:、AG〃KJ,AG=NF,AZDAG=ZJ,•AJ〃BC,:.ZJ=ZCKE,CE=CF,EN=NF,:.CN=NE=NF=AG,CN丄EF,:.ZECN=ZCEN=45°,:.ZEKC+ZECK=ZECK+ZDCN,:.ZDCN=ZCKE,:.ZGAD=ZDCN,GA=CN,AD=CD,:.△GAD^^NCD(SAS),:.DG=DN,ZADG=ZCDN,:.ZGDN=ZADC=90°,:.DG丄DN,DG=DN；解法二：连接CN并延长与直线AG交于点M,与AD交于点P,02•.•△AMP与ACDP都是直角三角形，:.ZAMP=ZDCP=90°,ZAPM=ZDPC,.•・ZGAD=ZDCP,GA=CN,AD=CD,:.△GAD^^NCD(SAS),.DG=DN,ZADG=ZCDN,:./GDN=/ADC=90°,.DG丄DN,DG=DN；如图3-1中，当点G落在AD上时,團3-1△ECN是等腰直角三角形，EC=5.2,.EN=CN=NF=5,•四边形ANFG是平行四边形，:.AG=NF=5,•AD=CD=12,.•・DG=DN=7,：・GN=T：2.如图3-2中，当点G落在AB上时，同法可证，CN=5,•:△DAG^'DCN,:.AG=CN=5,:.BG=AB-AG=7,BN=BC+CN=17,.•・GN=FB护十却2十1^2=13匚2.综上所述，满足条件的GN的值为7：2或132.解：（1）①结论：AE=CF+CE.理由：如图1中，作CT^AF交AM于T.S1.•AB=AC,ZBAC=60°,.△ABC是等边三角形，•・CA=CB,ZACB=60°,.•AF〃CT,CFIIAT,••四边形AFCT是平行四边形，CF=AT,/ZADC=ZBDE,ZDEB=ZACD,△ACDsABED,•坐=空•ED=ED，•如=匹•更—而，.•ZADB=ZCDE,.•.△ADBsMDE,:.ZABD=ZCED=60°,•・•CT〃AF,:.ZCTE=ZFAE=60°,:.△CTE是等边三角形，；・EC=ET,:.AE=AT+ET=CF+CE.故答案为：AE=CF+CE.②如图2中，结论：EC=PCAE-CF)理由：过点C作CQLAE于Q.:.ZCFA+ZMAN=180°,VZMAN=90°,:.ZCFA=ZFAQ=90°,VZCQA=90°,・•・四边形AFCQ是矩形，:.CF=AQ,•?ZADC=ZBDE,ZDEB=ZACD,.•.△ACDsABED,•坐=型…而—而，•坐=匹・DC—ED，VZADB=ZCDE,:.△ADBs^CDE,

:.ZABD=ZCED=45°,VZCQE=90°,.•・CE=一2EQ,:.AE-CF=AE-AQ=EQ,：.EC=：2(AE-CF).(2)如图3-1中，当ZCDE=90。时，过点B作BJ丄AC于J,过点F作FK丄AE于K.03-103-1•AJ=3,BJ=4,:AC=AB=5,:CJ=AC-AJ=5-3=2,:bc=4b严忧严=Q必十牡=2真,.•Z・.•Z・AC・BJ=Z・BC・AD,:CD=讥cGd—肿-（砺）竝丽，:FK丄AD,:ZCDE=ZFKD=90°,:CD//FK,:CF〃DK,••四边形CDKF是平行四边形，:/FKD=90°,

・•・四边形CDKF是矩形,.•・fk=cd=：5.4TtanZFAK=tanZCAB=—,・FK_4AK3如图3-2中，当ZECD=90。时，ZDAB=90°,•.•CF〃AM,ZAKF=ZDAB=90°,CK4在Rt^ACK中，tanZCAK==—,AC=5,AK3CK=4,AK=3,•:ZMAN=ZCAB,ZCAN=ZDAB=90°,.•・ZCAB+ZBAF=90°,ZBAF+ZAFK=90°,ZAFK=ZCAB,・・.tanZAFK=||=寺9••・FK=三，4•AF=汕泸十kf'u/十（晋）》=¥•综上所述，满足条件的AF的值为或芈.44解：（1）方法一：如图1,连接PB,PC,•:四边形ABCD是平行四边形,.•・AD〃BC,AB#CD,AD=BC,•:a=120°，即ZBAD=120°,•ZB=ZADC=60°,ZBEP=60°=ZB,由旋转知：EP=EB,△BPE是等边三角形,:・BP=EP,/EBP=/BPE=60°,:.ZCBP=ZABC+ZEBP=120°,VZAEP=180°-ZBEP=120°,:.ZAEP=ZCBP,•：DE平分ZADC,:.ZADE=ZCDE=30°,:.ZAED=ZCDE=30°=ZADE,：・AD=AE,.:ae=bc,:.△APE^^CPB(SAS),:・AP=CP,/APE=/CPB,:/APE+/CPE=/CPB+/CPE,即ZAPC=ZBPE=60°,:.△APC是等边三角形，:.AP=AC；方法二：如图1,延长PE交CD于点Q,连接AQ,•・•四边形ABCD是平行四边形，:ADHBC,AB〃CD,a=120°，即ZBAD=120°,:.ZB=ZADC=60°,:.ZBEP=60°=ZB,:・PE〃BC〃AD,:四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，DE平分ZADC,:.ZADE=ZCDE=30°,:.ZAED=ZCDE=30°=ZADE,:.AD=AE,:・四边形ADQE是菱形，:.ZEAQ=ZAEQ=60°,•••△AEQ是等边三角形，:.AE=AQ,ZAQE=60°,•・•四边形BCQE是平行四边形，:.PE=BE=CQ,/B=/CQE=60°,VZAEP=120°,ZAQC=ZAQE+ZCQE=120°,:.ZAEP=ZAQC,:.△AEP^^AQC(SAS),:.AP=AC；(2)AB2+AD2=2AF2,理由：如图2,连接CF,在ABCD中,ZBAD=90。，AZADC=ZABC=ZBAD=90°,AD=BC,•DE平分ZADC,AZADE=ZCDE=45°,AZAED=ZADE=45°,:.AD=AE,:.AE=BC,•:BF丄EP,・：ZBFE=90°,•：ZBEF=2a=—ZBAD^X90°=45°,22:.ZEBF=ZBEF=45°,：・BF=EF,VZFBC=ZFBE+ZABC=45°+90°=135°,ZAEF=180°-ZFEB=135°,:.ZCBF=ZAEF,:.△BCF^^EAF(SAS),:.CF=AF,ZCFB=ZAFE,:.ZAFC=ZAFE+ZCFE=ZCFB+ZCFE=ZBFE=90°,:.ZACF=ZCAF=45°,AF：sinZACF=AC由①同理可得：由①同理可得：S±DG=£sMCD=£x*X2aX乎X3a=a2,c士Dc士D町NbACDG己,=型=亞=2lrADa在RtAABC中，AB2+BC2=AC2,.•・AB2+AD2=2AF2；(3)方法一：由(1)知，BC=AD=AE=AB-BE,•.•be=2ab,ab=cd,2；・AB=CD=2BE,设BE=a，则PE=AD=AE=a,AB=CD=2a,①当点E在AB上时，如图3,过点G作GM丄AD于点M,作GN丄CD于点N,过点C作CK丄AD于点K,过点A作AH丄PE的延长线于点H,当a=120°时，ZB=ZADC=60°,•:DE平分ZADC,GM丄AD,GN丄CD,：・GM=GN,•*s^acd^ad・ck=^a・2a・sin6°。._2.._2.*SaCDG^^SaACDS^CDG=2S△ADG，由（1）知PE〃BC,AZAEH=ZB=60°,VZH=90°,••・AH=AE・sin60°=亍,•••5=評心诗。十②如图4,当点E在AB延长线上时,

S^4PE^Tph^ae^^aX3a=¥a2,.^AAPE4直旦SACDG3血245aQE综上所述,△APE与ACDG面积的比值为弓■或耳.44方法二：如图3,7四边形ABCD是平行四边形，:.AD^BC,AB#CD,AB=CD,:、\AEGs\CDG,2■:■=()2,sacdgcddgcd①当点E在AB上时，•.•be=2ab,2:.ae=be=2ab=2cd,22.=(坦)—••飞心CD4’又..EG_AE_1•丽—而—㊁.亜_丄…而—可'即IF3当a_120°时，ZB_ZADC_60°,7DE平分ZADC,:.ZADE_30°,:.ZAED_180°-ZBAD-ZADE_30°_ZADE,：・AE_AD,7EP_EB_AE,EP〃AD,:.EP_AD_AE,ZAEP_ZDAE_120°,:.AAED^AEAP(SAS),

②如图4,当点E在AB延长线上时,•.•be=2ab,2••・AE=¥aB=¥cd,22由①知，AD=AE=〒CD,EP=BE^^AE^—AD,EP//AD,3.s.saapeEP_1.型=坦=旦.而—而—豆，.ED_5••,EG3•%ade_ED_5SAAEGEG3・.・、=（坦）2=32=9TOC\o"1-5"\h\z^ACDGCD24.呂AAFE=^AAFE卡AADE卡AAEG=1x^_^_=_^^ACDG^AADE^AAEG^ACDG344E综上所述,△APE与ACDG面积的比值为弓或耳.4^rrndBHlPaiSi•・•四边形ABCD,四边形EFGC都是正方形，:./BCD=/ECG=90°,CB=CD,CE=CG,:.ZBCE=ZDCG,:.△BCE^^DCG(SAS),：・BE=DG.②证明：如图1中，设CD交FG于点O,过点G作GT丄DG交CD于T.VZFDC=ZFGC=90°,：・C,F,D,G四点共圆，:.ZCDG=ZCFG=45°,•.•GT丄DG,：・ZDGT=90°,：・ZGDT=ZDTG=45°,：・GD=GT,•.•ZDGT=ZFGC=90°,:.ZDGF=ZTGC,•GF=GC,:.△GDF^^GTC(SAS),

：・DF=CT,:.CD-DF=CD-CT=DT=一2DG.解法二：提示，连接AC,证明△ACFs^DCG，推出AF=lEdG,可得结论.(2)解：当点F在线段AD上时，如图1中，•.电_飞「药，・••可以假设S2=13k,S1=25k，:.BC=CD=5；k,CE=CG='.''12k,••・CF='.-''2陆，在Rt^CDF中，DF=cF2-CD2='k，.•・DF=CT=l'k,DT=4l'k••・DG=GT=2.2k,・S3=S^GFC+S^DFG=吉X“X^.3k^j-XVkX2血=号"k,TOC\o"1-5"\h\zSL10当点F在AD的延长线上时，同法可得，S3=Sjcf+S“fgc=*X5匚kxTk#XljgkX蕴=9k.S39S3■?q综上所述，一的值为f或5.(1)证明：如图1中,@2乙［1U5.(1)证明：如图1中,@2TZAOB=ZMON=90°,•ZAOM=/BON,2222VAO=BO,OM=ON,:.△AOM^KBON(SAS).(2)①证明：如图2中，连接AM.團2同法可证KAOM竺KBON,AAM=BN,ZOAM=ZB=45°,VZOAB=ZB=45°,:.ZMAN=ZOAM+ZOAB=90°,:.MN2=AN2+AM2,•••△MON是等腰直角三角形，:.MN2=2ON2,:.NB2+AN2=2ON2.②如图3-1中，设OA交BN于J,过点O作OH丄MN于H.△aom^ason,AAM=BN,ZOAM=ZOBN,ZAJN=ZBJO,AZANJ=ZJOB=90°,OM=ON=3,ZMON=90°,OH丄MN,.•・MN=3MH=HN=OH=•••AH=皿-0严:・BN=AM=MH+AH=^^2如图3-2中，同法可证AM=BN=，笃6.(1)①证明：如图1中,•・•将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为a得到线段PD,：.PB=PD,VAB=AC,PB=PD,ZBAC=ZBPD=60°,△ABC,APBD是等边三角形，ZABC=ZPBD=60°,ZPBA=ZDBC,VBP=BD,BA=BC,△PBA^ADBC(SAS),PA=DC.②解：如图1中，设BD交PC于点O.•.•△PBA9ADBC,ZBP4=ZBDC,VZBOP=ZCOD,•ZOBP=ZOCD=60。，即ZDCP=60°.(2)解：结论：CD=^PA.理由：如图2中，:AB=AC,PB=PD,/BAC=/BPD=120°,•・BC=2・AB・cos30°=V^BA,BD=2BP・cos30°=V^BP,ZABC=ZPBD=30°,ZABP=ZCBD,△CBDs^ABP,:.CD=!3pa.(3)过点D作DM丄PC于M,过点B作BN丄CP交CP的延长线于N.如图3-1中，当APBA是钝角三角形时，S3-1在RtAABN中，TZN=90°,AB=6,ZBAN=60°,.°.AN=AB・cos60°=3,BN=AB・sin60°=3.3,tpn=护=・_它1_27=2,.PA=3-2=1,由（2）可知，CD=T1p4=1乜，VZBP4=ZBDC,AZDCA=ZPBD=30°,02020202•:DM丄PC,如图3-•:DM丄PC,如图3-2中，当△ABP是锐角三角形时,同法可得PA=2+3=5,CD=5匚3,DS3-2—，综上所述，满足条件的DM的值为乎或，L故答案为学或•22(1)证明：如图1中，在菱形ABCD和菱形A'B'CD'中，•：ZBAD_ZB‘AzD'_90°,・•・四边形ABCD,四边形A'B'CD'都是正方形，•:ZDAB_ZD'AB'_90°,AZDAD'_ZBAB',•:AD_AB,AD'_AB',:.△ADD'^△ABB'(SAS),:,DD'_BB'.(2)①解：如图2中，结论：CA'_<2BM,ZBPC_45°.DrCr理由：设AC交BP于O.•・•四边形ABCD,四边形A'B'CD'都是正方形,:.ZMA'A=ZDAC=45°,AZA'AC=ZMAB,•.•MA'=MA,AZMA'A=ZMAA'=45°,AZAMA'=90°,aaa'=T2am,•••△ABC是等腰直角三角形，•.•ac=T2ab,A亠込AMABZA'AC=ZMAB,.•.△AA'Cs^MAB,・A==<2,ZA'CA=ZABM,BjiliJi!ACA'=.：2BM,ZAOB=ZCOP,AZCPO=ZOAB=45°，即ZBPC=45°.團3在菱形ABCD和菱形A'B'C'D'中，TZBAD=ZB'A'D'=60°,AZC'A'B'=ZCAB=30°,AZA'AC=ZMAB,•MA'=MA,AZMA'A=ZMAA'=30°,AAA'=<3AM,在△ABC中，TBA=BC,ZCAB=30°,.•・ac=一Sab,・•・楚込AMABVZAZAC=ZMAB,.△Aac^^mab,・=■^^,ZACAf=ZABM,BMAJI.•・A‘C=,3BM,yZAOB=ZCOP,.ZCPO=ZOAB=30°，即ZBPC=30°.③如图4中，过点A作AH丄A'C于H.04由题意AB=BC=CD=AD=2,可得AC=T3AB=2：3,在RtAA'AH中，AH=^AA'=1,A'H-\3AH=lg,在Rt^AHC中,CH=理护甘酹=；：辺，3)2_详=「11,解：（1）连接AC,如图①所示:°.°a=90°,ZABC=a,ZAEC=a,?.ZABC=ZAEC=90°,.A、B、E、C四点共圆,?.ZAEB=ZACB,VZABC=90°,AB=CB,.△ABC是等腰直角三角形,

.•・ZACB=45°,:.ZAEB=45(2)AE=：3BE+CE,理由如下：在AD上截取AF=CE，连接BF,过点B作BH丄EF于H,如图②所示：•：/ABC=/AEC,/ADB=/CDE,A180°-ZABC-ZADB=180°-ZAEC-ZCDE,AZA=ZC,'AF=CE在△ABF和ACBE中，*上直二ZC,lAB=CB:.△ABF^^CBE(SAS),?.ZABF=ZCBE,BF=BE,Z.ZABF+ZFBD=ZCBE+ZFBD,?.ZABD=ZFBE,•.•ZABC=120°,.•・ZFBE=120°,VBF=BE,:.ZBFE=ZBEF=丄X(180°-ZFBE)=丄X(180°-120°)=30°,22•：BH丄EF,.•・ZBHE=90°,FH=EH,在RtASHE在RtASHE中，BH=*BE,•.•AE=EF+AF,AF=CE,.•・AE=一3BE+CE；（3）分两种情况：①当点D在线段CB上时，在AD上截取AF=CE，连接BF,过点B作BH丄EF于H,如图②所示:由（2）得：FH=EH=*BE,••一/八人1AH3・tanZ—DAB,

AH3：・AH=3BH=》BE,2Q・•・CE=AF=AH-FH=^BE2TOC\o"1-5"\h\z…西——；②当点D在线段CB的延长线上时,在射线AD上截取AF=CE，连接BF,过点B作BH丄EF于H,如图③所示:同①得：FH=EH=^BE,AH=3BH=^BE,\o"CurrentDocument"33+V3：・CE=AF=AH+FH=2bE+BE=BE,222・CE=3吨…EE=2；综上所述，当a=120°,tanZDAB=7^^T的值为或工二DE.2MC图③图②C图③图②(1)证明：①在四边形ADBC中，ZDAC+ZDBC+ZADB+ZACB=360°,VZADB+ZACB=180°,AZDAC+ZDBC=180°,VZEAC+ZDAC=180°,:.ZDBC=ZEAC,•：BD=AE,BC=AC,

:.△BCD^^ACE(SAS),:.CD=CE,ZBCD=ZACE,VZBCD+ZDCA=90°,:.ZACE+ZDCA=90°,.\ZDCE=90°,:.CD丄CE；②VCD=CE,CD丄CE,•••△CDE是等腰直角三角形，.•・de=T2cd,•.•DE=AD+AE,AE=BD,:.DE=AD+BD,:.AD+BD^2CD；(2)解：AD-BD=「2CD；理由：如图2,在AD上截取AE=BD，连接CE,:AC=BC,ZACB=90°,\ZBAC=ZABC=45°,:ZADB=90°,-ZBAD,\ZCBD=90°-ZBAD-ZABC=90°-ZBAD-45°=45-ZBAD,yZCAE=ZBAC-ZBAD=45°-ZBAD,AZCBD=ZCAE,VBD=AE,BC=AC,:.△CBD^^CAE(SAS),ACD=CE,ZBCD=ZACE,VZACE+ZBCE=ZACB=90°,AZBCD+ZBCE=90°,即ZDCE=90°,•••DE=.^CD—PcD，•.•DE=AD-AE=AD-BD,•AD-BD=「戈CD.

解：（1）①如图1中，连接CF.设AC交BF于G.•・•四边形AFED是平行四边形，:・AF=DE,DE//AF,BD=DE,:.AF=BD,VZBDE=90°,:.ZEDF=ZDFA=90°=ZBCG,ZCGB=ZAGF,:.ZCBD=ZCAF,BC=AC,:.△BCD^^ACF(SAS),:.ZBCD=ZACF,CD=CF,:.ZBCA=ZDCF=90°,:,'CDF是等腰直角三角形，：・DF=〔1CD.故答案为DF=；2CD.②结论仍然成立.@1A理由：如图2中，连接CF.延长BD交AF的延长线于H设AC交BH于G.@1AS1•四边形AFED是平行四边形,：・AF=DE,DE/AF,BD=DE,：・AF=BD,VZBDE=90°,:./EDH=/DHA=90°=/BCG,•:/CGB=/AGH,：.ZCBD=ZCAF,VBC=AC,:.△BCD^^ACF(SAS),：.ZBCD=ZACF,CD=CF,：.ZBCA=ZDCF=90°,:△CDF是等腰直角三角形，：・DF=V2CD.(2)如图3中，延长BD交AF于H.设BH交AC于G.•・•四边形AFED是平行四边形，:・AF=DE,DE//AF,VZBDE=90°,:.ZEDH=ZDHA=90°=ZBCG,VZCGB=ZAGH,:.ZCBD=ZCAF,..BDBC小•==2,DEAC•匹=匹:IF=疋，.•.△CBDsACAF,r"Tipr:・¥=4^=2,ZBCD=ZACF,CFAC:.ZBCA=ZDCF=90°,0202•.•AD〃EF,:.ZADC+ZDCF=180°,:.ZADC=90°,TCD：AC=4：5,设CD=4k,AC=5k，则AD=EF=3k,.•・CF=2CD=2k,2:.EC=EF-CF=k,••・DE=AF=十-〔业）1*•••驚=云CEk解：（1）①如图1中，结论：AE=BF.區1理由：•.•ZBCA=ZFCE=90°,.\ZBCF=ZACE,VZABC=45°,ZABC=ZCAB=45°,CB=CA,VZCAE=ZCBF,△BCF^^ACE（ASA）,:・BF=AE.故答案为BF=AE.②如图2中，结论：AE=l3BF.A

理由：•.•ZBCA=ZFCE=90°,：・/BCF=/ACE,•：/CAE=/CBF,:.△BCFs/ACE,.里=显…而—玩VZABC=60°,.•伽60°=||=迁,.•・AE=一3BF,故答案为ae=T3bf.(2)如图3(2)如图3中，结论：AE理由：•.•ZBCA=ZFCE=90理由：•.•ZBCA=ZFCE=90°,.\ZBCF=ZACE,VZCAE=ZCBF,:.△BCFs/ACE,•壓=星…丽=肮VZABC=30°,结论：AE=BFVZABC=30°,结论：AE=BF・tana图斗理由：•.•ZBCA=ZFCE=90°,：・/理由：•.•ZBCA=ZFCE=90°,：・/BCF=/ACE,•：/CAE=/CBF,:.△BCF^ZACE,.里=显…而—玩'：^ABC=a,.°.AE=BF・tana.解：(1)如图①中，结论：CA=CE+CF.理由：•：四边形ABCD是菱形，ZBAD=120°AAB=AD=DC=BC,ZBAC=ZDAC=60°・•.△ABC,AACD都是等边三角形，•:ZDAC=ZEAF=60°,ZDAF=ZCAE,•:CA=AD,ZD=ZACE=60°,△ADF^^ACE(ASA),DF=CE,CE+CF=CF+DF=CD=AC,•CA=CE+CF.4(2)结论：CF-CE=^C.g理由：如图②中，如图作OGHAD交CF于6,贝^4OGC是等边三角形.•:ZGOC=ZFOE=60°,/.ZFOG=ZEOC,•.•OG=OC,ZOGF=ZACE=120°,:.△FOG^^EOC(ASA),:.CE=FG,•：OC=OG,CA=CD,：.OA=DG,14:・CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC』4C=^AC,33(3)作BH丄AC于H.TAB=6,AH=CH=3,:.BH=3；3,如图③-1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时.•：OB=2l7,••・OH=①/一阳是1，OC=3+1=4,由（1）可知：CO=CE+CF,VOC=4,CF=1,••・CE=3,BE=6-3=3.如图③-2中,当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时.•CE=4+1=5,

:.BE=1.同法可证：OC=CE+CF,*：OC=CH-OH=3-1=2,CF=1,••・CE=1,:.BE=6-1=5.如图③-4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时.同法可知：CE-CF=OC,CE=2+1=3,BE=3,综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1.解：（1）如图①中，图①•:BA=BC,DA=DE.且ZABC=ZADE=60°,•△ABC,^ADE都是等边三角形，•AD=AE,AB=AC,ZDAE=ZBAC=60°,•ZDAB=ZEAC,:.△DAB^KEAC(SAS),:.BD=EC,/ABD=/ACE,VZACE+ZABE=90°,AZABD+ZABE=90°,:.ZDBE=90°,:.DE2=BD2+BE2,'：EA=DE,BD=EC,:.EA2=be2+eC2.故答案为bd=EC,EA2=EB2+EC2.(2)结论：EA2=EC2+2BE2.理由：如图②中，B图②:BA=BC,DA=DE.且ZABC=ZADE=90°,:、△ABC,\ADE都是等腰直角三角形，:.ZDAE=ZBAC=45°,：.ZDAB=ZEAC,・.AD_血AB_血：正—〒疋—〒•如=些：・△DABS&AC,•:ZACE+ZABE=90°,：.ZABD+ZABE=90°,：.ZDBE=90°,:.DE2=BD2+BE2,：EA=一2DE,BD:.EA2=EC2+2BE2.(3)如图③(3)如图③中,:.ZAEC=135°,'：\ADBs\AEC,:.ZADB=ZAEC=135°,•:/ADE=/DBE=90°,.•・ZBDE=ZBED=45°,:.BD=BE,.•・DE=一2BD,：EC=一2BD,:.AD=DE=EC,设AD=DE=EC=x,在RtAABC中，•:AB=BC=2「5,:.AC=1：10,在Rt^ADC中，•:AD2+DC2=AC2,/.x2+4x2=40,••・x=2】E（负根已经舍弃）,:.AD=DE=2；2,:.BD=BE=2,•••S@de=*X2X2=2.解：(1)如图1中，延长EO交CF于K.图1TAE丄BE,CF丄BE,.•・AE〃CK,:.ZEAO=ZKCO,TOA=OC,ZAOE=ZCOK,:、△A0E9\C0K,:,OE=OK,•••△efk是直角三角形，:.of=Lek=oe.2(2)如图2中，延长EO交CF于K.VZABC=ZAEB=ZCFB=90°,:.ZABE+ZBAE=90°,ZABE+ZCBF=90°,:.ZBAE=ZCBF,TAB=BC,.•.△ABE^ASCF,:.BE=CF,AE=BF,•△aoe^^cok,:.AE=CK,OE=OK,

:.FK=EF,:.△EFK是等腰直角三角形,AOFLEK,OF=OE.(3)如图3中，延长EO交CF于K.作PH丄OF于H..•・FK=2,V3在RtAEFK中，tanZFEK=3AZFEK=30°,ZEKF=60°,.•・EK=2FK=4,OF=g"EK=2,2•••△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2,在Rt^PHF中，PH=^PF=1,HF=：3,OH=2-一g,■Lu.•・Op=—莓辺一石一迈如图4中，当点P在线段OC上时，作PG丄OF于G.同法可得：HE=2,OH=OF,EF=2；3,V3.•・tanZHFE=3AZHFE=30°,:・FH=2HE=4,•：OH=OF,：.0H=0F=0E=2,•••△OPF的等腰三角形，:・PO=PF,•PG丄OF,：・OG=GF=1,.QG2^3：OP==LcasSO3综上所述，OP的长为,疋八迈或解：(1)T当a=60。时,ZABC=ZDBE=60°,:ZABD=ZCBE,又•AB=AC,:△ABC是等边三角形，:.AB=CB,ZACB=60°,：・ZBCE=120°,•:MN//BC,:.ZBAD=180°-ZABC=120°,:.ZBAD=ZBCE,.△BAD竺ABCE,：・AD=CE,：・AE=AC+CE=AB+AD；(2)AE=AB+；2AD.理由：当a=45。时，ZABC=ZDBE=45°,:.ZABD=ZCBE,•AB=AC,:.ZABC=ZACB=45°,ZBAC=90°,•••△ABC是等腰直角三角形，:・BC=一2AB,•MN//BC,.•・ZBAD=180°-ZABC=135°,•.•ZBCE=180°-ZACB=135°,:./BAD=/BCE,：・△BADsMCE,•坐=些=丄…?_石，：・CE=一1AD,:.AE=AC+CE=AB+\2AD；(3)线段AE的长度为迁-1或2-2.由题可得，ZABC=ZDBE=ZBAD=30°,分两种情况：①如图所示，当点E在线段AC上时，MDAN•.•ZABE=15°=±ZABC吕ZDBE,22:.ZABD=ZABE=15°,在BE上截取BF=BD，易得△ABD^^ABF,：・AD=AF=一g-1,ZABC=ZBAD=ZBAF=30°,:.ZAFE=ZABF+ZBAF=15°+30°=45°,又•.•ZAEF=ZCBE+ZC=15°+30°=45°,:.ZAFE=ZAEF,:.AE=AF=13-1；②如图所示，当点E在CA的延长线上时，过D作DF丄AB于F,过E作EG丄BC于G,•.•AD=_g-l,ZDAF=30°,TZDBF=15°+30°=45°,.\ZDBF=ZBDF,易得△ABC中，BC=瓦VZEBG=15°+30°=45°,.\ZBEG=ZEBG,设BG=EG=x,贝9CG=「g_x,•.•RtACEG中，tanC=£^,即彳==••x••xCE=2EG=3-<3,•AE=CE-AC=3-<3-1=2-一g综上所述所，线段AE的长度为3-1或"天.解：(1)CD2+BD2=AD2,理由：•「△ABC和AADE是等边三角形，•AB=AC,AD=AE=DE,/BAC=/DAE=60°,ZBAD=ZCAE,rAB=AC在AABD和△ACE中，乙關D二ZCAE,:AD=AE△ABD^^ACE(SAS),：・BD=CE,在RtADCE中，CD2+CE2=DE2,:.CD2+BD2=AD2,(2)CD2+BD2=AD2,理由：•.•BA=BC=2AC,DA=DE=2AE,.生'.△ABC^^ADE,•・/BAC=/DAE,•・/BAD=/CAE,.坐坐•亦気，•・△BADsMAE,.曼旦'AC飞E，•・BD=2CE,在RtADCE中，CD2+CE2=DE2,•CD2+BD2=AD2,4(3)(mCD)2+(pBD)2=(nAD)2,n：p,理由：.AB：BC：AC=AD：DE：AEn：p,DE^-AD,^ABCs^ADE,m：.ZBAC=ZDAE,豆，△ABDs^ACE,.BD._CEACp：・CE=^BD,in在RtADCE中，CD2+CE2=DE2,22・•・CD2+《BD2=EpaD2,mm・・(mCD)2+(pBD)2=(nAD)2解：(1)连接：AB=PB.理由：如图1中，连接BQ.VBC垂直平分OQ,:.BO=BQ,:.ZBOQ=ZBQO,JOF平分ZMON,：・/AOB=/BQO,'：OA=PQ,:.△AOB^^PQB,:・AB=PB.(2)存在，理由：如图2中，连接BQ.圏2•:BC垂直平分OQ,:.BO=BQ,:.ZBOQ=ZBQO,•:OF平分ZMON,ZBOQ=ZFON,:・ZAOF=ZFON=ZBQC,：・ZBQP=ZAOB,：OA=PQ,:.△AOB^^PQB,:・AB=PB.(3)连接BQ.易证△ABO^^PBQ,：・/OAB=/BPQ,AB=PB,•.•ZOPB+ZBPQ=180°,.•・ZOAB+ZOPB=180°,ZAOP+ZABP=180°,VZMON=60°,AZABP=120°,•：BA=BP,:.ZBAP=ZBPA=30°,•:BO=BQ,：ZBOQ=ZBQO=30°,・:△ABP^^OBQ,•坐=亞…页—而’'：ZAOB=30°,.:当BA丄OM时，磐的值最小，最小值为0.5,Ud：・k=0.5.解：(1)结论：AFGH是等边三角形.理由如下：如图1中，连接BD、CE,延长BD交CE于M,设BM交FH于点O.ffli•△ABC和A4DE均为等边三角形,:.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,:.ZBAD=ZCAE,:.△BAD^^CAE,.•・BD=CE,/ADB=/AEC,•：EG=GB,EF=FD,:・FG=LbD,GF//BD,2•：DF=EF,DH=HC,:・fh=Lec,FH/EC,2:.fg=fh,VZADB+ZADM=180°,：ZAEC+ZADM=180°,：・ZDMC+ZDAE=180°,：・ZDME=120°,:ZBMC=60°:.ZGFH=ZBOH=ZBMC=60°,:.△GHF是等边三角形，故答案为等边三角形.S2易知AF丄DE,在RtAAEF中，AE=2,EF=DF=1,:.AF=一;护_]2=13,在Rt^ABF中，BF=一厘艮上_应卩上=16，:.BD=CE=BF-DF=-1,FH”（3）存在.理由如下.由（1）可知，'GFH是等边三角形，GF=^BD,2:.△GFH的周长=3GF=^-BD,C—1在△ABD中，AB=a,AD=b,.°.BD的最小值为a-b，最大值为a+b,22:.△FGH的周长最大值遁（a+b），最小值为专（a-b）.解：（1）结论：BQ=CP.理由：如图1中，作PH^AB交CO于H.在RtAABC中，TZACB=90°,ZA=30°，点O为AB中点,ACO=AO=BO，ZCBO=60°，:.△CBO是等边三角形，AZCHP=ZCOB=60°,ZCPH=ZCBO=60°,AZCHP=ZCPH=60°,:.△CPH是等边三角形，:.PC=PH=CH,：.OH=PB,VZOPB=ZOPQ+ZQPB=ZOCB+ZCOP,VZOPQ=ZOCP=60°,AZPOH=ZQPB,VPO=PQ,:.△POH^^QPB,:.PH=QB,：・PC=BQ.理由：作PH〃AB交CO的延长线于H.在RtAABC中，TZACB=90°,ZA=30°，点O为AB中点,:.CO=AO=BO,ZCBO=60°,:.△CBO是等边三角形，:./CHP=/COB=60°,/CPH=/CBO=60°,AZCHP=ZCPH=60°,:.△CPH是等边三角形，:.PC=PH=CH,：.OH=PB，VZPOH=60°+ZCPO,ZQPO=60°+ZCPO,AZPOH=ZQPB,VPO=PQ,:.△POH^^QPB,:.PH=QB,；・PC=BQ.解法二：连接OQ.'：\OBC,\OFQ都是等边三角形，：.OC=OB.OQ=OP,ZCOB=ZPOQ=60°,

:.ZCOP=ZBOQ,:•△COP^'BOQ（SAS）,；・PC=BQ.连接CF.（3）如图3中，作CE丄OP于E,在PE上取一点F,使得FP连接CF.：・：・ZPOC=45°,：・CE=EO,设CE=EO=a,则FC=FP=2a,EF」3a,a,在RtAPCE中,PC=直）忌-迈a,VPC+CB=4,：.（l6+1戈）a+l2a=4,解得a=4l2-2：6,：・PC=4Tg-4,由（2）可知BQ=PC,：・BQ=4-4.VAM=ME,AP=PB,:PM〃BE'PM=*BE'•:BN=DN,AP=PB,•••pn〃ad，pn4adVAC=BC,CD=CE,:・AD=BE,•PM=PN,VZACB=90°,•AC丄BC,•.•PM〃BC,PNHAC,:.PM丄PN,:△PMN的等腰直角三角形，：・MN=，2PM,:MN=J2・=BE,：・BE=一2MN,故答案为be=T2mn.(2)如图2中，结论仍然成立.理由：连接AD、延长BE交AD于点H•••△ABC和ACDE是等腰直角三角形，：・CD=CE,CA=CB,ZACB=ZDCE=90°,*/ZACB-ZACE=ZDCE-ZACE,:.ZACD=ZECB,•△ecb^adca,：・BE=AD,ZDAC=ZEBC,•.•ZAHB=180°-(ZHAB+ZABH)=180°-(45°+ZHAC+ZABH)=Z180°-(45°+ZHBC+ZABH)=180°-90°=90°,:・BH丄AD,TM、N、P分别为AE、BD、AB的中点，:.PM//BE,PM=—BE,PN^AD,PN=^AD,22.•・PM=PN,ZMPN=90°,・•・BE=2PM=2乂MN=2MN.(3)①如图3中，作CG丄BD于G,则CG=GE=DG=边,当D、E、B共线时，在RtABCG中，BG=yb/-C护=「'孕礼辽)'=匹4,：・be=bg-ge=：24-②如图4中，作CG丄BD于G,则CG=GE=DG='2,当D、E、B共线时，在RtABCG中，BG=一;bc'-CG'=-'*-（边）^=："：・be=bg+ge=34+-2,故答案为/17-1或T17+1.21.解：(1)如图1,连接AF,•・•四边形ABCD是菱形，:.AC丄BD,ZABO=gzABC=30°,2:.ZOAE=ZOAF=30°,:.ZDAF=30°=ZADO,:.AF=FD,•：AF=EF,:.EF=FD；故答案为：EF=DF；成立，如图3,连接CE,AF,•四边形ABCD是菱形，四边形AEFG是菱形，：・AD=CD,AE=EF,BD垂直平分AC,ZABC=ZADC=60°,:.ZADC=ZAEF=60°,・:△ACD和AAEF是等边三角形，：・AC=AD,AE=AF=EF,ZCAD=ZEAF=60°,:.ZCAE=ZDAF,rAC=AD在AACE和AADF中，三:AE=AF△ACE^^ADF,：.EC=DF,BD垂直平分AC,：・EC=AE,：・DF=AE=EF如图2,VAE=CE,:.ZACE=ZCAE,•点C,E,G在同一条直线上，:.ZAEG=2ZCAE=30°,:.ZCAE=15°,

VZBAO=60°°,AZBAE=75°,•.•ZABO=±ZABC=30°,2:.ZAEB=75°=ZBAE,:.BE=AB,在RtAAOB中，ZABO=30°,・OBV3..cosZABO==—：—,AB2V3：・OB=AB=2:・BD=20B=!3BE.mi:.ZFCD=90°,VZACB=90°,：・ZFCA+ZACD=ZACD+ZDCE,：.ZFCA=ZDCE,VZACB+ZADE=180°,：・ZADE=90°,：・ZBDE=90°,VZF4C=ZACB+ZB=90°+ZB,ZCED=ZEDB+ZB=90°+ZB,：・ZFAC=ZCED,'：AC=CE,:.△AFC^^EDC(ASA),:.FA=DE,②DE+AD=2CH，理由是：:△AFC^KEDC,:.CF=CD,TCH丄AB,:.FH=HD,在RtAFCD中，CH是斜边FD的中线，:.FD=2DH,:.AF+AD=2CH,:.DE+AD=2CH；(2)AD+DE=1!3CH,理由是：如图b,作ZFCD=ZACB，交BA延长线于F,•.•ZFCA+ZACD=ZACD+ZDCB,・：ZFCA=ZDCB,VZEDA=60°,：・ZEDB=120°,•.•ZF4C=120°+ZB,ZCED=120°+ZB,：・ZFAC=ZCED,VAC=CE,:.△FAC^^DEC,:・AF=DE,FC=CD,•弋日丄卩。,:.FH=HD,ZFCH=ZHCD=60°,在RtACHD中，tan60°=器，l.-H:.DH=：3CH,•:AD+DE=AD+AF=FD=2DH=2：3CH,即：AD+DE=2：：3CH.23.解：（1）如图①中，结论：AF^~2AE.AAAA團①理由：•・•四边形ABFD是平行四边形,:.AB=DF,VAB=AC,:.AC=DF,•:DE=EC,:.AE=EF,•.•ZDEC=ZAEF=90°,•••△AEF是等腰直角三角形，.•・AF=一1AE.故答案为AF=l2AE.(2)如图②中，结论：AF^2AE.團②理由：连接EF,DF交BC于K.•・•四边形ABFD是平行四边形，.AB//DF,AZDKE=ZABC=45°,.•・ZEKF=180°-ZDKE=135°,EK=ED,•.•ZADE=180°-ZEDC=180°-45°=135°,:.ZEKF=ZADE,•.•ZDKC=ZC,:.DK=DC,^DF=AB=AC,:.KF=AD,在AEKF和AEDA中，屯K二EDJZEKf=ZABE,:KF=AD・•・△EKF竺AEDA,:.EF=EA,/KEF=/AED,,\ZFEA=ZBED=90°,•••△AEF是等腰直角三角形，：.AF^1AE.(3)如图③中，结论不变，AF=理由：连接EF,延长FD交AC于K.-ZKDC,-ZKDC,VZEDF=180°-ZKDC-ZEDC=-ZKDC,-ZKDC,ZACE=(90°-ZKDC)+ZDCE=135°:.ZEDF=ZACE,TDF=AB,AB=AC,：・DF=AC在AEDF和AECA中，rDF=ACJZEEF^ZACE,:DE=CE:.△EDF^AECA,：・EF=EA,/FED=/AEC,；./FEA=/DEC=90°,•••△AEF是等腰直角三角形，.•・AF=一1AE.24.解:PM=PN,PM丄PN,理由如下：•••△ACB和AECD是等腰直角三角形，:.AC=BC,EC=CD,ZACB=ZECD=90°.在AACE和ABCD中rAC=BC〈ZACB=ZECD=90°,心也二CD.•.△ACE^ABCD(SAS),AAE=BD,ZEAC=ZCBD,•点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，.•.pm=2bd,pn=2ae,22.•・PM=PN,PM〃BD,PN〃AE,AE丄BD,AZNPD=ZEAC,ZMPA=ZBDC,ZEAC+ZBDC=90°,AZMPA+ZNPC=90°,.•・ZMPN=90°,即PM丄PN；VAACB和AECD是等腰直角三角形，.•・AC=BC,EC=CD,ZACB=ZECD=90°.AZACB+ZBCE=ZECD+ZBCE.AZACE=ZBCD..△ACE竺ABCD.AAE=BD,ZCAE=ZCBD.又VZAOC=ZBOE,/CAE=/CBD,••・ZBHO=ZACO=90°.•・•点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点,:.PM^-BD,PMHBD；2PN=^AE,PN//AE.2:・PM=PN..•・ZMGE+ZBHA=180°.,\ZMGE=90°.:./MPN=90°.:.PMIPN.(3)PM=kPN△ACB和AECD是直角三角形，：.ZACB=ZECD=90°.：・ZACB+ZBCE=ZECD+ZBCE.：.ZACE=ZBCD.BC=kAC,CD=kCE,.BCCDzACCE:.△BCD^^ACE.：・BD=kAE.•点P、M、N分别为AD.AB.DE的中点,:.PM^-BD,PN=MaE.22:.PM=kPN.S凰②D25.(1)证明：如图l,TZBAC=90°,AB=AC,.•・ZABC=ZACB=45°,VZDAE=90°,AZDAE=ZCAE+ZDAC=90°,VZBAC=ZBAD+ZDAC=90°,:.ZBAD=ZCAE,在ABAD和ACAE中，rAB=ACJZBAD^ZCAE,:AD=AE:.ABAD^ACAE(SAS),：・BD=CE,/ACE=/ABC=45°.?.ZBCE=ZACB+ZACE=90°,：BD丄CE；2AD2=BD2+CD2,理由：如图2,将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE,连接CE、DE.与(1)同理可证CE=BD,CE丄BD,VZEAD=90°AE=AD,：・ED=l'2AD,在RTAECD中，ED2=CE2+CD2,：・2AD2=BD2+CD2.如图3,①当D在BC边上时，将线段AD1绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AE,连接BE,与(1)同理可证AABE竺AACD],:.BE=CD1,BE丄BC,•:BD=〔3CD,:.BD1^3BE,BEV3••伽zBD尸—,:.ZBD1E=30°,VZEAD1=ZEBD1=90°,

・•・四边形A、Di、B、E四点共圆,:.ZEAB=ZBD1E=30°,.•.ZBAD]=90°-30°=60°；②当D在BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF,连接CF.同理可证：ZCFD2=30°,VZF4D2=ZFCD2=90°,・•・四边形A、F、D2、C四点共圆，AZCAD2=ZCFD2=30°,AZBAD2=90°+30°=120°,综上，ZBAD的度数为60°或120°..\P4=PD,ZP4E=ZPDF=45°,26.\P4=PD,ZP4E=ZPDF=45°,26.VZAPE+ZEPD=ZDPF+ZEPD=90°,?.ZAPE=ZDPF,在AAPE和ADPF中Vape=ZdpfIPA=PDiZPAE=ZPDF.•.△APE^ADPF(ASA),.•・AE=DF,.•・DE+DF=AD；(2)如图②，取AD的中点M,连接PM,~图②•・•四边形ABCD为ZADC=120°的菱形，ABD=AD,ZDAP=30°,ZADP=ZCDP=60°,:.△MDP是等边三角形，