十年全国高中数学联赛试题一试(解析几何含解析)

来源：网络转载来源：网络转载来源：网络转载来源：网络转载十年全国高中数学联赛试题解析几何圆锥曲线部分解答题o已知 和北+22=i>>。试问：当且仅当 满足什么0 1a2b2条件时，对上任意一点，均存在以为项点与外切与内接的平行四边TOC\o"1-5"\h\z形？并证明你1的结论。 0 1.已知点，和抛物线 +上两点B，使得X,求点的纵坐标的取值范围.给定整数n>2，设M(x,y)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点0 0 0试证明对于任意正整数m,必存在整数k>2，使(xm,ym)为抛物线y2=kx-10 0与直线y=x的一个交点.如图，P是抛物线y2=2x上的动点，描。在y轴上，圆(x-1)2+y2=1内切于寸BC，求APBC面积的最小值.答案：所求条件为—+1a2b2证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心假设论成立则对点 有 为项点的菱形与内接与外切的相对顶点为 由于菱形的对角线互相垂直平分另外两个顶点必在轴上为和菱形一条边的方程为ab即 由于菱形与外切故必有a 整理得x_L 必要性得证aa2+b a2b22充分性设_1+L 是上任意一点过、作的弦，再过作与 垂a2b2直的弦，则为与 内接菱形设 则点的坐标为0 0点的坐标为0 0点的坐标为°(20- 代入椭圆方程得2TOC\o"1-5"\h\zQ”0>卜2cos0+刍］2卜2sg打a2 b2 a2 b2cos2(0+一)sin2(0+—)1 111 cos20 sm20 ' 2 ' 2一是 + + 二 二OP2 OQ2 R2R2a2b2 a2 b21211 a2b2

又在t中，设点到的距离为，则1-1 -故得hOP2OQ2同理，点到RS 的距离也为1故菱形与外切充分性得证0注对于给出a2+b2=a2b2,,a 等条件者，应同样给分aa2+b2TOC\o"1-5"\h\z・ ・由・一1得 一1.•・・•・△ — —三，・•・W,三.当时，得一3一,当时，得，一)满足要求，故点的纵坐标的取值范围是一8, ],8.过抛物线y=x2上的一点()作抛物线的切线，分别交x轴于，交j轴AE于点在抛物线上，点在线段 上，满足AE八点在线段上，满足EC1BF丝八，且入+入=1,线段与交于点当点在抛物线上移动时，求点FC2 1 2的轨迹方程解一：过抛物线上点的切线斜率为：j'=2xI=2,.••切线 的方程为x=1j=2x-1.•B、D的坐标为B(0,-1),D(1,0),.D是线段 的中点 2分AE设P(x,j)、C(x,x2)、E(x,j)、F(x,j),则由——=X知，0 0 1 1 2 2 EC11+Xx

x= -j1 1+1+Xx

x= -j1 1+X11-1+Xx2 0-.1+X2 1；——=X,得x=20,j1+XFC2 21+X212所在直线方程为:1+入X所在直线方程为:1+入X2V ^-0y1+入 1—01+九 1 -1+入X2 1+入X2 2-0-- 1_0_1+入1+入21 1 入X1+入X—2-0-- 1_01+入1+入21化简得[(九一九)X-(1+九)]y=[(九一九)X2-3]X+1+X-九X2.…① 分2 1 0 2 2 1 0 0 20当Xw-时，

0 当Xw-时，

0 2直线的方程为:2X2X-X2 cy--0 0-…②2X-1

0联立①、②解得x+1X=—0——3,消去x0，得点轨迹方程为：y-3(3x-1)2.43—-y2分方程为:也在点轨迹上因与不能重合，，Xw1,「0CD——,t=CP43—-y2分方程为:也在点轨迹上因与不能重合，，Xw1,「0CD——,t=CP1CACECBCF=1+入,则t+1=3.因为

2 1 2为AABC的中线，CE-CFttCA-CB12SACEFSACABS—ACEP+2SACADS1/1 1、—ACFP——(——+ )-2S 2tytyACBD 1 23-——，「・y211y121. 31 1入-3)x+-——九,CD方程为：x=2・••所求轨迹方程为y=1(3x-1)2(xw|).*'是的中点解二：由解一知，的方程为y=2x-1,B(0,-1),D(1,0),故是的中点P是AABC的重心 设P(X,y),C(X,X2),因点异于，则Xw1,故重心 的坐标为00 00+1+X1+X2 —1+1+X2X2 1/C八X― ― 0,(Xw-),y= —i,消去X,得y- (3X-1)2.3 3 3 3 3 0 312故所求轨迹方程为y=3（3x-1）2（x中3【证明】因为y2=nx-1与y=x的交点为x=y00n土<n2—41显然有x+ =n。…（分）0x0若（xm,ym）为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点oo1则k=xm+—0xm0…（分）则k=k(x+—)-k=nk-k，

m+1m0x m-1 mm-10(m>2).一一…… 1 1 ,一 由于k=n是整数，k=x2+—=（x+-）2-2=n2-2也是整数，所以根据数学归1 2 0x2 0x0 0 1 纳法，通过（ ）式可证明对于一切正整数m,k=xm+—是正整数现在对m0xm:.... ... 01于任意正整数m，取k=xm+——，使得y2=kx-1与y=x的交点为0xm0（分）解设P(x,y),B(0,b),C(0,c)，不妨设b〉c.0 0直线PB的方程y-b=Jx，

x0化简得(y-b)x-

0又圆心(1,0)到PB的距离为|y一b+xb।0 0।=1，1,/(y-b)2+x2’0 0故(y-b)2+x2-(y-b)2+2xb(y-b)+x2b2，0易知X〉2，0上式化简得（-2）b2+2yb-同理有(％-2)c2+2y0所以b+c-二24，x—20…10分(b-c)2bc-3，贝Ux—204x2+4y2-8x——0 0 0-•(x-2)20因P(x,y)是抛物线上的点,0 04x2