高中数学必修4(必修四)课件第二章：平面向量

§2.1平面向量的实际背景及基本概念明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.明目标、知重点1.向量既有

，又有

的量叫做向量.2.向量的几何表示以A为起点、B为终点的有向线段记作

.3.向量的有关概念(1)零向量：长度为

的向量叫做零向量，记作

.(2)单位向量：长度等于

个单位的向量，叫做单位向量.大小填要点·记疑点方向

001(3)相等向量：

的向量叫做相等向量.(4)平行向量(共线向量)：方向

的

向量叫做平行向量，也叫共线向量.①记法：向量a平行于向量b，记作

.②规定：零向量与

平行.长度相等且方向相同相同或相反非零a∥b任一向量探要点·究所然情境导学回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”，类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小，又有方向的量进行抽象，形成一种新的量，即向量.探究点一向量的概念和几何表示我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量.数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量.而把那些只有大小，没有方向的量称为数量.例如，已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度.其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧.思考1

向量与数量有什么联系和区别？

向量有哪几种表示？答联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.用表示向量的有向线段的长度表示向量

的大小，也就是向量

的长度(或称模).记作||有向线段

箭头表示向量的方向.思考2

向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？答

向量的模可以为0，也可以为1，不可以为负数.思考3

向量与有向线段有什么区别？答向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.探究点二几个向量概念的理解思考1

长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？答长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的.长度(或模)为1的向量叫做单位向量.思考2

满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？答长度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a与b相等，记作a＝b.单位向量不一定是相等向量.小结研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素.对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错.思考3

在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？答单位圆.探究点三平行向量与共线向量思考1

如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？答方向相同或相反.小结方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b平行，通常记作a∥b.规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考2

如果非零向量

是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？答

点A、B、C、D不一定共线.思考3

若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备传递性吗？答向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线).向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c⇒a∥c.小结在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”.例1

判断下列命题是否正确，并说明理由.①若a≠b，则a一定不与b共线；②若

则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.解两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确.②

A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确.③在平行四边形ABCD中，

与平行且方向相同，故

③正确.④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确.⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确.若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确.反思与感悟对于命题的判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可.跟踪训练1

判断下列命题是否正确，并说明理由.①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；解不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确.②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；解不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向.③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；解正确.因为|a|＝|b|，且a与b同向.由两向量相等的条件可得a＝b.④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.解不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定.例2

一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点.(1)作出向量解(1)向量

如图所示.∴在四边形ABCD中，AB綊CD.∴四边形ABCD为平行四边形.反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练2

在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；

解根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略).

例3

如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.(1)写出与

共线的向量；解因为E、F分别是AC、AB的中点，反思与感悟(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.跟踪训练3

如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与

相等的向量.当堂测·查疑缺12341.下列说法正确的是(

)A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小1234解析

A中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以A不正确；由A的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B不正确；C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C不正确；D中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D正确.答案D12342.如图，在四边形ABCD中，若

则图中相等的向量是(

)D12343.如图，在△ABC中，若DE∥BC，则图中所示向量中是共线向量的有________________________.解析观察图形，并结合共线向量的定义可得解.1234∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形.梯形呈重点、现规律1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广意平行.3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.§2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.明目标、知重点如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作

则向量

叫做a与b的和(或和向量)，记作

，即a＋b＝

＝

.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝

＋

＝

.1.向量的加法法则(1)三角形法则a＋b填要点·记疑点0aa(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作

则O、A、B三点不共线，以

，

为邻边作

，则以O为起点的对角线上的向量

＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则.2.向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝

.(2)结合律：(a＋b)＋c＝

.OAOB平行四边形b＋aa＋(b＋c)探要点·究所然情境导学两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.探究点一向量加法的三角形法则导引两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量.一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北.通过上面地图中客机的位移，我们得到向量加法的三角形法则：思考1

使用向量加法的三角形法则具体做法是什么？答先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量.思考2

当向量a，b是共线向量时，a＋b又如何作出？答(1)当a与b同向时：(2)当a与b反向时：思考3

|a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？答当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.探究点二向量加法的平行四边形法则思考1

向量加法还可以用平行四边形法则，其具体做法是什么？答先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和.对于零向量与任一向量a，我们规定：a＋0＝0＋a＝a.思考2

实数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).那么向量的加法也满足交换律、结合律吗？如何检验？答

向量的加法满足交换律，

根据下图中的平行四边形ABCD验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.∴a＋b＝b＋a.向量的加法也满足结合律，根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).思考3

向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？答向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和.联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.例1

如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.反思与感悟已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据平行四边形法则作图.跟踪训练1

如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.0探究点三向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量.这是一个极其简单却非常有用的结论(如图).利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效.例如，在正六边形ABCDEF中，0例2

化简：反思与感悟解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序.当堂测·查疑缺12341.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是(

)1234故选D.答案D12342.设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：012343.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则

等于(

)D1234呈重点、现规律1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的.当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则.2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.§2.2平面向量的线性运算2.2.2向量减法运算及其几何意义明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.明目标、知重点1.我们把与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作

，并且有a＋(－a)＝

.2.向量减法的定义：若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的

，记为

，求两个向量差的运算，叫做

.－a填要点·记疑点0差a－b向量的减法平行四边形ABCDba探要点·究所然情境导学上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢？本节课将解决这一问题.探究点一向量的减法思考1

a的相反向量是什么？－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？答与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作－a，并且有a＋(－a)＝0，－a的相反向量是a即－(－a)＝a.规定：零向量的相反向量仍是零向量.思考2

我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？答向量的减法也有类似法则，定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.思考3

向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a，b,c，若a＋c＝b，则c等于什么？

答a＋c＝b⇔c＝b－a.(4)a＋(－a)＝0；(5)若a与b互为相反向量，则有：a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.探究点二向量减法的法则思考1

由于a－b＝a＋(－b).因此要作出a与b的差向量a－b，可以转化为作a与－b的和向量.已知向量a，b如图所示，你能利用平行四边形法则作出差向量a－b吗？答利用平行四边形法则.思考2

向量减法的三角形法则是什么？答当把两个向量a，b的始点移到同一点时，它们的差向量a－b可以通过下面的作法得到：①连接两个向量(a与b)的终点；②差向量a－b的方向是指向被减向量的终点.这种求差向量a－b的方法叫向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”.思考3

请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a与b的差向量a－b？若a＋b＝c＋d，则a－c＝d－b成立吗？答利用三角形法则.等式成立.移项法则对向量等式适用.例1

如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.反思与感悟根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量.解延长AC到Q.使CQ＝AC，则m－p＋n－q－r例2

化简下列式子：反思与感悟向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.探究点三|a－b|与|a|、|b|之间的关系思考1

若a与b共线，怎样作出a－b?答①当a与b同向且|a|≥|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：②当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b：思考2

通过作图，探究|a－b|与|a|、|b|之间的大小关系？答当a与b不共线时，有：||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a－b|＝|a|－|b|；当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a－b|＝|b|－|a|.同样，由向量的减法，知反思与感悟(1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义.(2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.跟踪训练3

如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设

试用a，b，c表示向量当堂测·查疑缺1234A12342.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(

)C12340123413呈重点、现规律1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，

就可以把减法转化为加法.即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b).2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.§2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.明目标、知重点1.向量数乘运算：实数λ与向量a的积是一个

，这种运算叫做向量的

，记作

，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝

.向量填要点·记疑点(2)λa(a≠0)的方向特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝

或λ0＝

.数乘λa|λ||a|λ>0λ<0002.向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝

.(2)(λ＋μ)a＝

.(3)λ(a＋b)＝

.特别地，有(－λ)a＝

＝

；λ(a－b)＝

.(λμ)aλa＋μaλa＋λb－(λa)λ(－a)λa－λb3.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使

.4.向量的线性运算：向量的

、

、

运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝

.b＝λa加减数乘λμ1a±λμ2b探要点·究所然情境导学引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现.如力与加速度的关系F＝ma，位移与速度的关系s＝vt.这些公式都是实数与向量间的关系.师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：

a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反.师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题.探究点一向量数乘运算的物理背景思考1

一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v表示，试在直线l上画出3v向量，看看向量3v与v的关系如何？答∴3v与v的方向相同，|3v|＝3|v|.思考2

已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？答＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.思考3

一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？答λa仍然是一个向量.(1)|λa|＝|λ||a|；(2)λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反；λ＝0时，λa

＝0.方向任意.探究点二向量数乘的运算律思考1

根据实数与向量积的定义，可以得哪些数乘运算律？答设λ，μ∈R，则有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.思考2

向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同.你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？答①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R).如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立；如果λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向.因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以λ(μa)＝(λμ)a.例1

计算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).解(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.反思与感悟向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.跟踪训练1

计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；解原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).解原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.思考1

请观察a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答a、b有何关系？答因为b＝－2a，所以a、b是平行向量.思考2

若a、b是平行向量(a≠0)能否得出b＝λa？为什么？

答可以.因为a、b平行，它们的方向相同或相反.探究点三共线向量定理及应用

例2

已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？解若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，所以λ不存在，所以a与b不共线.反思与感悟(1)本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线⇔b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.跟踪训练2

已知非零向量e1，e2不共线.(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值.解∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，探究点四三点共线的判定令1－λ＝α，λ＝β，则观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线.反思与感悟本题给出了证明三点共线的方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a＝λb，先证向量共线，再证三点共线.＝10e1＋15e2.当堂测·查疑缺12341.化简：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；解原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.12341234123412344.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？解∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，1234故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线.呈重点、现规律

§2.3平面向量的基本定理及坐标表示

2.3.1平面向量基本定理明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.明目标、知重点1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的

向量a，

实数λ1，λ2，使a＝

.(2)基底：把

的向量e1，e2叫做表示这一平面内

向量的一组基底.不共线填要点·记疑点任意有且只有一对λ1e1＋λ2e2不共线所有2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个

向量a和b，如图，作则

＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.①范围：向量a与b的夹角的范围是

.②当θ＝0°时，a与b

.③当θ＝180°时，a与b

.(2)垂直：如果a与b的夹角是

，则称a与b垂直，记作

.非零∠AOB[0°，180°]同向反向90°a⊥b探要点·究所然情境导学在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？探究点一平面向量基本定理的提出答通过观察，可得：思考2

根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？答若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a

，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.思考3

上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？平面向量的基底唯一吗？答同一平面内可以作基底的向量有无数组，不同基底对应向量a的表示式不相同.平面向量的基底不唯一.只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底.探究点二平面向量基本定理的证明思考1

证明定理中λ1，λ2的存在性.如图，e1，e2是平面内两个不共线的向量，a是这一平面内任一向量，a能否表示成λ1e1＋λ2e2的形式，请通过作图探究a与e1、e2之间的关系.过点C分别作平行于OB，OA的直线，交直线OA于点M，交直线OB于点N，思考2

证明定理中λ1，λ2的唯一性.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是和e1、e2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2，证明λ1，λ2是唯一确定的.(提示：利用反证法)答假设存在另一组实数λ′1，λ′2也能使a＝λ′1e1＋λ′2e2成立，则λ′1e1＋λ′2e2＝λ1e1＋λ2e2.∴(λ′1－λ1)e1＋(λ′2－λ2)e2＝0.∵e1、e2不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0，∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.∴使a＝λ1e1＋λ2e2成立的实数对λ1，λ2是唯一的.探究点三向量的夹角思考1

已知a、b是两个非零向量，过点O如何作出它们的夹角θ？两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量夹角时，要注意什么事项？∠AOB＝θ，就是a与b的夹角.两个非零向量夹角的范围是0°≤θ≤180°，确定两个向量夹角时要注意先使向量的始点相同，再确定大小.思考2

在等边三角形ABC中，试写出下面向量的夹角？例1

已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.解∵a，b不共线，∴可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.解得x＝1，y＝－2，∴c＝a－2b.反思与感悟选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.反思与感悟用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.例3

已知|a|＝|b|，且a与b的夹角为120°，求a＋b与a的夹角，a－b与a的夹角.∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°.反思与感悟求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.跟踪训练3

如图，已知△ABC是等边三角形.解(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.如图，延长AB至点D，使AB＝BD，∵∠DBC＝120°，解∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，当堂测·查疑缺12341.等边△ABC中，

与的夹角是(

)A.30°

B.45° C.60° D.120°D12342.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.①②④12341234解连接AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点，1234呈重点、现规律1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.§2.2平面向量的线性运算2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.明目标、知重点1.平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个

的向量，叫做把向量正交分解.(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个

i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝

，则

叫做向量a的坐标，

叫做向量a的坐标表示.互相垂直填要点·记疑点单位向量xi＋yj有序数对(x，y)a＝(x，y)2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝

，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(x，y)(x2－x1，y2－y1)(x1＋x2，y1＋y2)(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝

，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝

，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)探要点·究所然情境导学我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标来表示？探究点一平面向量的坐标表示思考1

如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底.思考2

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？小结在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.显然有，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).思考3

在平面直角坐标系中，作向量

＝a，若

＝(x，y)，此时点A的坐标是什么？根据右图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.答A(x，y)；a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3).探究点二平面向量的坐标运算思考1

设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？答a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j.思考2

根据向量的坐标表示，向量a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？用数学语言描述上述向量的坐标运算.答a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2);a－b＝(x1－x2，y1－y2);λa＝(λx1，λy1).两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.思考3

已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量

的坐标是什么？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？点的坐标与向量的坐标有何区别？答

＝(x2－x1，y2－y1).任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号.(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同.(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y).例1

已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐标.解a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5,－3)，3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19).反思与感悟(1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算.跟踪训练1

已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；解2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a－3b；解a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).例2

已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.解设c＝xa＋yb，则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)＝(－2x＋3y,3x＋y)，解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.反思与感悟待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法.跟踪训练2

已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用b，c表示a.解设a＝λb＋μc(λ，μ∈R).则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ).解由A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，得＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).∴点M的坐标为(－11，－15).反思与感悟向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题.跟踪训练3

已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标.解不妨设A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，第四个顶点为D(x，y).则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形.∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3).(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15).综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15).1.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于(

)A.(－2,1) B.(2，－1)C.(2,0) D.(4,3)解析

b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.当堂测·查疑缺1234B1234A12341234答案A12344.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________.7呈重点、现规律1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系.关系图如图所示.2.向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同.3.向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误.§2.2平面向量的线性运算2.3.4平面向量共线的坐标表示明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.明目标、知重点1.两向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).(1)当a∥b时，有

.(2)当a∥b且x2y2≠0时，有

即两向量的相应坐标成比例.x1y2－x2y1＝0填要点·记疑点2.若

则P与P1、P2三点共线.当λ∈

时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；当λ∈

时，P位于线段P1P2的延长线上；当λ∈

时，P位于线段P1P2的反向延长线上.(0，＋∞)(－∞，－1)(－1,0)探要点·究所然情境导学前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算.这就为解决问题提供了方便.我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b＝λa，那么这个条件是否也能用坐标来表示？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示.探究点一平面向量共线的坐标表示思考1

a与非零向量b为共线向量的等价条件是有且只有一个实数λ使得a＝λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？答向量a，b共线(其中b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0思考2

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0，请写出证明过程.答∵a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.∴x2，y2不全为0，不妨假设x2≠0.∵a∥b，∴存在实数λ，使a＝λb，即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，思考3

如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？答当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向.例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等.例1

已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？解ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行，反思与感悟此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.方法一∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0，例2

已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.∵直线AB、AC有公共点A，∴A、B、C三点共线.反思与感悟利用共线向量是判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的，而利用共线向量更加简捷.跟踪训练2

已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，试求m的值.即(1,2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ).即m＝6时，A，B，C三点共线.思考1

设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段P1P2的中点P的坐标.答如图所示，∵P为P1P2的中点，探究点二共线向量与中点坐标公式思考2

设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2).点P是线段P1P2的一个三等分点，求P点的坐标.答点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：思考3

已知△ABC的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3).求△ABC的重心G的坐标.答延长AG交BC于点D，∵G为△ABC的重心，∴D为BC的中点，则(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，∴P点坐标为(－5,8).反思与感悟在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论.∴x2＋y2＝52.∴4λ2＋9λ2＝52，λ＝2(λ>0).当堂测·查疑缺12341.下列各组的两个向量共线的是(

)A.a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)B.a2＝(1，－2)，b2＝(7,14)C.a3＝(2,3)，b3＝(3,2)D.a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)D12342.已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是(

)A.1 B.－1C.4 D.－4解析∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.D1234D1234

呈重点、现规律

2.向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面.(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.§2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(一)明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.明目标、知重点1.两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b，作

＝a，

＝b，则

称作向量a和向量b的夹角，记作

，并规定它的范围是

.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝

.(2)当

时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作

.∠AOB填要点·记疑点〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π〈b，a〉a⊥b2.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量

叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

，其中θ是a与b的夹角.(2)规定：零向量与任一向量的