锐角三角函数导学案

第七章锐角三角函数（1）正切函数学习目的1、认识锐角的正切的概念。2、会求一种锐角的正切值。3、经历操作观测思索求解等过程，感受数形结合的数学思想措施。学习重点：锐角的正切的概念学习难点：锐角的正切的概念，感受数形结合的数学思想措施知识要点在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作情境创设问题1.我们从家到学校，免不了要爬坡，有些坡好爬，有些坡爬起来很累，这是为何？观测斜坡的倾斜程度，你有什么发现？怎样刻画斜坡的倾斜程度？如上图，这两个直角三角形中，∠C=∠C′=90°，且有一条直角边相等，但斜边不相等，哪个坡更陡？本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思索：当锐角固定期，两直角边的比值与否也固定？②给出正切概念：如图，在Rt△ABC中，，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：.二、经典例题例1．根据下图中所给条件分别求出下图中∠A、∠B的正切值。通过上述计算，你有什么发现？互余两角的正切值．例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3,AB=5，求∠ACD、∠BCD的正切值。结论：等角的正切值．例3．如图（1），∠A=30°，∠C=90°，根据三角函数定义求出30°、45°、60°的正切值．（1）（2）（3）例4．如图，∠A=15°，∠C=90°，求出15°正切值．随堂演习1.（1）在直角三角形ABC中，∠C=90°，b=9,a=12,则=，tanB=。（2）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则的＝．（3）在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,tanA=2，则BC长为。2.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（）A．B．C．D．ABABCC’B’3．Rt△ABC中，∠C=90°，若，则tanA=。4．在，若将各边长度都扩大为本来的2倍，则∠A的正切值（）A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变5.在Rt△ABC中∠A=75°，∠C=90°，求出75°正切值．9．等腰三角形ABC的底边为10cm，周长为36cm，求tanC.AABC§7.2正弦、余弦(1)学习目的：1、认识锐角的正弦、余弦的概念。2、会求一种锐角的正弦、余弦值。3、经历操作观测思索求解等过程，感受数形结合的数学思想措施。教学重点：锐角的正弦、余弦的概念教学难点：锐角的正弦、余弦的概念，感受数形结合的数学思想措施知识要点：1、正弦的定义如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________，即：sinA＝________=________.2、余弦的定义如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。（你能写出∠B的正弦、余弦的体现式吗？）试试看____________________.教学过程一、情景创设1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，假如他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了am呢？2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？20m13m20m13m3、B在△ABC中,∠C=90°.锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦,B记作sinA.CACA锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦,记作cosA.二、经典例题例1.根据图中数据,分别求出∠A,∠B的正弦,余弦.练习：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、，且，，，下面四个式中错误的有()①sin；②cos；③tan；④sinA．1个B．2个C．3个D．4个例2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、，：=2：3，求sinA与sinB的值。例3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD⊥AB于D，AC=8。试求：⑴sinA的值；⑵cos∠ACD的值；⑶CD的长。练习：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA＝_____，cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____。在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，则tanB=________,cosB=______,sinB=_______4、比较：sin30°与sin60°的大小;cos30°与cos60°的大小?随堂演习：(第2题)1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则sinA=。(第2题)2．如图，P是∠的边OA上一点，且P点坐标为（3,4），则sin=，cos＝.(第3题)3．如图△ABC中，∠C=90°，sinA=，则BC：AC=()(第3题)A．3：4B．4：3C．3：5D．4：54．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则cosB=()A．B．C．D．§7.2正弦、余弦(2)学习目的：1、认识锐角的正弦、余弦的概念。2、会求一种锐角的正弦、余弦值。3、经历操作观测思索求解等过程，感受数形结合的数学思想措施。教学重点：运用正弦余弦的有关概念处理问题。教学难点：运用正弦余弦的有关概念处理问题。复习导入如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=12,BC=5.求:sinA、cosA、sinB、cosB的值.你发现sinA与cosB、cosA与sinB的值有什么关系吗?结论：二、经典例题比较大小①sin40゜cos40゜②sin80゜cos30゜③sin45゜cos45゜2．已知α为锐角:（1）sinα=，则cosα=______,tanα=______,（2）cosα=，则sinα=______,tanα=______,（3）tanα=，则sinα=______,cosα=______,三．经典例题例1、如图，BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，S△AFD:S△EFB=9，∠BAE=，求sin+cos的值；分析由已知易证Rt△AFD∽Rt△EFB，再根据S△AFD：S△EFB=9，可得AF：EF=3，AF=3EF；由勾股定理可求出AE=EF，从而轻易求得sin，cos的值。例2、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD=CD，BC=10，则AB的值是（）A．9B．8C．6D．3例3、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=1，cosB=，求这个菱形面积。随堂演习1．△ABC中，∠C=90°，若tanA，则sinA=。2．△ABC中，∠C=90°，AC=AB，则sinA=，tanB=。3.在Rt△ABC中,∠C=90º,且锐角∠A满足sinA=cosA,则∠A的度数是()A.30ºB.45ºC.60ºD.90º4.在Rt△ABC中,∠C=90º,sinA=,则BC:AC:AB等于()A.1:2:5B.C.D.5.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是()A.B.(第6题)C.D.(第6题)6．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为，高度BC为米(成果用含的三角函数表达)。7．△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=3，则下列结论对的的是()。A．B．C．D．7.34特殊角的三角函数与由三角函数值求锐角学习目的1.熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，并运用其进行求值计算。2.会根据特殊角的正弦、余弦、正切值求该锐角的大小。3.经历操作观测思索求解等过程，感受数形结合的数学思想措施。学习重点运用三角函数有关概念处理问题教学过程一、复习、归纳1．分别说出30°、45°、60°角的三角函数值。2.完毕下列表格三角函数值三角函数值三角函数θ30°45°60°sinθcosθtanθ二、典例分析例1．求下列各式的值。（1）2sin30°-cos45°（2）sin60°·cos60°（3）sin230°+cos230°练习：计算.（1）cos45°－sin30°（2）sin260°＋cos260°(3)tan45°－sin30°·cos60°(4)例2.求满足下列条件的锐角α。(1)cosα=(2)2sinα=1(3)2sinα－=0(4)tanα－1=0练习：1.若sinα=,则锐角α=________.若cosα=1,则锐角α=_________.若∠A是锐角，且3tanA=,则cosA=_________.3.已知α为锐角,当无意义时,求tan(α+15°)-tan(α-15°)的值.三、小结随堂演习：1．sin30º的值等于.∠α的补角是120°,则∠α=______,sinα=______.2．下列计算错误的是()A．B．C．D．3.求满足下列条件的锐角α:(1)cosα-=0(2)-tanα+=0(3)cosα-2=0(4)tan（α+10°）=4．计算(1)(2)5．已知tan2α－（1+）tanα+=0，求锐角α的度数．6．已知：如图，在Rt△中，，．点为边上一点，且，．求△周长．（成果保留根号）7．已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．（1）试阐明：S△ABC=absinC；（2）若a=30cm，b=36cm，∠C=30°，求△ABC的面积．7.5解直角三角形学习目的：1.理解直角三角形中5个元素的关系，会运用“勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、锐角三角函数”解直角三角形。2.通过综合运用“勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、锐角三角函数”解直角三角形提高分析问题、处理问题的能力。3.培养学生对图形的转化能力。重点：边角关系的灵活应用难点：怎样通过添加辅助线构造直角三角形，把问题转化为直角三角形中的问题来处理问题。知识点：1．解直角三角形的定义：任何一种三角形均有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一种角是直角，我们把运用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。2．解直角三角形的所需的工具。(1)两锐角互余∠A＋∠B＝90°(2)三边满足勾股定理a2＋b2＝c2(3)边与角关系sinA＝cosB＝EQ\f(a,c)，cosA＝sinB＝EQ\f(b,c)，tanA＝EQ\f(a,b)，tanB＝EQ\f(b,a)。3．一种直角三角形当已知或已知，这个直角三角形就是可解的直角三角形4．解直角三角形的四种类型和解法如下表：类型已知条件解法两边两直角边a,bc=，tanA=，B=90°-A一直角边a，斜边cb=，sinA=，B=90°-A一边一锐角一直角边a，锐角AB=90°-A，b=atanB，c=斜边c，锐角AB=90°-A，a=c·sinA，b=c·cosA5．解直角三角形时需要注意的几种问题：（1）尽量使用原始数据，少用有误差的近似值，使计算愈加精确。（2）非直角三角形问题，通过添加恰当的辅助线转化为解直角三角形问题。（3）恰当使用方程可使某些较复杂的解直角三角形问题化繁为简、化难为易。（4）在选用三角函数时，尽量做乘法，防止除法，以使运算简便。经典例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、，由下列条件解直角三角形。⑴已知，∠B=60°⑵已知，（3）已知，∠A=60°配套练习：根据下列条件解直角三角形(1)在RtΔABC中，∠C＝90o，c＝10，∠A＝30o.(2）在RtΔABC中，∠C＝90o，a＝50，c＝.例2.如图，已知在△ABC中，∠B=60°，AD=14，CD=12，S△ADC=，求BD的长。随堂演习：1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=18，则AC=，BC=。2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，，则∠A=，b=。3．在Rt△ABC中，∠C=90°，，，则tanB=，面积S=。4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC：BC=，AB=6，∠B=，AC=BC=。5．在下列直角三角形中不能求解的是（）A．已知一直角边一锐角B．已知一斜边一锐角C．已知两边D．已知两角6.ΔABC中，∠A＋∠B＝90O,cosA＝，则sinB＝，若c＝10,则a＝．7.解直角三角形在Rt△ABC中8.为测量松树AB的高度，一种人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52º,已知人的高度是1.72米，求树高（精确到0.01米）（tan52º=1.2799）9．某块绿地的形状如图所示，其中∠BAD=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长。(参照数据：eq\r(2)≈1.414,eq\r(3)≈1.732,精确到1m)§7.6锐角三角函数的简朴应用（1）学习目的：1.经历探索实际问题的求解过程，深入体会三角函数在处理问题过程中的应用。2.能把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算并能对成果的实际意义进行阐明。3.对的理解“旋转角、仰角、俯角、视线、方位角”从而对的理解实际问题，处理实际问题。重点：灵活应用“锐角三角函数、勾股定理”解直角三角形难点：发现、构造可解的直角三角形和需解的直角三角形方向角∠方向角∠1：北偏东30度。∠2：南偏西60度旋转角：∠旋转角：∠AOB∠1是俯角，∠2仰角1122解题要领：把实际问题抽象为几何问题，画出几何图形，明确已知量和未知量，通过添加合适辅助线，构造直角三角形，处理实际问题。问题引入：长为90CM的单摆AB旋转30°后，最低点B升高了多少？经典例题国庆长假，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场大型摩天轮的半径为20米，旋转一周需要12分钟。小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5米）开始一周的观光。（1）2分钟后，小明离地面的高度是多少（精确到0.1米）？（2）摩天轮启动多长时间后，小明和地面的高度将初次到达9m?(提醒cos55°=0.575)(3)小明将有多长时间持续保持在离地面9m以上的高度？例2．升国旗时，某同学站在离旗杆底部20m处行注目礼，当国旗升至旗杆端时，该同学视线的仰角恰为40°，若双眼离地面1.5m，则旗杆高度为多少m?（sin40°=0.64,tan40°=0.84）（图6）例3．某商场为缓和本市“停车难”问题，拟建造地下停车库，图6是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18o，C在BD上，BC＝0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应当以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出对的的成果．（成果精确到0.1m）参照数据：sin18°=0.31,cos18°=0.95，tan18°=0.32（图6）随堂演习：1．小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度。(计算成果精确到0.1米，)2．汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为，B村的俯角为（如图）．求A、B两个村庄间的距离．（成果精确到米，参照数据）3．水平地面上的甲、乙两楼的距离为30米，从甲楼顶部测得乙楼顶部的仰角为30°，测行乙楼底部的俯角为45°．求甲、乙两楼的高度．§7.6锐角三角函数的简朴应用（2）学习目的：1.经历探索实际问题的求解过程，深入体会三角函数在处理问题过程中的应用。2.能把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算并能对成果的实际意义进行阐明。3.对的理解“旋转角、仰角、俯角、视线、方位角”从而对的理解实际问题，处理实际问题。重点：借助列方程灵活应用锐角三角函数解直角三角形难点：几种可解的直角三角形和需解的直角三角形之间的联络解题要领：把实际问题抽象为几何问题，画出几何图形，通过添加合适辅助线构造直角三角形，注意抓住几种直角三角形之间的公共边角，灵活应用锐角三角函数借助列方程解直角三角形。问题引入：我校九年级某班在测量校内旗杆高度的数学活动中，同学们设计了两种测量方案，并根据测量成果填写了如下《数学活动汇报》中的一部分．请你把下表中计算过程和成果填写完整课题测量校内旗杆高度目的运用所学数学知识与数学措施处理实际问题——测量旗杆高度方案BABACDMN方案二示意图DDAMCNGB测量工具皮尺、测角仪皮尺、测角仪测量数据：，，，，计算过程（结果保留根号）解：解：测量成果经典例题小明为了测量停留在空中的气球的高度，他先在地面上找一点，站在这点测得气球的仰角为27°，然后向气球方向走了50米，测得气球的仰角为40°。这时他就能算出气球的高度了。他是怎样求得气球的高度呢？（小明的身高是1．6米）（tan27°=0.51,tan40°=0.84,成果精确到0．1米）27270400例2．如上图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.求：△ABC的面积(成果可保留根号).例3．如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（成果可保留根号）图图随堂演习：如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处与楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高。2.如图，飞机沿水平方向（A、B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了防止飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机可以测量的数据有俯角和飞行的距离（因安全原因，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一种距离MN的方案，规定：(1)指出需要测量的数据（用字母表达，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离MN的环节.(2题图)(2题图)§7.6锐角三角函数的简朴应用（3）学习目的：1.对的理解“坡度、坡角、倾斜角”等在实际问题中的意义。2.能综合运用解直角三角形的知识处理实际问题，深入培养“把实际问题转化为数学问题”的能力．重点：用三角函数有关知识处理工程中的有关实际问题难点：根据处理问题的需要，对的添加辅助线，从而运用解直角三角形的措施处理实际问题知识点：坡度的概念，坡度与坡角的关系。如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝EQ\f(AC,BC)，坡度一般用l：m的形式，例如下图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以懂得，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就陡。（一）与（二）比较：（一）中坡度小，坡角∠A小，坡面平缓；（二）中坡度大，坡角∠A′大，坡面陡尝试练习：(图3)如图3，一种小球由地面沿着坡度的坡面向上前进。(图3)若小球升高了10m，此时小球沿坡面向上前进米；若小球沿坡面向上前进10m，此时小球升高米。典例剖析：例1．某数学活动小组组织一次登山话动。他们从山脚下A点出发沿斜坡AB抵达B点．再从B点沿斜坡BC抵达山巅