一元多项式因式分解的几种常用方法

一元多项式因式分解的几种常用方法

1建立问题型的无理根对于方程f（x）=anxn和an-1xn-1，l，a1x和a0的多元平均值，首先考虑使用综合去除法分解未知数。例1对多项式25x3-15x2-23x+5进行因式分解解:多项式最高次项系数25的因子有±1,±5,±25,常数项5的因子有±1,±5,所以这个多项式的根有可能是±1‚±15‚±125‚±5。逐一检验,得出15是多项式的有理根。根据综合除法,所以,原式=(x-15)(25x2-10x-25)=(5x-1)(5x2-2x-5)综合除法虽然可以分解出一元多项式的整因式,但是有时需要试验的因子很多,而对每个因子都要做一次相应的综合除法,这给计算增加了一些麻烦。2prs-1sx二元因式数域P上任一次数大于0的多项式f(x)都有惟一的标准分解式:f(x)=apr11(x)pr22(x)LPrss(x)(*)其中a为f(x)的首项系数,p1(x),Lps(x)是P上首项系数为1的不可约多项式且两两互异,r1,r2,L,r5都是正整数。对(*)式两边求导,得:f′(x)=a·g(x)·pr1-11(x)pr2-12(x)Lprs-1s(x)其中每个p1(x)都不能整除g(x)。我们还可以得到:(f(x),f′(x))=pr1-11(x)pr2-12(x)Lprs-1s(x)则存在q(x)=ap1(x)p2(x)Lps(x),使f(x)=(f(x),f′(x))q(x),由此可见q(x)和f(x)具有完全相同的因式,差别只是q(x)中的因式的重数为1,所以求f(x)的因式就可以转化成求q(x)的因式。例2求f(x)=x5-10x3-20x2-15x-4的标准分解式解:f′(x)=5x4-30x2-40x-15,(f(x),f′(x))=x3+3x2-3x+1=(x+1)3,得q(x)=f(x)f(f(x)‚f′(x))=x2-3x-4=(x-4)(x+1),所以,f(x)=(f(x),f′(x))q(x)=(x+1)4(x-4)这种分解因式的方法很实用,就是把原多项式转化成新的多项式进行分解,新的多项式都是次数较小,比较容易因式分解的,一般中学的方法就可以了。求(f(x),f′(x))用辗转相除法,求用带余除法。3将原式中的二元原式转化为成添加形式的二阶行列式在高等代数中,行列式是一个较好的工具,我们可以巧妙地运用行列式的相关性质对一些多项式进行因式分解。我们知道二阶行列式|a11a12a21a22|=a11a22-a12a21,由此启发,可以将一个多项式F表示成2个新的多项式的差,而每个新的多项式又可表成2个多项式的乘积,即F=MN-PQ,于是F=|ΜΡQΝ|,也就是把多项式F转换成二阶行列式的形式,然后再对这个二阶行列式进行初等变换,提出因式。例3对多项式x4-6x3+x2-24x-20进行因式分解解∶原式=x2(1+6x+x2)-4(5+6x)=|x25+6x41+6x+x2|=|x2-44-x241-6x+x2|=(x2-4)|1-141+6x+x2|=(x2-4)(x2+6x+5)=(x+2)(x-2)(x+1)(x+5)x4+6x3+x2-24x-20转化为|x25+6x41+6x+x2|,而不是其它的形式,是为了在接下来的初等变换中,提出因子(x2-4)。这种化为二阶行列式进行因式分解的方法技巧性较强,关键在于如何把原多项式转换成恰当的二阶行列式,操作有点难度,不便通用。下面介绍一种比较一般的方法:对任意的一元n次多项式P(x)=anxn+an-1xn-1+L+a1x+a0均可写成n阶行列式的形式Ρ(x)=|x-10L000x-1L00000Lx-1a0a1a2Lan-2anx+an-1|在此基础上,利用行列式性质,通过降阶和提取公因式的方法分解。例4对多项式f(x)=5x4+24x3-15x2-118x+24进行因式分解解∶f(x)=|x-1000x-1000x-124-118-155x+24|=|x-1000x-1000x-124-1185x2+24x-150|=|x-100x-124-1185x2+24x-15|=(5x-1)|x5x-150x1242x+5|=-(5x-1)|x-124-x2-5x+2|=3(5x-1)|x1813(x2+5x-2)|=3(5x-2)|x13x+1813x2+53x+23|=(5x-1)|xx+38(x+3)(x+2)|=(x+3)(5x-1)|x18x+2|=(x+3)(5x-1)(x+4)(x-2)4求各单位根的标准分解式复数1的n次方根,即多项式f(x)=xn-1的n个复根,称为n次单位根。n次单位根是εk=cos2kπn+isin2kπn(k=0‚1‚2‚L‚n-1)单位根在复数域中具有特殊的地位,具有许多独特的性质。下面我们利用它来求多项式f(x)=xn-1+xn-2+L+x+1在复数域、实数域或有理数域上的标准分解式。例5求f(x)=x7+x6+L+x2+x+1在实数域上的标准分解式解:因为(x-1)f(x)=x8-1,所以先求x8*-1在实数域上的标准分解式。x8-1的8次单位根是ε0=cos0+isin0=1ε1=cosπ4+isinπ4=√22+√22iε2=cosπ2+isinπ2=iε3=cos3π4+isin3π4=-√22+√22iε4=cosπ+isinπ=-1ε5=cos5π4+isin5π4=-√22-√22iε6=cos3π2+isin3π2=-iε7=cos7π4+isin7π4=√22-√22i其中ε0,ε4是实根,其余都是虚根,ε1与ε7共轭,ε2与ε6共轭,ε3与ε5共轭。又由于ε1+ε7=√2‚ε1⋅ε7=1‚ε2+ε6=0‚ε2⋅ε6=1‚ε3+ε5=-√2‚ε3⋅ε5=1,所以在实数域上,x8-1=∏i=07(x-εi)=(x+1)(x-1)(x2+1)(x2-2x+1)(x2-2x+1)从而得到f(x)在实数域上的标准分解式为:f(x)=(x2+1)(x+1)(x2+2x+1)(x2-2x+1)值得注意的是,利用单位根分解因式的方法局限性很大,仅适