概率统计试题库及答案

PAGE.PAGE.概率论与数理统计试题库一、填空题〔一〕第一章设A、B、C表示三个随机事件，试用A、B、C表示以下事件：①三个事件都发生________________；②A、B发生，C不发生_____________；③三个事件中至少有一个发生________________________。〔，，〕设A、B、C为三个事件，那么这三个事件都发生为；三个事件恰有一个发生为。〔〕。设A、B、C为三个事件，那么这三个事件都不发生为；三个事件至少有一个发生为。〔〕设A、B、C表示三个事件，那么事件"A、B、C三个事件至少发生一个〞可表示为，事件"A、B、C都发生〞可表示为，事件"A、B、C三事件中至少有两个发生〞可表示为。〔，，〕设A、B、C为三事件，那么事件"A发生B与C都不发生〞可表示为_____________;事件"A、B、C不都发生〞可表示为_______________；事件"A、B、C都不发生〞可表示为______________。〔,;〕___________；_____________；____________。〔，，〕设事件A、B、C，将以下事件用A、B、C间的运算关系表示：〔1〕三个事件都发生表示为：_____________；〔2〕三个事件不都发生表示为：_____________；〔3〕三个事件中至少有一个事件发生表示为：___________。〔，，〕用A、B、C分别表示三个事件，试用A、B、C表示以下事件：A、B出现、C不出现；至少有一个事件出现；至少有两个事件出现。〔〕当且仅当发生、不发生时，事件______________发生。〔〕以A表示事件"甲种产品畅销，乙种产品滞销〞，那么其对立事件表示。〔甲种产品滞销或乙种产品畅销〕有三个电子元件，用分别表示事件"元件正常工作〞，试用表示以下事件：三个元件都正常工作；恰有一个元件不正常工作；至少有一个元件正常工作。()假设事件A发生必然导致事件B发生，那么称事件B_________事件A。〔包含〕假设A为不可能事件，那么P(A)=；其逆命题成立否。〔0，不成立〕设Ａ、Ｂ为两个事件，P(A)＝０.5,P(A－B)=0.2，那么。〔0.7〕设，，假设互不相容，那么__________；假设相互独立，那么___________。〔0.3，0.5〕设为二事件，且，，那么_______。〔0.16〕，，与相互独立，那么=_______。〔0.58〕，，那么___________。〔〕，P(，那么____________.〔〕。〔0.6〕设随机事件A与B互不相容，且P〔A〕＞P〔B〕＞0，那么。〔1〕P〔A〕=4/15，P〔B〕=7/15，P〔A|B〕=1/15那么P〔AB〕=____________。〔〕随机事件A、B满足_________。〔0.7〕=_________;_______________;假设A与B互不相容，那么_______________。〔0，1，〕A,B为两事件，如果且，那么A与B______________。〔相互独立〕假设且，那么称事件与事件互为___________事件。〔逆〕设A，B是两个随机事件，P(A∪B)=0.7,P(A)=0.4,当A,B互不相容时，P(B)=;当A，B相互独立时，P(B)=。〔0.3，0.5〕，，，那么____________。〔0．60〕计算以下算式：〔1〕=_________；〔2〕=_________；〔3〕假设A,B独立,P(A)=0.3,P(B)=0.2,那么P(B-A)=_________。〔，，0.14〕设Ａ、Ｂ是两个事件，假设，那么有_______________。〔〕设，，且与相互独立，那么____________。〔0.65〕假设，那么称事件与是_____________的。(互斥)设A、B为两事件，，假设当A、B互不相容时，；假设当A、B相互独立时，。〔0.9，0.7〕设A、B为两事件，，那么当A与B互不相容时，；当A与B独立时，。〔0.4，0.5〕对于任意两个事件与有___________________________。()100件产品中有两件次品，任取三件至少有一件正品的事件是事件，其发生的概率是。〔必然，1〕100件产品中有两件次品，任取三件均是次品的事件是事件，其发生的概率是。〔不可能，0〕10件产品中有2件次品，从中任取3件，"至少有1件正品〞是_________事件，其概率为_____________；"全是正品〞是________事件，其概率为_________。〔必然，1；不可能，0〕100件产品中有3件次品，任取5件全是次品是__________事件，其概率为________________。〔不可能、0〕10件产品中有5件次品，从中随机抽取2件，一次一件，第一件是次品，那么第二件也是次品的概率为________________。〔〕将两封信随机地投入四个邮筒中，那么未向前面两个邮筒投信的概率为。〔〕某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3/4，他连续射击直到命中为止，那么射击次数为3的概率是。〔〕100件产品中有10件次品，任取5件恰有3件次品的概率为________________〔只写算式〕。〔〕某楼有供水龙头5个，调查说明每一龙头被翻开的概率为，那么恰有3个水龙头同时被翻开的概率为____________〔只写算式〕。〔〕古典概型的主要特点是：______________________________和______________________________。〔样本空间中根本领件总数是有限的，每一根本领件发生是等可能的〕100件产品中有5件次品，任取10件，恰有2件为次品的概率为_____________________〔只写算式〕。〔〕12件产品中有2件次品，不放回地从中抽取2件，一次抽一件，那么第二次取到次品的概率为____。〔〕某人射击时，中靶的概率为，如果射击直到中靶为止，那么射击次数为３的概率为_____________。一盒中装有5个白球，2个黑球，从中任取两个球，恰有一个黑球的概率是____________。〔〕在书架上任意放置8本不同的书，其中指定3本放在一起的概率为__________。〔〕在二级产品中任取一件，取到一级品是：__________事件；取到二级品是：__________事件，其概率为__________。〔不可能，必然，1〕某车间有5台相互独立运行的设备，开工率均为1/4，那么有3台同时开工的概率为__________。〔只写算式〕〔〕5人排成一排照相，其中a.,b两人不能相邻照相的概率为_________。〔〕4.3个人选等可能地选择五条不同的道路，那么至少有两人选择同一条道路的概率为：_________。〔〕两人在1到10个中允许重复地各选取一个,那么最大为5的概率为_________。〔〕甲乙两人赌博约定五局三胜,设两人每局的胜率相等.在甲已胜二场,乙已胜一场的情况下,乙最终获胜的概率为_________。〔〕设，是两个事件，且，那么___________________。〔〕当事件，，两两独立时，那么有________________。〔〕设，为事件，且，那么有________________。〔〕，，，那么____________。〔0.5〕随机事件A的概率P(A)=0.5，随机事件B的概率P(B)=0.6，条件概率P(B|A)=0.8,那么P(A∪B)=。〔0.7〕P〔A〕=0﹒6，P〔B〕=0﹒4，P〔A︱B〕=0﹒45，那么P〔AB〕=。〔0.82〕某车间有5台相互独立运行的设备，开工率均为p，假设至少有3台设备同时开工生产才能正常进展,那么生产能正常进展的概率为_________。〔只写算式〕〔〕设试验的样本空间为，为的事件，为的一个划分，且，那么____________。〔〕设试验的样本空间为，为的事件，，为的一个划分，且，，，那么________________________。()〔二〕第二章100件产品中有3件次品，任取5件，设为5件中所含次品数，那么的可能取值为_________________。从装有5个白球和2个黑球的盒中，从中随机地取两个球的，其样本空间有_______个样本点;假设每次取一个，无放回地取两次，其样本空间S又有_______个样本点.。〔〕设随机变量可取三个值，且，，那么_________。〔0.3〕随机变量的分布函数为，那么=。设随机变量ξ可取0，1，2三个值，且P{ξ=1}=0.3,P{ξ=2}=0.2,那么P{ξ=0}=_____________。〔0.5〕连续型随机变量X的分布函数为那么P{0.5<X<1.5}=____________,P{X>2/3}=______________。〔0.75,〕设随机变量X的分布律为。〔0.9〕设是一个随机变量，是任意实数，那么的分布函数______________。()设连续型随机变量服从上的均匀分布，那么的概率密度________________。()设某随机变量X的分布律为，，那么C=___________。()在上均匀投点，点落在上的概率为_________________。(0.5)设为随机变量的概率密度，那么__________________。(1)假设连续型随机变量，那么，服从______________________分布。()假设连续型随机变量，那么，服从______________________分布。()某车间有5台相互独立运行的设备，开工率均为，那么恰有2台同时开工的概率为_____________〔只写算式〕。()10件产品中有3件次品，不放回地从中抽取2件，一次抽一件，第一次取到的是正品，那么第二次取到次品的概率为____。()设随机变量服从参数为的泊松分布，那么_____________。()设随机变量的分布律为为常数，那么_____________。()设随机变量具有概率密度那么A=___；____________。(，)设连续型随机变量的分布函数为，那么c=，密度函数f(x)=,数学期望_________________。()随机变量的分布函数为，那么=__________。(0.1)连续型随机变量X的密度函数为f(x),那么=。(1)设随机变量X~N〔0,1〕，φ〔x〕为其分布函数，那么φ〔x〕+φ〔-x〕=。〔1〕.随机变量的分布函数为，那么P(X=1)=__，P(X=2)=__,P(X=3)=__。〔P(X=1)=0.4,P(X=2)=0.1,P(X=3)=0.5〕设，那么X的函数Y=~N(0,1)。〔〕设，且，那么=__________。〔0.05〕。〔〕设随机变量的分布函数为，那么对于任意实数，有____________。〔〕设连续型随机变量服从区间上的均匀分布，那么的分布函数___________________。〔〕设随机变量具有概率密度，，那么常数_____________________。〔3〕设连续型随机变量服从正态分布，那么的概率密度为__________________。〔〕设正态随机变量密度函数，那么；。〔〕设随机变量的分布函数为,那么随机变量的概率密度函数为。〔〕随机变量X的概率密度为，令，那么的概率密度=。〔〕设随机变量，且，那么___________________。〔〕设，〔用表示〕。〔〕(,)。〔N(3,42)〕〔三〕第三章设二维随机变量的联合分布律为，，那么____________。设二维随机向量〔X，Y〕的联合分布列为YX0120120那么P{X＝0}＝。〔〕设〔ξ，ζ〕是二维随机变量，分别表示(ξ,ζ)的联合概率密度及边缘概率密度，假设ξ,ζ相互独立，那么三者关系为_______________________。设的联合分布律，那么。〔〕设二维随机变量与的联合概率密度为，那么关于的边缘概率密度为________________；关于的边缘概率密度为__________________。〔，〕设二维随机变量和的联合概率密度为，那么____________；X和Y的联合分布函数_________________。〔1，=〕设离散型随机变量的分布律为，，那么_______________。〔1〕设是连续型随机变量，，，分别为的概率密度和边缘概率密度，那么和相互独立的条件是____________________________在平面上几乎处处成立。〔〕设的概率密度为，那么的概率密度为______________________。〔=〕对随机变量，假设对任意都有，那么称随机变量与是的。〔独立〕(四)第四章，，那么，，。〔3，3.75，15〕设随机变量，且，，那么；；。〔6，0.4，〕某单位有200人购置体育彩票，该彩票的中奖率为，那么可能获奖人数平均为________人。〔9〕,那么；假设，而，那么__________。〔，〕设随机变量服从上的均匀分布，那么，。〔，〕设随机变量的概率密度为那么。〔〕某班工人每天生产中出现次品数的概率分布为1234P0.20.30.40.1那么平均每天出次品件。〔2．4〕地铁运行间隔时间为12分钟，乘客在任意时刻进站台，乘客平均候车时间为分钟。〔6〕假设～，。〔10；5〕E〔ξ〕=0.5,E〔ξ2〕=3,那么E〔4ξ〕=__________，D〔ξ〕=__________，D〔2ξ+3〕=_____________。〔2，2.75，11〕设ξ～B〔4，0.1〕,那么E〔ξ〕=_______，D〔ξ〕=_____________。〔0.4,0.36〕设随机变量X在区间上服从均匀分布，那么。〔0，〕8、,,那么，，。〔2，2.75，11〕设是连续型随机变量，它的概率密度为，是随机变量的函数；〔是连续函数〕，那么的数学期望表达式为___________________。〔〕〕设随机变量，且X与Y相互独立，那么_________，__________。〔-3,12〕设随机变量X的密度函数为，那么。〔〕设数学期望和方差均存在的离散型随机变量的分布律为，，那么的数学期望_____________；方差_______________。〔，〕设随机变量，那么_____________，______________。〔，〕设随机变量具有概率密度其中为常数，那么称服从参数为的________分布；____________；_____________。〔指数，，〕设连续型随机变量的概率密度为，那么的数学期望_________________。〔〕设随机变量服从上的均匀分布，那么__________;_______________。〔，〕随机变量，那么_____________；____________；____________。〔，，〕设随机变量，那么_____________，______________。〔np，np(1－p)〕设某次数学选拔赛考试成绩服从N，那么这次考试的平均分大约为__________;_______________。〔81．5，〕，那么，。〔〕服从参数的泊松分布，令，那么，。〔〕随机变量，且6，3，那么n=____________。〔12〕，那么，。〔〕E(X)=0.5，E(X2)=1，那么D(X)=______，E〔2X+1〕=______，D〔2X+1〕=______。〔0.75,2，3〕，______。〔1〕~，令，那么。〔9〕，那么E(X2+X+1)=.〔3.8〕.〔−1.2〕设随机变量，令，那么__________；______________。〔〕设随机变量，那么_________________；____________________。,，，那么________________；_________________；_____________。〔10，1，4〕假设随机变量，那么的分布律；。〔〕设存在，且，设，那么；。()假设随机变量，那么的密度函数；。〔〕，那么；。〔〕(五)第五章设是总体的样本，，分别是样本均值和样本方差，那么服从_________分布；服从_____________分布。〔,〕设是总体的样本，当未知时，置信度为的的置信区间为____________________。，为样本均值，样本容量为9，那么。〔用标准正态分布表示〕〔〕来自正态总体的一个简单随机样本为，那么样本的样本容量为，，。〔〕，为样本均值，样本容量为16，那么。〔〕.〔〕设，，且独立，那么随机变量服从分布。〔〕〔六〕第六章满足_______________的估计量是参数的无偏估计量。〔〕设为未知参数的两个___________估计，且满足________________,那么称更有效。〔无偏，〕设的估计量，那么不是总体的无偏估计，这是因为______________________。〔〕设X1,X2,…,Xn,是总体X的一个样本,且D(X)=,那么的矩估计量=______________________。〔〕假设估计量的数学期望存在，且是的无偏估计量，那么有__________________。〔〕总体方差的无偏估计量是。〔〕(七)〕第七章，随机抽取容量为16的样本，求得，那么的置信度为的置信区间〔，〕为________________。对于一个正态总体，当方差，检验假设时所用的统计量是〔〕，它服从〔〕分布。〔〕当方差，检验假设时，拒绝域为。〔〕对于一个正态总体，当未知方差，检验假设时所用的统计量是，它服从分布。〔〕当未知方差，检验假设时，拒绝域为。〔〕假设检验是通过样本来推断总体性质的一种方法，不能绝对保证不犯错误，第一类错误是指_______________________，第二类错误是指_________________________________________。〔弃真，取伪〕设总体X的分布中含有未知参数，是由样本所确定的两个统计量，如果对于给定的有，那么随机区间__________为的置信度为__________的置信区间。〔〕设总体，为，，，……是来自总体的样本，那么的置信度为的置信区间为__________________。设总体，为未知，，，……是来自的样本，那么置信度为的置信区间为__________________________。正态总体下，当，检验假设：时，选用统计量______________。〔〕在未知正态总体方差的情况下，检验假设：时，选用统计量______________。〔〕设均为，那么的置信水平为的置信区间为。设，是总体的一个样本，那么的置信水平为的置信区间为。在假设检验中假设原假设实际为真时却拒绝，称这类错误为。弃真〔第一类错误〕正态总体的方差的置信水平为的置信区间为。二、解答题甲，乙，丙三人独立地去破译一份密码，各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问：密码被译出的概率；〔2〕甲、乙译出而丙译不出的概率。解：设分别表示三人能评出密码，那么，，①密码被译出的概率为：==②甲乙译出而丙译不出的概率为：设甲袋中装有6只白球、4只红球；乙袋中装有2只白球、3只红球，今从甲袋中任意取一只白球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问：①从乙袋取到白球的概率是多少？②假设从乙袋取到白球，那么从甲袋取到的也是白球概率的是多少？解：设="从甲袋中取到白球〞，="从乙袋中取到白球〞①=②将两信息分别编码为和传送出去，接收站收到时，被误收作的概率为，而被误收作的概率为。信息与信息传送的频率程度为。1〕假设承受站收到一信息，是的概率是多少？2〕假设承受站收到的信息是，问原发信息是的概率是多少？解：设，分别表示发出，；，分别表示收到，，那么1〕2〕某人从到办事，他乘火车、乘汽车、乘飞机的概率分别为如果乘火车去正点到达的概率为，乘汽车去正点到达的概率为0.9，乘飞机去肯定正点到达，那么：求他正点到达的概率。(2)如果他正点到达，乘火车的概率是多少？解：设分别表示该人乘火车、乘汽车和乘飞机，D表示他正点到达，那么，〔1〕〔2〕将一枚均匀的硬币连续掷三次，求至少出现一次正面的概率。解：设="至少出现一次正面〞，那么.有甲乙两批种子,发芽率分为0.8和0.7,在两批种子中各任取一粒,求:(1)两粒种子都不发芽的概率.(2)一粒发芽一粒不发芽的概率.解:设A="第一粒种子发芽〞，B="第二粒种子发芽〞，那么：有两批一样的产品，第一批12件，第二批10件，在每批中各有一件次品，任意地从第一批中抽取一件混入第二秕中，然后，再从第二批中任意抽出一件产品。试求从第二批产品中抽出次品的概率。假设从第二批产品中抽到的是次品，求从第一批产品中也抽到的是次品的概率。解：设分别表示人第一批产品和第二批产品中抽到次品,那么(1) ==.(2)= =一个工人照看三台机床，在一小时，甲、乙、丙三台机床需要人照看的概率分别是，求在一小时没有一台机床需要照看的概率。解：设分别表示甲、乙、丙机床需要照看，那么没有一台机床需要照看的概率为：将3个球随机地放入4个瓶中，求〔1〕每瓶至多有1个球的概率。〔2〕每瓶至多有2个球的概率。解：设="每瓶至多有1个球〞，B="每瓶至多有两个球〞(1)-(2)电池A、B、C安装线路如图。A、B、C是独立的，损坏的概率分别为0.3，0.2，0.1。求电路发生短路的概率。AACCBB解：设分别表示电池损坏、表示电路断电，那么=0.154两台车床加工同样的零件，第一台加工的废品率为0.03，第二台加工的废品率为0.02，加工出来的零件不加标签混合放在一起，这批零件中，由第一台车床加工的占2/3，由第二台加工的占1/3，从这批零件中任取一件。求：〔1〕取到合格品的概率。〔2〕取到的合格品是由第二台车床加工的概率。解：设="零件是第台车床加工的〞，="取到的是合格品〞，那么(1)(2)=49/146-某人忘记了的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的概率。假设最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：设="第i次拨通〞，B="拨号不超过三次而拨通〞那么-当最后一位为奇数时，同理可得：某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运过程中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个定货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？解：设A="该顾客能按所定的颜色得到定货〞在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求以下事件的概率：〔1)两只都是正品：〔2)一只是正品，一只是次品。解：设"第i次取到正品"那么：1〕2)设甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有a只白球、b只红球。今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问1)取到白球的概率是多少？2)假设取到的是白球，那么从甲袋中取出的也是白球的概率？解：设"从甲袋中取到白球〞，"从乙袋中取到白球〞那么：1〕2〕16、某篮球运发动一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运发动投篮4次，⑴求投中篮框不少于3次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率。解:设{第次投中}的事件，，，相互独立投中篮框不少于3次的事件可表为其概率为===〔2〕投篮4次均未投中的概率为至少投中篮框1次的概率为17、一箱产品有100件，次品率为10%，出厂时作不放回抽样，开箱连续地抽验3件。假设3件产品都合格，那么准予该箱产品出厂。求一箱产品准予出厂的概率。解：设="第i件产品合格〞〔i=1,2,3〕,B="一箱产品准予出厂〞,那么而所以有18、两个信号甲与乙传输到接收站，把信号甲错收为乙的概率为0.02，把信号乙错收为甲的概率为0.01，而甲发射的时机是乙的2倍，求〔1〕收到信号乙的概率；〔2〕收到信号乙而发射的是信号甲的概率。解：设="甲发出信号〞，="乙发出信号〞，B="收到信号乙〞那么有：于是有：19、将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。解：设"杯子中球的最大个数为〞，那么1〕2〕3〕20、有两箱同种类的零件，第一箱50只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任取一箱，然后再从该箱中任取一只，求：1〕取到的是一等品的概率；2〕假设取到的是一等品，它是来自第一箱的概率。解：设"取到第箱产品〞，……="取到一等品〞那么：1〕2〕21、在一标准英语字典中有55个由两个不一样的字母所组成的单词。假设从26个英文字母中任取两个字母予以排列，求能排成上述单词的概率。解：设="从26中任取2个能排列成所述单词〞那么22、袋中装有只正品硬币、只次品硬币〔次品硬币的两面均印有国徽〕。在袋中任取一只，将它投掷次，每次都得到国徽。问这枚硬币是正品的概率是多少？解：设="任取一只掷次，每次均为国徽〞,="硬币为正品〞那么=23、将n件展品随机地放入N〔N≥n〕个橱窗中去，试求〔1〕某指定n个橱窗中各有一件展品的概率；〔2〕每个橱窗中至多有一件展品的的概率〔设橱窗的容量不限〕。解：设B="某指定n个橱窗中各有一件展品〞，C="每个橱窗中至多有一件展品〞，那么〔1〕〔2〕24、A、B、C三人向一飞行物射击，A、B、C命中目标的概率分别为0.6、0.5、0.4，至少同时有两人击中时，飞行物才坠毁.①求飞行物被击毁的概率；②飞行物被击毁，求被A击中的概率。解：设D="飞行物被击毁〞。那么：1〕2〕25、一道选择题有5个备选答案，其中只有一个答案是正确的。据估计有80%的考生知道这题的正确答案；当考生不知道正确答案时，他就作随机选择。某考生答对了，问他知道该题正确答案的概率是多少？解：设="该考生知道正确答案〞,="该考生答对了该选择题〞那么=26、、、王、三名同学各自独立地去解一道数学难题，他们能解出的概率分别为，试求〔1〕恰有一人解出难题的概率；〔2〕难题被解出的概率。解：设A，B，C分别表、王、解出难题的事件，那么1〕2〕27、假设干门炮独立地向飞行物射击,命中率均为0.2,只有当飞行物同时被两门或以上的炮击中后才会坠落,求:①当配备4门炮时,飞行物坠落的概率;②至少配备多少门炮,才至少有90%的把握击中飞行物"(设lg2=0.3).解：设="飞行物坠落〞,B〞飞行物被击中〞.①X表示击中飞行物的炮数.P(A)=P(X≥2)=1-P(X≤1)==0.1808;②设配备n门炮,那么P(B)=1-P()=至少配备10门炮,才有90%的把握击中飞行物.28、A袋装有3个红球和2个白球,B袋装有2个红球和3个白球,今等可能地在A袋B袋中任选一袋,并在该袋中随机地取一球.①该球是白球的概率多少？②假设取到的是白球，计算该球取自哪一袋的概率较大？解：设="在A袋取一球〞，="在B袋取一球〞，C="取一球是白球〞①=;②显然.该球取自B袋的可能性较大。29、从装有5个白球和6个红球的袋中任取一球，不放回地取三次.求：(1)取到两个红球和一个白球的概率；(2)取到三个红球的概率.解：(1)设="取到两个红球和一个白球〞,那么有;(2)设B="取到三红球〞,那么有..30、104、在10件产品中有4件次品，任取3件(1)求恰有1件次品的概率；(2)求至少有2件正品的概率。解：设"从10件中取3件恰有1件为次品〞"从10件中取3件至少有2件正品〞那么：1〕2〕31、男子有是色盲患者，女子有是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人〔1〕此人是色盲患者的概率；〔2〕假设此人恰好是色盲患者，问此人是男性的概率？解："挑选1人为男子〞"挑选一人为色盲患者〞那么：1〕2〕32、三人在同一办公室工作，房间里有三部，据统计知，打给的的概率分虽为，他们常因工作外出，三人外出的概率分别为，设三人的行动相互独立，求：〔1〕无人接的概率；〔2〕被呼叫人在办公室的概率；假设某一时间段打进3个，求：〔3〕这3个打给同一个人的概率；〔4〕这3个打给不一样的人的概率：〔5〕这3个都打给，而却都不在的概率。解：设分别表示在办公室；表示第个找，表示第个打给，表示第部打给被呼叫人在办公室有以下三种情况：三部找同一个人，该人在办公室；三部打给两个人，这两人在办公室；三部打给不同的三个人，这三人都在办公室。以上三种情况互不相容。三个都打给的条件下，而却不在的概率为：〔二〕设随机变量X的概率密度为且，求常数c和α。解：由得解得α＝2，c＝3。设离散型随机变量X的分布律为：X012p求：(1)X的分布函数F(x)；(2)，，.解：(1)先求F(x)在跳跃点0,1,2处的值：F(0)=；F(1)=+=；F(2)=++=1.因为F(x)为非降、右连续的阶梯函数，故F(x)为：(2).==；=0；==.3、随机变量X的密度函数为求(1)常数a(2)P(<X<)解：(1)=1a=1(2)P(<X<)=4、设二维随机变量的密度函数为：(1)确定常数；(2)求边缘分布密度解：〔1〕由密度函数的性质得：===所以〔2〕，当当，==所以类似可得：设二维随机向量〔X，Y〕的联合概率密度为〔1〕求〔X，Y〕分别关于X和Y的边缘概率密度fx(x),fy(y);〔2〕判断X与Y是否相互独立，并说明理由。解：〔1〕边缘概率密度为〔2〕由于f(x,ｙ)≠fx(x)·fY(y),故X与Y不独立。随机变量ξ的概率分布密度为求：〔1〕K的值；〔2〕P{1/2<ξ<2}。解：(1)由得：，从而(2)====二维随机变量〔X，Y〕的联合密度函数为试确定常数A；求关于X和Y的边缘密度函数；判断X和Y是否相互独立。解：(1)由得：(2)(3)所以与不相互独立。设X的分布律为X-112P(1)求X的分布函数；(2)求解：(1)由，所以有：-(2)设随机变量,求随机变量的概率密度。解：设随机变量Y的分布函数为，那么有于是而，所以，Y的概率密度函数为即。-二维随机变量〔X，Y〕的联合密度函数为试确定常数A；〔2〕求关于X和Y的边缘密度函数；〔3〕判断X和Y是否相互独立。解：(1)由得：(2)(3),所以与不相互独立。X-123Pk1/41/21/4设随机变量的分布律为〔〔1〕求X的分布函数；(2)求；(3)求解：1〕的分布函数2〕设二维随机变量的概率密度为〔1〕求常数；〔2〕求边缘概率密度；解：1〕由，那么所以：2〕设X是连续型随机变量，X的密度函数为，其中为正常数。试求(1)常数A。(2)X的分布函数。解：〔1〕由得-〔2〕当时，当时，所以-设二维随机变量(X,Y)的联合密度为(1)求X，Y的边缘概率密度；(2)问X和Y是否相互独立？解：〔1〕当时，当时，所以同理有〔2〕由〔1〕知：-显然，在平面上都成立所以，X与Y是相互独立的。设随机变量的分布律为X-2-1013Pk1/51/61/51/1511/301)求的分布律；2〕求解：1)的分布律为Y0149Pk1/57/301/511/30(5)2)=设随机变量和具有联合概率密度〔1〕试确定常数；〔2〕求边缘概率密度；〔3〕判断和的独立性。解：1〕由得：所以2〕3〕,所以与不相互独立。设随机变量的概率密度为〔1〕求的分布函数；〔2〕求解：1〕2〕=2/3设二维随机变量的概率密度为(1)试确定常数;〔2)求边缘概率密度,；〔3)判断与的独立性.解：1〕由得：所以2〕3〕因，所以与不相互独立。设随机变量的分布律为X-2-1013Pk1/51/61/51/15c〔1)求确定常数c；〔2〕求的分布律；〔3〕求的分布函数。解：1〕由，得2)的分布律为Y0149Pk1/57/301/511/303)Y的分布函数为设随机变量和具有联合概率密度〔1〕试确定常数；(2〕求边缘概率密度；(3〕判断和的独立性;4)求P{0<X<1,0<Y<1}.解：1〕由得：所以2〕3〕因，所以与相互独立4)P{0<X<1,}<Y<1}=设二维随机变量的概率密度为〔1)试确定常数;(2)求边缘概率密度,.(3)判断与的独立性，(4〕求相关系数.解：1〕由得：所以2〕3〕因为，所以与相互独立4〕因为与相互独立，所以=0设随机变量的密度函数为①求常数A；②求P(X>).解：①由得②P(X>)=求Y的概率密度fY(y).解：用分布函数法两边对y求导得.设随机变量具有概率密度确定常数；〔2〕求的分布函数；〔3〕求解：1〕由，得：那么：2〕所以，3〕设二维随机变量的概率密度为〔1〕求边缘概率密度，；〔2〕判定与的独立性。解：〔1〕边缘概率密度为由于f(x,ｙ)≠fx(x)·fY(y),故X与Y不独立。某校抽样调查结果说明，考生的概率论与数理统计成绩近似地服从正态分布，平均成绩72分，96分以上的占考生总数的2.3％，求考生的概率统计成绩在60分至84分之间的概率。解:，，，查表得，．所求概率为:27、离散型随机变量X的分布律为：X012345P求:：(1).的分布律；(2)分布律。解：X012345PY=2X+11357911Z=410149故有Y1357911PZ0149P28、设随机变量X的概率密度为求的密度函数。解:当y<0时，当y>0时，=所以29、袋里有5个编号的球，其中1个球编号为1，有2个球编号均为2，有2个球编号均为3。每次从中任取两个球，以和分别表示这两个球中编号最小的和最大的。求和的联合分布律。解：的全部可能取值为，5个球从中任取2个，共有种取法。样本空间样本点总数为10，因此，，，，联合分布律用表格表示为2310.20.220.10.4300.130、将两封信投入3个编号分别为1，2，3的信箱，用分别表示投入第1，2号信箱中的信的数目。〔1〕求的分布律；〔2〕问是否相互独立？〔3〕求的分布律.。解：〔1〕的所有可能取值为0，1，2；的所有可能取值为0，1，2，。于是的分布律为0120121/92/91/92/92/901/900〔2〕，，显然，所以与不相互独立。〔3〕的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，，，，，，于是的分布律为0123431、设随机变量和的联合分布律为12300.150.300.3510.050.120.03〔1〕求关于的边缘分布；〔2〕求关于的边缘分布；〔3〕求。解：〔1〕即关于的边缘分布为010.80.2〔2〕即关于的边缘分布为1230.20.420.38〔3〕。〔三〕1、设随机变量具有密度函数求及。解：2、设离散型随机变量X的分布律是X-2-1012P(1)求Y=的分布律(2)求解：〔1〕有题意可知：随机变量Y只可能取0，1，2三个值，且有所以随机变量Y的分布律为Y012P4分〔2〕-3、设随机变量服从指数分布，其概率密度为其中，求，。解：1〕2〕4、设随机变量X的分布函数为求(1)常数A;(2)X落在[－1,0.5]的概率；〔3〕E〔X〕；D〔X〕.解：1〕由F(1)=F(1+0)得：A=12〕3〕4〕5、设随机变量的密度函数，求：〔1〕；〔2〕；〔3〕。解：〔１〕分 〔2〕分 〔3〕分6、设随机变量的分布律为：X012PA求：〔1〕A；〔2〕的分布函数；〔3〕。解：(１〕分，分 〔２〕分 〔3〕分分分7、随机变量X的分布律为X-202Pk0．40．30．3〔1〕求；〔2〕求；〔3〕求。解：1〕2〕3〕8、设随机变量服从指数分布，其概率密度为其中，求，。解：1〕2〕9、对一批产品进展检查，每次取任意取一件产品，检查后放回，再取一件产品，如此继续进展，如果发现次品，那么认为这批产品不合格而立即停顿检查；如果任取5件产品都是合格品，那么认为这批产品合格，也停顿检查。设每批产品的次品率为0.2，问平均每批要抽查多少件产品？解:设每批产品要抽查件产品，那么，，于是10、设的概率密度为〔1〕求的值，〔2〕求。解：〔1〕，由，得所以〔2〕11、随机变量X的密度函数为，，求系数.解：由，得〔1〕，由，得〔2〕由，得〔3〕由〔1〕〔2〕〔3〕解得，，。12、的概率密度为〔1〕求，〔2〕。解：〔1〕〔2〕13、设的概率密度为〔1〕问是否独立？〔2〕求〔3〕求解：〔1〕同理由于，因此相互独立。〔2〕〔3〕14、设的概率密度为，求。解：。同理，所以15、某车间有200台车床，每台车床有60%的时间在开动，每台车床开动期间的耗电量为E千瓦，问至少应供给给此车间多少电量才能以99.9%的概率保证此车间不因供电缺乏而影响生产？解：设至少需供给千瓦电量，设为同时开动的车床数，那么由，得即，所以。16、设一个系统由100个互相独立起作用的部件组成，每个部件损坏的概率为0.1，必须有84个以上的部件正常工作才能使整个系统工作，求整个系统工作的概率。解:设为整个系统处于工作状态的部件个数，那么17、有一批电子元件装箱运往外地，正品率为80%，假设要以95%的概率使箱正品数多于1000只，问箱至少要装多少只元件？解:设至少需装只元件，设为只元件中的正品数，那么，，得当充分大时，，于是，取18、一加法器同时收到100个噪声电压，设它们是相互独立的随机变量，且都在〔0，10〕上服从均匀分布，记，求的近似值。解：，，19、某厂知道自己产品的不合格率较高，因此打算在每盒〔100只〕中多装几只产品，假定，试求：〔1〕每盒〔100只〕中的次品数的分布律；〔2〕每盒中至少应多装几只产品才能使顾客不吃亏的概率至少为97.72%？解：(1)，，〔〕(2)设每盒中至少应多装只产品可达要求，那么每盒次品数为，近似地有查表得〔*〕，即，解得或而不满足〔*〕式舍去，所以取只。〔四〕设是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的最大似然估计量和矩估计量。解：总体的分布律为：样本的似然函数为：=令解得的极大似然估计又因为所以的矩估计为：2、设总体的概率密度为，其中为参数，是总体的一个样本，试求参数的矩估计值和极大似然估计值。解：〔1〕矩估计法：用代替，即，得矩估计量〔2〕极大似然估计法：似然函数解得极大似然估计值为所以极大似然估计量为3、设总体具有分布律：123其中为未知参数。取得了样本值试求的矩估计值和最大似然估计值。解：〔1〕=又令解得的矩估计值为：〔2〕样本的似然函数为：=令得因所以的最大似然估计值为：。4、设为总体的一个样本，总体的概率密度函数为其中为未知参数。求：〔1〕的矩估计量；〔2〕的极大似然估计量。解：(1)令-解得的矩估计量为：(2)似然函数为：令解得的极大似然估计量为：5、设为总体的一个样本，总体的概率密度函数为，其中为未知参数。求：〔1〕的矩估计量；〔2〕的极大似然估计量。解：(1)，令解得的矩估计量为：(2)似然函数为=令解得的极大似然估计量为：6、设总体服从参数为的指数分布，其密度函数为(),求未知参数的极大似然估计量。解：似然函数为=令解得的极大似然估计量为：7、设总体的概率密度函数为，为取自总体X的样本，求未知参数的极大似然估计量。解：似然函数为令得所以即为所求参数的极大似然估计量。8、设，，，……，是来自的一个样本，试求：〔1〕参数的矩估计量；〔2〕参数的极大似然估计解：1〕令得的矩估计量为：2〕似然函数为，令解得：的极大似然估计值为：9、设，，……是来自总体的样本，总体的密度函数为其中是未知参数，求：〔1〕参数的矩估计量；〔2〕参数的极大似然估计量。解：1〕=令解得的矩估计量为：2〕似然函数为：令得的极大似然估计为：10、设X1，X2，…，Xn为总体的一个样本，总体X的密度函数为其中C>0为，θ>1，θ为未知参数。求：〔1〕θ的矩估计量；〔2〕θ的极大似然估计量。解：1〕令得的矩估计值为；2〕似然函数为：令解得的极大似然估计值为11、设总体的密度函数为,是一样本.求：①参数λ的矩估计量；②参数λ的极大似然估计量.解：①令，即λ矩估计量为：;②似然函数为：λ的极大似然估计量为：12、为了解灯泡使用时数的均值及标准差，测量10个灯泡，得．如果灯泡的使用时数服从正态分布，求和的95%的置信区间．解:(1)这是一个未知方差求的置信度为0.95的置信区间的问题．由n=10,.查表得．因此，的95%置信区间为(2)这是一个求的置信度为0.95的置信区间的问题．查表得2.700，．的95%置信区间为．开方后得到的置信区间为［13.8，36.5］。13、为了比拟甲、乙两组生产的灯泡的使用寿命，现从甲组生产的灯泡中任取5只，测得平均寿命，标准差，从乙组生产的灯泡中任取7只，测得平均寿命，标准差，设这两总体都近似服从正态分布，且方差相等，求这两总体均值差的置信度为0.95的置信区间．解:由题设但未知，，查表＝，，那么的置信度为0.95的置信区间为即。14、两总体X，Y相互独立，，，分别取的简单随机样本，算出，试求两总体方差比的98%的置信区间．解:由估计区间公式这里，．，所以方差比的98%的置信区间为。15、某种木材横纹抗压力的实验值，对10个试件做横纹抗压力的试验数据如下：482,493,457,471,510,446,435,418,394,496(单位：公斤/平方厘米)，试以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力:(1)未知；(2)。解：①样本平均数标准差由于所给置信度，查表即以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的置信区间为，即，故置信区间为(432.30,482.70)．②假设，，以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的置信区间为，即，故置信区间为(438.91,476.09)。16、总体，抽取n=100的简单随机样本．现确定的估计区间为(43.88,46.52),试问这个估计区间的置信度是多少？解：对的正态总体，的估计区间，形式为，区间长度为，这里区间长度为46.52-43.88=2.64,由于=8,。所以，反查表，，，所以估计区间的置信度是0.90。17、某厂生产的瓶装运动饮料的体积假定服从正态分布，抽取10瓶，测得体积〔毫升〕为595,602,610,585,618,615,605,620,600,606。求出方差的置信度为0.90的置信区间。解：，,，,查表得所以方差的置信度为0.90的置信区间为(62.08,315.91)。研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率，设两者都服从正态分布，并且燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，两样本容量为,得燃烧率的样本均值分别为cm/s,cm/s，求两燃烧率总体均值差的置信度为0.99的置信区间。解：，，查表。将,，及代入得的置信度为0.99的置信区间为。设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量用一样的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为，，设分别为A,B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的，求方差比的置信度为0.95的置信区间。解：，，，查表得，,于是得方差比的置信度为0.95的置信区间为〔0.222,3.601〕〔四〕1、设，，且与相互独立，设，分别是来自，的样本，上述样本的一组观测值，且，，，，试检验：。〔，，，，〕。2、、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位学生的成绩，算得平均成绩为66.5，标准差为15分。问在显著水平下，是否可以认为这次全体考生的平均成绩为70分？解：设该次考试考生的成绩为，那么服从正态分布分布，均为未知参数：对选统计量～拒绝域：，由计算得因为，故承受假设，即认为这次考生的平均成绩为70分。3、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位学生的成绩，算得平均成绩为66.5，标准差为15分。问在显著水平下，是否可以认为这次考试考生成绩的方差为？解：设该次考试考生的成绩为，那么服从正态分布分布，均为未知参数：对选统计量～拒绝域：或经计算得，因,而故承受即认为这次考试考生成绩的方差为。某棉纺织厂在正常生产情况下，每台布机每小时经纱断头根数ξ～N〔9.73,1.622〕,为节约淀粉，对经纱进展轻桨试验，在200台布机上测试，测得每小时平均断头根数为9.89,新的上桨法是否造成断头根数显著增加"解：检验：；：选统计量：Z==1.3965<=1.65-因此，承受即认为新的上浆法会使断头根数显著增加。从1995年的新生儿〔女〕中随机地抽取20个，测得其平均体重为3160克，样本标准差为300克。根据过去统计资料知：新生儿〔女〕体重服从正态分布，其平均体重为3140克，问现在与过去的新生儿〔女〕体重有无显著差异〔〕？解：建立假设：根据题意，取统计量由显著性水平，自由度得，得统计量的观擦察值为因，从而承受假设，即认为现在与过去的新生儿〔女〕体重没有显著变化。设省、自治区20岁的男子体重分别服从均方差千克和千克的正态分布。从省20岁的男子中抽取153人，其平均体重为57.41千克；又从自治区同年龄的男子中抽取686人，其平均体重为55.95千克。试检验两地区20岁男子平均体重有无显著差异？解：设X——省20岁男子体重，Y——自自治区20岁男子体重，那么由题意，问题即在的条件下检验假设取统计量由得，由题意，统计量的观察值为于是由得出拒绝假设，也即认为两地区20岁男子平均体重有显著差异。7、某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布，某日测得5炉铁水的含碳量如下：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37如果标准差不变，铁水含碳量的均值是否显著降低〔取显著性水平〕"()解：〔2分〕检验统计量〔2分〕拒绝域〔2分〕而〔2分〕，落在拒绝域，故拒绝原假设而承受备择假设。所以认为该日铁水含碳量的均值显著降低了8、一种电子元件的寿命〔以小时计〕服从正态分布，均未知。现测得16只元件的寿命如下：159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225〔小时〕？〔取，，〕解：检验：；：选取统计量：由题意条件得：，，从而<故承受，即认为元件的平均寿命不大于225小时。9、某棉纺织厂在正常生产情况下，每台布机每小时经纱断头根数ξ～N〔9.73,1.622〕,为节约淀粉，对经纱进展轻桨试验，在200台布机上测试，测得每小时平均断头根数为9.89,新的上桨法是否造成断头根数显著增加"解：检验：；：选统计量：，计算Z==1.3968<=1.65因此，承受即认为新的上浆法不会使断头根数显著增加。10、某校进展教学改革，一学科学生成绩服从正态分布，均未知。现抽测19人的成绩如下：70806786619692876251819976869379816247问是否有理由认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70？〔取，，〕解：检验：；：选取统计量：由题意条件得：，，S=15.023从而>故拒绝，即认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70。、11、某校进展教学改革，一学科学生成绩服从正态分布，均未知。现抽测19人的成绩如下：70806786619692876251819976869379816247问是否有理由认为该科的平均成绩大