应用统计硕士(统计量及其抽样分布)模拟试卷1(题后含答案及解析)

应用统计硕士（统计量及其抽样分布）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1.单选选择题3.简答题4.计算与分析题单选选择题1．设随机变量X和Y相互独立且服从正太分布(0．32)，而X1，X2，…，χ9和Y1，Y2，…，Y9分别是来自总体X和Y，的简单随机样本，则统计量U＝服从_______分布，且其参数为_______。()A．t，8B．t，9C．正太；(0，1)D．χ2；9正确答案：B解析：因为X服从正态分布N(0，32)，所以X1＋X2＋…＋X9～N(0，9×32)，～N(0，1)；因为Y服从正态分布N(0，32)，所以从而即U＝服从参数为9的t分布。知识模块：统计量及其抽样分布2．从服从正太分布的无限总体分别抽取容量为7，20，80的样本，当样本容量增大时，样本均值的数学期望________，标准差________。()。A．保持不变；增加B．保持不变；减小C．增加；保持不变D．减小；保持不变正确答案：B解析：由于总体服从正态分布，所以样本均值的抽样分布仍为正态分布，数学期望不变；方差为，标准差为，故当样本容量n增大时，标准差减小。知识模块：统计量及其抽样分布3．设总体均值为200，总体方差为64，在大样本情况下，无论总体的分布形式如何，样本平均数的分布都是服从或近似服从()。A．N(200，64)B．N(200，8／)C．N(200／n，64)D．N(200，64／n)正确答案：D解析：根据中心极限定理可知，在大样本情况下，样本平均数的抽样分布近似服从平均值为μ和样本方差为的正态分布。由题知，μ＝200，σ2＝64，所以。知识模块：统计量及其抽样分布4．从一个均值μ＝20，标准差σ＝1．2的总体中随机选取容量为n＝36的样本。假定该总体并不是很偏的，则样本均值X小于19．8的近似概率为()。A．0．1268B．0．1587C．0．2735D．0．6324正确答案：B解析：由于n＝36≥30，根据中心极限定理有：～N(μ，)＝N(20，0．04)。故P(＜19．8)＝P()＝∮(－1)＝1－∮(1)＝1－0．8413＝0．1587。知识模块：统计量及其抽样分布5．某厂家生产的灯泡寿命的均值为1000小时，标准差为4小时。如果从中随机抽取16只灯泡进行检测，则样本均值()。A．抽样分布的标准差为1小时B．抽样分布近似等同于总体分布C．抽样分布的中位数为1000小时D．抽样分布服从正态分布，均值为1000小时正确答案：A解析：由于n＝16＜30，并且总体的分布未知，所以抽样分布的形状未知。但是抽样分布的均值仍为1000小时，标准差为＝1。知识模块：统计量及其抽样分布6．根据抽样测定100名4岁男孩身体发育情况的资料，平均身高为95cm，标准差为4cm。有()的概率可确信4岁男孩平均身高在93．8～96．2cm之间。A．68．27％B．90％C．95．45％D．99．74％正确答案：D解析：设为抽取样本的平均身高。由题知，μ＝95，σ2＝42，所以，～Ⅳ(0，1)，故P{93．8＜96．2}＝P{}＝2∮(3)－1＝2×0．9987－1＝0．9974，即有99．74％的概率可以确信4岁男孩平均身高在93．8～96．2cm之间。知识模块：统计量及其抽样分布7．假设总体比例为0．3，采取重复抽样的方法从此总体中抽取一个容量为100的简单随机样本，则样本比例的期望是()。A．0．3B．0．8C．1．6D．2正确答案：A解析：由二项分布的原理和渐进分布，设总体比例为π，当n充分大(n＝100≥30)时，样本比例的期望为π＝0．3。知识模块：统计量及其抽样分布8．假设总体比例为0．2，从此总体中抽取容量为100的样本，则样本比例的标准差为()。A．0．2B．0．02C．0．04D．0．16正确答案：C解析：由二项分布的原理和渐进分布，设总体比例为π，当n充分大(n＝100≥30)时，样本比例服从正态分布，样本比例的标准差为：＝0．04。知识模块：统计量及其抽样分布9．大样本的样本比例的抽样分布服从()。A．正态分布B．t分布C．F分布D．χ2分布正确答案：A解析：由二项分布的原理和渐进分布的理论可知，总体比例为π，当n充分大(大样本)时，样本比例的抽样分布服从均值为π，方差为的正态分布。知识模块：统计量及其抽样分布10．满足下面()条件时，可以认为抽样成数的概率分布近似正态分布。A．n≥30，np≥5，nq≥5B．n≥30，np≤5，nq≤5C．n≥30，np≥5，nq≤5D．n≥30，np≤5，nq≥5正确答案：A解析：对于总体比例的估计，确定样本量是否足够大的一般经验规则是：区间p±2中不包含。或1，或者要求np≥5，nq≥5。知识模块：统计量及其抽样分布简答题11．什么是统计量?为什么要引进统计量?统计量中为什么不含任何未知参数?正确答案：(1)设X1，X2，…，Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T(X1，X2，…，Xn)，不依赖于任何未知参数，则称函数T(X1，X2，…，XN)是一个统计量。(2)在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。(3)统计量是样本的一个函数。由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。涉及知识点：统计量及其抽样分布12．什么是χ2分布?请简述χ2分布的特点。正确答案：(1)当对正态随机变量χ机地重复抽取n个数值，将每一个χ值变换成标准正态变量，并对这n个新的变量分别取平方再求和之后，就得到一个服从χ2分布的变量即χ2＝服从自由度为n的χ2分布。(2)χ2分布的特点：①χ2分布是一个以自由度为参数的分布族，自由度决定了分布的形状；②χ2分布是一种非对称分布，当自由度n达到相当大时，χ2分布就接近于正态分布；③χ2分布的变量值始终为正。涉及知识点：统计量及其抽样分布13．为什么当总体单位数很大时，不重复抽样分布趋近于重复抽样分布?正确答案：在重复抽样和不重复抽样条件下，样本均值分布的中心相同。在不重复抽样条件下，样本平均数的标准差为；在重复抽样条件下，样本平均数的标准差为；不重复抽样与重复抽样比，多了一个修正系数。当N远大于n时，修正系数近似于1，不重复抽样误差近似等于重复抽样误差，即不重复抽样分布趋近于重复抽样分布。涉及知识点：统计量及其抽样分布计算与分析题14．Z1，Z2，…，Z6表示从标准正态总体中随机抽取的容量，n＝6的一个样本，试确定常数b，使得正确答案：由于Z1，Z2，…Z6为正态分布，并且相互独立，所以∑Zi2服从χ2(6)分布。＝1－0．95＝0．05查表得：b＝12．5916。涉及知识点：统计量及其抽样分布15．设X1，X2，…，X9是X目标准正忑总体X的简单随机样本，而Y1＝(X＋X＋…＋X)，Y2＝(X7＋X8＋X9)S2＝证明统计量Z服从自由度为2的t分布。正确答案：由X1，X2，…，9是来自标准正态总体X的简单随机样本可得，X1，X2，…，X9是相互独立的，并且都服从标准正态分布，Y1，Y2也是相互独立的。E(Y1－Y2)＝0，Var(Y1－Y2)＝，即Y1－Y2～N(0，)，所以由于n＝3，所以(n－1)S2＝2S2～χ2(2)，从而～t(2)，即Z＝～t(2)涉及知识点：统计量及其抽样分布16．设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，(X1，X2，…，X10)为来自总体X的简单随机样本，试求下列概率：正确答案：(1)由于～χ2(10)，因此＝P{χ2(10)≥5}－P{χ2(10)≥15}＝0．8912－0．1321＝0．7591(2)由于～χ2(9)，因此＝P{χ2(9)≥5}－P{χ2(9)≥15}＝0．8343－0．0909＝0．7434(3)由于～χ2(n－1)，因此～χ2(9)。所以P＝P{χ2(9)≥3}－P{χ2(9)≥6}＝0．9643－0．7399＝0．2244涉及知识点：统计量及其抽样分布17．某小型工厂共有5个工人，他们的周工资分别为140、160、180、200、220元，现在用重置随机抽样的方法从中抽出2个工人的工资构成样本。(1)计算总体平均工资及其标准差；(2)列出样本平均工资的抽样分布；(3)计算样本平均工资，并检验是否等于总体平均工资；(4)直接计算样本平均工资的标准差；(5)按公式计算样本平均工资的标准差，并验证是否等于(4)的结果。正确答案：(1)总体均值和标准差分别为：(2)重复抽样的两两样本的平均数加嘉2—29所示。由表2—29可知，样本均值的分布如表2—30所示。(3)由表2—30可得：×(140＋150×2＋…＋220)＝180(元)＝μ(4)样本平均工资的标准差为；＝20．41(5)由于＝20，即按公式计算样本平均工资的标准差小于(4)中直接计算的结果。涉及知识点：统计量及其抽样分布18．一个具有n＝64个观察值的随机样本抽自于均值等于20、标准差等于16的总体。(1)给出(平均值)的抽样分布(重复抽样)的均值和标准差。(2)描述(平均值)的抽样分布的形状。你的回答依赖于样本量吗?(3)计算标准正态z统计量对应于＝15．5的值。(4)计算标准正态z统计量对应于＝23的值。正确答案：(1)由于总体的均值为20、标准差等于16。所以(2)样本均值的抽样分布形状依赖于样本量。依据大样本量(n≥30)，描述(平均值)的抽样分布近似为正态分布。当n≥30时，样本均值(平均值)的抽样分布形状基本上没有差别，形成正态分布；当n为小样本时(通常n＝15．5，z＝＝2．25。(4)当＝23，χ＝＝1．5。涉及知识点：统计量及其抽样分布19．从一批5000只日光灯中随机抽取1600只进行耐用时间的质量检验，已知该种型号的日光灯平均寿命为1500小时。标准差为800小时。分别按照重复抽样和不重复抽样两种方法计算样本平均寿命小于1550小时的概率。正确答案：(1)按照重复抽样的方法由中心极限定理知，样本平均寿命，则～N(0，1)，所以＝∮(2．5)＝0．9938即在重复抽样的方法下，样本平均寿命小于1550小时的概率为0．9938。(2)按照不重复抽样的方法由于是对有限样本的不重复抽样，所以样本均值的标准差。由中心极限定理知，样本平均寿命，即即在不重复抽样的方法下，样本平均寿命小于1550小时的概率为0．9988。涉及知识点：统计量及其抽样分布20．某批发商店的经理正考虑一新的销售计划。已知每个顾客购买额的均值为200元，标准差为15元。如果随机抽取36名顾客，试计算平均购买额超过204元的概率。正确答案：由于n＝36＞30，由中心极限定理可得：统计量z＝近似服从标准正态分布。当＝204时，z＝＝1．6所以随机抽取36名顾客，平均购买额超过204元的概率为：P(＞204)＝1－P(＜204)＝1－P(≤1．6)＝1－∮(1．6)＝1－0．9452＝0．0548涉及知识点：统计量及其抽样分布21．从一个均值为40，方差等于144的无限总体中按不重复简单随机抽样抽出样本量n＝36的样本。(1)求样本均值的抽样分布；(2)如果P(≥a)＝0．05。求a的值。正确答案：(1)对于无限总体，抽样可以看成是重复抽样。于是又n＝36＞30，所以由中心极限定理可知，样本均值近似服从N(40，4)。(2)由(1)可得：即则＝1．645，解得：a＝43．29。涉及知识点：统计量及其抽样分布22．某市在第五次人口普查显示。该市老年人口老龄化(65岁以上)比率为14．7％。现随机调查了400名当地市民，则其老龄化率为10％和16％之间的概率为多少?正确答案：由于n较大，p较小，np＝400×14．7％＝58．8＞5，n(1－p)：400×85．3％＝341．2＞5。因此，可利用正态近似处理，即可认为样本比率p的抽样分布近似服从平均值μp＝0．147和方差的正态分布。将p值变换为服从标准正态分布的z值，即：z＝～N(0，1)。则P{10％＜p＜16％}＝P＝∮(0．734)－∮(－2．655)＝∮(0．734)＋(2．655)－1＝0．7646即老龄化率为10％和16％之间的概率为76．46％。涉及知识点：统计量及其抽样分布23．某调查员要对A、B两个地区居民用于某类消费品的年支出数额进行比较分析，在两地各抽取400户居民，调查得到A地区平均每户日支出数额为250元，标准差为47元。B地区平均每户日支出数额为150元，标准差为20元。问样本差大于100的概率有多大?正确答案：假定这两个样本是相互独立的。因为在A、B两地各抽取了400个样本，样本的容量足够大。因此，根据中心极限定理，的抽样分布服从均值为(μA－μB)，方差为的近似正态分布。故＝1－∮(0)－∮(－78．311)＝0．5