拉格朗日的两个问题

拉格朗日的两个问题

泰勒方程式f（x）是以x0为单位的导数（a，b），直到具有（n，1）阶数的x（a，b）。f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+12!f″(x0)(x-x0)2+⋯1n!f(n)(x0)(x-x0)n+Rn(x).当Rn(x)=f(n+1)(x0+θ(x-x0))(n+1)!(x-x0)n+1时,称之为拉格朗日余项;当Rn(x)=0((x-x0)n)时,称之为皮亚诺余项.当limn→∞Rn(x)=0时,可得f(x)的泰勒级数.本文所讲泰勒定理泛指中值定理和泰勒级数.泰勒定理建立了函数f(x)在一个区间上的增量与这个函数在区间内某点处的高阶导数之间的联系.拉格朗日中值定理为它的特例.基本上,一般教科书都着重介绍将满足条件的函数如何展开成单位泰勒级数,但对在微积分中起着举足轻重作用的泰勒级数的应用讲得甚少.1当fx至fx例1当x≥0时,证明:sinx≥x-13!x3.有多种方法可证明这个不等式;用泰勒中值定理证明也不失为一个好方法!证明设f(x)=sinx-x+13!x3,让f(x)在0点展开,并取n=2.由于f′(x)=cosx-1+x22,f″(x)=-sinx+x,f‴(x)=1-cosx,故f(0)=f′(0)=f″(0)=0.f(x)=0+0+0+1-cosθx3!x3.当x≥0时,f(x)≥0.从而sinx≥x-13!x3.2kn的运行例2计算行列式D=|xbbb⋯baxbb⋯baaxb⋯b⋯⋯⋯⋯⋯⋯aaaa⋯x|n×n的值.解记D=fn(x),将D按泰勒公式在a处展开:fn(x)=fn(a)+f′n(a)1!(x-a)+f″n(a)2!(x-a)2+⋯+f(n)n(a)n!(x-a)n.根据行列式的性质,对于任何k∈N,有fk(a)=a(a-b)k-1.又根据行列式求导法则,有f′n(x)=nfn-1(x),f′n-1(x)=(n-1)fn-2(x),…,f′2(x)=2f1(x),f′1(x)=1,所以fn(x)在x=a处的各阶导数为f(k)n(a)=n(n-1)…(n-k+1)a(a-b)n-k-1,(k=1,2,…,n-1);f(n)n(a)=n(n-1)…2·1,从而fn(x)=a(a-b)n-1+n1!a(a-b)n-2(x-a)+n(n-1)2!a(a-b)n-3(x-a)2+⋯+n(n-1)⋯2(n-1)!a(x-a)n-1+n(n-1)⋯2⋅1n!(x-a)n.若a=b,则fn(x)=(x-b)n-1[x+(n-1)b];若a≠b,则fn(x)=a(x-b)n-b(x-a)na-b.3sinxdx的近似值例3∫101n(1+x)xdx.解∫101n(1+x)xdx=∫10x-x22+x33-⋯xdx=∫10(1-x2+x23-⋯)dx=1-122+132-⋯=π212.例4求定积分∫10sinxxdx的近似值.解该被积函数的原函数不是初等函数,故用牛顿-莱布尼兹公式是无法求出其精确解的,考虑sinx的泰勒展开,能方便的求出其近似数.sinx=x-x33!+x55!-sin(θx+7π2)7!x7,sinxx=1-x23!+x45!-sin(θx+7π2)7!x6.所以∫10sinxxdx=(x-x33×3!+x55×5!)|10-∫10sin(θx+7π2)7!x6dx.因为|sin(θx+7π2)|＜1,故∫10sinxxdx≈1-13！13+15！15≈0.9461.误差R＜17!17＜0.5×10-3.4采用数学金融概念4.1相关参数估计VaR模型,自20世纪90年代被引入到风险管理中,已经成为金融机构和监管当局所广泛采用的风险度量和管理工具.VaR模型的常见计算方法有参数法、历史模拟法和蒙特卡罗模拟法,其中的参数法就是由资产价值函数的泰勒展开来计算,并且依据函数展开阶数的不同,分为delta类方法和gamma类方法.考虑一个投资组合X=(x1,x2,…,xn)T,其中xi,i=1,2…,n表示第i种资产的投资权重.t时刻所有资产的价值向量V=(v1,v2,…,vn)T,组合X的价值为V=n∑i=1xivi,在下一个时段Δt内,组合价值变动为ΔV=n∑i=1xiΔvi,假设每种资产价值都由K个市场因子确定,且这K个市场因子服从联合正态分布,F=(f1,f2,…,fk)T,则ΔV按照一阶泰勒展开得ΔV=∑ni=1xi∂vi(F,t)∂tΔt+∑ni=1xi∑kj=1∂vi(F,t)ΔfjΔfj.由此得出delta参数法;若将投资组合的价值变动函数按照二阶泰勒公式展开,则得gamma参数法.4.2平均期限及凸性在债券的定价及投资组合风险值的计算中,平均期限是一个重要的概念,它衡量基础产品价格相对于基础利率变化的幅度.一个20年期的债券也许只有17年的平均期限.这意味着,如果利率上升2%,该债券价格将下跌34%;而利率下跌1%时,债券价格则上升17%.若每次用VaR模型来进行计算,工作是十分烦琐的.举例来说,现有一个5年期的票面金额为100美元的债券,年利息为10美元.计算当利率从10%变化到11%或15%时,债券的价格变化.如下表:麦考雷(Macaulay)利用泰勒展开式的第一项求出该债券平均期限为3.791.用平均期限法预计:利率从10%上升到11%,债券价格下跌3.791%,即新价格为96.21美元;而利率从10%上升到15%,价格下跌18.96%,债券价格变为81.05美元.因此当利率变化不大时,平均期限法的预计相对准确;但当利率变化较大时误差较大.麦考雷用凸性及凸性的修正值重新估计,得到了非常满意的结果.凸性(用γ表示)表示的是泰勒展开式的第二项,再用12×γ×(Δr)2进行调整(Δr为利率变化