基于d-h参数的机器人臂部结构构型研究

基于d-h参数的机器人臂部结构构型研究

结构设计是机器人设计的灵魂，对机器人的制造、控制和应用有重要影响。如果机构构型有缺陷,则设计出来的机器人将会是先天不足或称之为“有残疾”的。串联机器人的构型问题较为复杂。首先,对机器人末端执行器运动特征和约束特征的数学描述还缺乏系统的研究,对机器人构型如何满足“任务空间”的作业要求还缺乏简单有效的理论指导;第二,用于评价机器人性能的各种指标仅能反映其某方面的特性,不同性能指标对参数的要求经常是矛盾的,因此机器人参数优化问题还不能完全解决:第三,串联机器人可选的构型极其繁多,逐一筛选十分困难;第四,目前研究较多的仅限于几类流行的通用工业机器人,如PUMA,MOTOMAN等,用于极限环境下,考虑各种约束条件的机器人构型理论还研究不多。串联机器人的构型设计方法主要有两类:一是以现有机器人产品的设计经验为基础,形成机器人产品的性能数据库,设计时以搜寻数据库的方式找出与设计目标相似的构型;另一类是从机构的拓扑结构切入,通过分析任务目标的特点得到一系列的约束条件,列举出所有满足约束条件的可选构型,然后逐一分析可选构型的机构特性,按照一定的选型原则优选出最佳构型。基于第二类方法,许多学者从不同角度开展了研究。Piper在研究6自由度机械臂运动学逆解时,指出6个旋转关节操作臂存在解析解的充分条件是相邻的三个关节轴线相交于一点,从而提出臂部结构和腕部结构分别考虑的设计准则——“臂腕分离原则”。Tasi对位置结构(臂部结构)和姿态结构(腕部结构)进行综合,基于工作空间最优的设计目标给出最佳位置结构和最佳姿态结构。刘成良从图形学的角度按排列组合对臂部结构进行分析,归纳出15种可选构型。近年,Wenger、Baili等人基于工作空间奇异性对三个转动轴依次垂直的一类臂部结构进行拓扑分类,研究了在连杆扭角α相同的情况下,工作空间形状和奇异性随其余D-H参数值变化的多样性。D-H法和雅可比矩阵J是机器人学常用数学工具,本文基于D-H参数对三自由度位置部结构和姿态结构进行分类,然后利用位置雅可比矩阵对每类构型的奇异性、负载能力进行分析。1机器人臂部结构分析1.1rotz,di计算D-H法是常用的机器人建模方法,如图1所示,每个连杆由αi-1,ai-1,di,θi四个参数来描述,αi-1,ai-1描述连杆i-1本身的特征;di和θi描述连杆i-1和连杆i之间的联接关系。图中,αi-1为从zi-1轴到zi轴的扭转角;ai-1为从zi-1轴到zi轴的距离;di为连杆i-1到连杆i在zi轴上的偏移距离;θi为连杆i-1到连杆i绕zi轴的旋转角度。坐标系{i}相对于坐标系{i-1}的连杆变换通式为:i-1iΤ=rot(x,αi-1)trans(x,αi-1)rot(z,θi)trans(z,di)=[ci-si0αi-1sicαi-1cicαi-1-sαi-1-disαi-1sisαi-1cisαi-1cαi-1dicαi-10001](1)i−1iT=rot(x,αi−1)trans(x,αi−1)rot(z,θi)trans(z,di)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢cisicαi−1sisαi−10−sicicαi−1cisαi−100−sαi−1cαi−10αi−1−disαi−1dicαi−11⎤⎦⎥⎥⎥⎥(1)式中:cαi-1=cosαi-1,sαi-1=sinαi-1,ci-1=cosθi-1,si-1=sinθi-1。机器人末端执行器{t}相对于基座{0}的位姿可由一个4×4的齐次矩阵表示:0iΤ=[0iR0iΡΟ1]=[nxoxaxpxnyoyaypynzozazpz0001](2)其中0tR是3×3的方向余弦矩阵,称为姿态矩阵,它可以用3个独立变量来表示。X-Y-Z固定角坐标系表示方法是:先将{t}绕{0}的x轴旋转ϕx角,再绕{0}的y轴旋转ϕy角,最后绕{0}的z轴旋转ϕz角。由(2)式确定ϕx,ϕy和ϕz的计算式是:{ϕx=Atan2(-nz,√n2x+n2y)ϕy=Atan2(ny,cϕy,nx/cϕy)ϕz=Atan2(oz/cϕy,az/cϕy)(3)式中:Atan2(y,x)是双变量反正切函数,cϕy=cosϕy≠0。当cϕy=0时,式(3)就退化了,仅能求出ϕx和ϕz的和或差。因此,px,py,pz,ϕx,ϕy和ϕz六个参数可完整地描述末端执行器的位姿。1.2d-h法公式具有解析解的机器人的一个重要特征是存在几个正交关节轴或有多个αi为0或±90°,当αi为0或±90°时,连杆变换通式(1)将大为简化。从机器人零件加工、装配精度和工艺性来说,αi为0或±90°具有明显的优越性。因此,从构型设计角度可把αi分两种情况:αi=0或αi=90°(调整系{i+1}的z轴方向,可将-90°情况转换成90°)。αi反映关节轴线之间的几何关系,αi=0时,关节轴线平行,记为//;αi=90°时,关节轴线垂直,记为⊥。D-H法设置连杆坐标系,一般α0总是取为0,因此,三自由度的臂部结构可按α1和α2是否为0初步分成4大类,每一个大类中根据转动关节和移动关节排列组合又可分PPP、PPR、PRP、RPP、PRR、RPR、RRP、RRR共8小类,这样一共得到32类构型:(1)α1=0,α2=0°,三自由度臂部结构的3个关节轴线相互平行,称为全平行轴臂部结构,包含8个小类,见表1。(2)α1=0,α2=90°,三自由度臂部结构的第1、2关节轴线平行,第2、3关节的轴线垂直,称为前平行轴臂部结构,包含8个小类,见表1。(3)α1=90°,α2=0,三自由度臂部结构的第1、2关节轴线垂直,第2、3关节的轴线平行,称为后平行轴臂部结构,包含8个小类,见表1。(4)α1=90°,α2=90°,三自由度臂部结构的3个关节轴线依次垂直,称为正交型臂部结构,包含8个小类,见表1。1.3基于雅分析矩阵的运动方程如图2所示,建立三自由度臂部结构的连杆坐标系,设H点为手腕参考点,表示为:3H=[a3001]T则H点在机器人基座坐标系{0}中的齐次坐标为:0H=[0Hx0Hy0Hz1]T=01T12T23T·3H(4)其中,0H的前3个分量构成H点的位置向量:Ρ(q)=[0Ηx(q)0Ηy(q)0Ηz(q)]两边同时对时间t求导得:dΡ(q)dt=Jp(q)⋅˙q其中Jp为位置雅可比矩阵:Jp(q)=[∂(0Ηx)∂q1∂(0Ηx)∂q2∂(0Ηx)∂q3∂(0Ηy)∂q1∂(0Ηy)∂q2∂(0Ηy)∂q3∂(0Ηz)∂q1∂(0Ηz)∂q2∂(0Ηz)∂q3](5)与大多数文献中的雅可比矩阵定义不同,式(5)不包含末端执行器的姿态信息,用于臂部结构的奇异性分析更为简洁。式中qi为关节变量,转动关节取qi=θi,移动关节取qi=di。若雅可比矩阵J为方阵,当J的行列式为零(det(J)=0)时,机器人处于奇异位置。此时,机器人的n个关节轴(n≥2)形成的末端运动自由度小于n。可区分两类奇异:结构奇异和运动奇异。结构奇异是与关节变量无关,仅取决于机器人构型的一类奇异,结构奇异在机器人整个运动过程中始终存在。运动奇异是与关节变量取值有关的一类奇异,仅当机器人处于特定位姿时出现。机器人构型设计时,一般应避免设计的机器人具有结构奇异性,以防止无效的关节驱动增加到结构设计中。运动奇异是任何构型中不可避免的问题,机器人在奇异位置附近时可控性很差,需要在运动规划中加以考虑。2d-h参数选取由机器人相关理论可知,行列式det(J)=0意味着机器人奇异,对位置雅可比而言,上述结论仍然成立,det(JP)=0的解集对应奇异位置点集合。针对全部32类臂部结构,依其位置雅可比矩阵计算相应的行列式,整理成表1,由表1的第3列可直接得出构型的奇异条件。由表1可看出:有12个子类的位置雅可比矩阵的行列式值恒为0,即det(JP)=0,表中加*号标出,这表明它们是结构奇异构型,无论其关节变量取何值,机器人都处在奇异位置。因此,这12类构型一般不宜选为6自由度机器人的臂部结构,实际可供选择的臂部结构有20类。对于20类可选臂部结构,行列式可以指导D-H参数的选择,以R//P//R构型为例,其行列式为:det(JR//P//R)=-a3(a2s3+a1s23)(6)考虑该构型的关节变量是θ1、d2、θ3,利用三角函数辅助公式可将(6)式写为:det(JR//Ρ//R)=-a3⋅√a21+a22+2a1a2c2⋅sin(θ3+ϕ)(7)其中φ满足:tanφ=a1s2/(a2+a1c2)令(7)式为零,得该构型的结构奇异条件:a3=0或者√a21+a22+2a1a2c2=0后者成立的D-H参数条件是:(1)a1=a2=0;(2)a1=a2且θ2=π。这是选用此类构型中要避免的D-H参数条件。θ3是可能导致运动奇异的唯一因素,因此在运动规划中避免sin(θ3+φ)=0就可以有效地避开运动奇异位置。同理,由表1中R⊥R//R构型的行列式可得相应的结构奇异条件:(1)a2=0;(2)a3=0;(3)a1、a2、a3同时为0。这是设计此类机构时需要避免的D-H参数条件。值得注意的是,a1=0是允许的,di不会影响构型的奇异性。当a1=0时,与PUMA560机型臂部结构一致,当a1≠0时,与MOTOMAN-SV3机型一致。θ3=0时导致s3=0,会引起运动奇异,另一个运动奇异条件是a3c23+a2c2+a1=0这与其它文献的分析是一致的。3型钢负载能力特性仿真结果机器人的负载能力与结构尺寸、动力传递系统和驱动器有关,末端能承受的载荷由关节负载能力、机器人构型、使用条件(速度、加速度)等因素共同决定的。本文把构型对末端负载能力的影响称为构型负载能力特性,主要用来定性比较各种构型对机器人负载能力的影响。以机器人末端抓取重物的典型工作情况为例,分析机器人构型的负载能力。按“臂腕分离原则”设计出来的机器人由臂部结构和腕部结构组成,一般地,腕部结构所需关节驱动力较小,臂部结构的关节驱动力要求较大,因此本文以臂部结构的负载能力特性为例进行分析。3.1分配型整合性型k末端负载力是沿连杆传递到关节上的,对三自由度的臂部结构,由机器人静力学公式(不考虑连杆重力),得:τ=JTpF式中,F是作用在末端执行器上的3×1的笛卡尔力矢量,τ是3×1维关节力-力矩矢量,JΤp为位置雅可比矩阵的转置。考虑手部抓举某个重物负载的典型情况,此时负载力为重力负载:F=mL·[0gx0gy0gz]T式中,0gk(k=x,y,z)是重力加速度在基础坐标系{0}的k轴分量。因此,式(8)可写为:τ=mL⋅[∂(0Ηx)∂q1∂(0Ηx)∂q2∂(0Ηx)∂q3∂(0Ηy)∂q1∂(0Ηy)∂q2∂(0Ηy)∂q3∂(0Ηz)∂q1∂(0Ηz)∂q2∂(0Ηz)∂q3]Τ⋅[0gx0gy0gz]整理成如下形式:τ=Lx·(mL·0gx)+Ly·(mL·0gy)+Lz·(mL·0gz)式中:mL·0gk(k=x,y,z)是末端负载力在基础坐标系{0}的k轴分量,称3×1维的Lk为负载力-关节力(力矩)传递系数矩阵,称它的元素Ljk为负载力—关节力(力矩)传递系数。Lk是位置雅可比矩阵JP的行的转置:Lk=[∂(0Ηk)∂q1∂(0Ηk)∂q2∂(0Ηk)∂q3]Τ负载力—关节力(力矩)传递系数矩阵Lk将末端负载力映射到机器人的关节空间。转动关节时,传递系数Ljk具有长度单位,移动关节时,传递系数Ljk是无量纲数。传递系数Ljk=0,意味着关节驱动器无需承担末端负载力。3.2移动关节非结构异臂部结构的负载为使机器人末端负载力较大,机器人设计一般应遵循以下原则:(1)当第1关节是转动关节时,让第1关节的轴线与重力方向平行。此时,0gz=g,0gx=0gy=0,τ=Lz·(mL·0gz),关节所需驱动力由位置雅可比矩阵JP的第3行决定。共有12类第1关节是转动关节的非结构奇异臂部结构,由表1可得它们的位置雅可比矩阵JP的第3行,第1个元素Ljk都为0,说明第1关节驱动器无需承担末端负载力;其中第2个元素L2k为0的有5类:R//R//P,R//R⊥R,R⊥P//R,R⊥P⊥P,R⊥P⊥R,这5类臂部结构的第2个关节驱动器也无需承担末端负载力,构型的负载能力和刚度条件好。(2)当第1关节是移动关节时,让第l关节的轴线与重力方向垂直,即0gx=g(0gy=g),0gy=0gz=0(0gx=0gz=0),关节所需驱动力由位置雅可比矩阵JP的第1行(第2行)决定。查表1,共有8类第1关节是移动关节的非结构奇异臂部结构,它们的位置雅可比矩阵JP的第1行(第2行),第1个元素L1k都为0,说明第1关节驱动器无需承担末端负载力;当θ1=0时,第2个元素L2k为0的有5类:P⊥P//R,P⊥R//P,P⊥P⊥P,P⊥P⊥R,P⊥R⊥R,这5类臂部结构的第2个关节驱动器也无需承担末端负载力,构型的负载能力和刚度条件好。3.3传递系数选择d-h为0的海洋可以靠近基座端的低序关节与末端负载力的力臂较大,并且要承受后面高序关节的重力,因此,应优先考虑低序关节的轴线方向,使得关节驱动器不承担负载力。基于负载能力最优的构型方法步骤如下:(1)选择基座安装方式,使第1关节驱动器承受的负载力和连杆重力为0。第1关节是转动关节时,让轴线与重力方向一致;第1关节是移动关节时,让轴线方向与重力方向垂直。(2)根据位置雅可比矩阵Jp,选择传递系数L2k为0的构型。共有10类备选构型:R//R//P,R//R⊥R,R⊥P//R,R⊥P⊥P,R⊥P⊥R,P⊥P//R,P⊥R//P,P⊥P⊥P,P⊥P⊥R,P⊥R⊥R,它们具有较好的负载能力和刚度条件。(3)根据L3k的表达式,确定机器人的D-H参数值。按上述步骤可以得到负载能力最好的构型。有时,由于其它约束条件使得选择的构型不满足L2k≠0,此时,仍可按L2k的表达式确定D-H参数,使得构型的负载能力较好。为便于设计选用,用符号○和●在表1中对每类构型的传递系数是否为0进行标注,如表1中○●●表示:L1k=0,L2k≠0,L3k≠0。4机器人臂部结构分析4.1姿态雅分析矩阵类似地,按D-H参数分类可得到32类三自由度腕部结构。定义姿态雅可比矩阵:JΦ(q)=[∂(0φx)∂q1∂(0φx)∂q2∂(0φx)∂q3∂(0φy)∂q1∂(0φy)∂q2∂(0φy)∂q3∂(0φz)∂q1∂(0φz)∂q2∂(0φz)∂q3]用姿态雅可比矩阵可以判断腕部结构的奇异性。4.2姿态雅分析矩阵根据雅克比矩阵的计算方法可得,四大类腕部结构的姿态矩阵分别为:(1)α1=0,α2=003R=[c123-s1230s123c1230001]由式(3)可解得:ϕy=ϕx=0,是常数。因此,姿态雅可比矩阵JΦ的第1行和第2行全为零,行列式det(JΦ)=0。(2)α1=0,α2=90°03R=[c12c3-c12s3s12s12c3-s12s3-c12s3c30]由式(3)可解得:ϕx=π/2,为常数。因此,姿态雅可比矩阵JΦ的第1行全为零,行列式det(JΦ)=0。(3)α1=90°,α2=003R=[c1c23-c1s23s1s1c23-s1s23-c1s23c230]由式(3)可解得:ϕx=π/2,为常数;因此,姿态雅可比矩阵JΦ的第1行全为零,行列式det(JΦ)=0。(4)α1=90°,α2=90°03R=[c1c2c3+s1s3-c1c2c3+s1c3c1s2s1c2c3-c1s3-s1c2s3-c1c3s1s2s2c3-s2s3-c2]由式(3)可解得:{ϕy=Atan2(-s2c3,√c22c23+s23)ϕz=Atan2(s1c2c3-c1s3)/cϕy,(c1c2c3+s1s3)/cϕy)ϕx=Atan2(-s2s3/cϕy,-c2/cϕy)当存在移动关节时,8个腕部结构子类是:P⊥P⊥P;P⊥P⊥R;P⊥R⊥P;R⊥P⊥P;P⊥R⊥R;R⊥P⊥R;R⊥R⊥P;R⊥R⊥R。不妨设第i个关节为移动关节(qi=di),由于ϕx,ϕy,ϕz均不含有di,则姿态雅可比矩阵中必有∂(0φx)∂qi=∂(0φy)∂qi=∂(0φz)∂qi=0此时,行列式det(JΦ)=0。当所有关节均为转动关节时,即R⊥R⊥R结构时,姿态雅可比矩阵为:上述分析表明,由三个垂直或平行关节组成的腕部结构,仅有R⊥R⊥R结构是非结构奇异腕部结构,可以作为三自由度“手腕”,该结构的运动奇异条件是S2=0,即第2个关节角为0或π时,手腕处于运动奇异状态。这与用几何方法得到的结果一致。另外,结构中的ai和di对手腕姿态的变化没有影响,在条件允许的情况下应尽可能的使ai=di=0,以减小腕部结构的附加位置偏移,同时可以简化运动学求解过程。5检修机器人的设计以MOTOMAN-SV3型和PUMA560型机器人为例,说明合理选择D-H参数使得构型具有较好的负载能力。两者都是R⊥R//R臂部结构,位置雅可比矩阵为:行列式为:det(JR⊥R//R)=-a2a3s3(a3c23+a2c2+a1)MOTOMAN-SV3机器人的安装基座与第1关节轴线及重力方向一致,此时,L1k=0,第1关节驱动器不承担末端负载力和后面连杆重力:L2k=a3C23+a2C2。由它的行列式可知:a1和a2均不能取0。当机器人连杆偏距为0(d1=d2=d3=0),最大臂展L=a1+a2+a3保持不变的情况下,增大a1,减小a2和a3可使L2k变小,从而提高构型的负载能力。因此,MOTOMAN-SV3型机器人比PUMA560型机器人承受末端负载的能力要好,这与实际情况一致。根据上述串联机器人构型分析结果,为满足蒸汽发生器(SG)在役检修要求,设计一台蒸汽发生器(SG)检修机器人。根据检修作业任务,设计的SG检修机器人具有六个自由度。由表1可知,可供选择非结构奇异臂部结构有20类,其中10类臂部结构的第