斜轧钢球辊形曲面的解法

斜轧钢球辊形曲面的解法

一、辊形曲面问题的提出纵轴研究是倾斜工程中的一项重要理论。特别是对于高精度斜轧,这一问题尤为重要。辊形曲面的数学描述及其研究是孔型设计和加工方法分析的理论基础。辊形曲面问题,许多学者从不同的角度进行研究,曾获得一些重要结论。但这些结论给出的公式较为复杂,不便进行轧辊的设计与制造,主要因为:(1)轧件在从进料口到出料口的运动过程中,自身变形过程复杂:(2)轧辊的转动与轧件的轴向运动融合到一起考虑。针对上述问题,作者认为:轧辊的转动与轧件的轴向运动在实际中虽然有其内在联系,但又是独立的,可以分开考虑。这样可使问题简化,无论对轧辊的设计还是制造更具实际意义。二、辊形曲面法的建立在钢球轧制过程中,轧件与轧辊的两轴线异面,交角为α0,轴间距离为A。两轴线的交叉处设在轧件从棒料变成完整球(球的最终成形状态)时的球心位置(图1的虚线圆心)。坐标原点O设在此交叉处,Z轴与轧辊轴线重合,X轴在两轴线的公垂线上,Y轴垂直于X轴与Z轴决定的平面(图1)。坐标系的设置固定,不随轧辊转角θ变化。在轧制过程中,轧辊绕其轴线旋转,轧件沿其轴线移动逐渐成球。在任一瞬时,轧件的表面廓形与轧辊的辊形曲面为线接触。根据微分几何原理,它们之间的关系是被包络曲面与包络曲面之间的关系。在轧制的任一瞬时,棒料的几何形状由四部分构成:球台(直线a、b或c、d间的部分)、平直段(直线b、c间的部分)与连接颈(直线d、e间的部分)。保证这四部分的相互协调是轧制优质钢球的必要条件,当然,这最终取决于与这几部分对应的辊形曲面形状。下面将分别用画法几何中的图形变换法与微分几何中的包络法详细研究各部分的辊形曲面。1.与球台O1、O2成线接触的辊形曲面(1)辊形曲面的图解法(图2)将轧件轴线放成水平位置,根据交角α0作出辊轴的正面投影O′Z′,根据中心距A作出辊轴的侧面投影O″Z″,同时作出O″X″,O″Y″。为求球台O1与辊形曲面的接触线,必先求其接触点。为此,在辊轴上取一点M,正面投影M′,侧面投影M″,M″与轧件轴心O″1的连线O″1M与O″X″的负向夹角设为ω。同时,需设立一个与W面垂直的水平位置的新投影面,作出轧件的新投影,按换面法的变换规律,在辊轴上定出点M。在侧面投影上以轧件轴线O″1为轴心将O″1M″转到水平位置O″1N″,在新投影上求出旋转后的投影N,而轧件绕其本身轴线旋转投影不变。连接O1N与球台O1交于点K,点K就是旋转后所作球N与轧件的接触点(切点),NK的长度就是球N的半径,也是以点M为球心与轧件球台O1相切的球M的半径r。将点K投影到水平位置O″X″轴上再转回到原来的投影连线O″1M″上,即得接触点K的侧面投影K″。用面上取点的方法便可找到其正面投影K′。若在辊轴的某一范围内取一系列点M,就可得一系列接触点K,将各点K光滑地连接起来就是一条接触线,此接触线就是对应球台O1的轧辊辊形曲线。随着球台O1在轴向的移动,可作出一系列相应的辊形曲线,在辊面上不同转角的辊形曲线连成辊形曲面。同理可作出对应球台O2的轧辊辊形曲线与辊形曲面。(2)辊形曲面的解析法——球台O1、O2的辊形曲线(接触线)方程1)与球台O1相切的球面族Σω的方程设球M为球面族Σω中任意球面,由图2中的投影关系,得球M的球心坐标(0‚0‚Atanωsinα0)在H旋转面上N点坐标(A-Acosω,Acotα0tanω)O1点坐标(A,tθ)Ο1Ν=√A2cos2ω+(Acotα0tanω-tθ)2令d=√A2cos2ω+(Acotα0tanω-tθ)2(1)式中tθ——当轧辊转角为θ时,球心O1到X轴的距离,mm球M的半径r=NK=d-R式中R——轧球半径,mm球M的方程为:X2+Y2=(Ζ-Atanωsinα0)2=(d-R)2以ω为族参数的球面族Σω的方程为:F(X,Y,Z;ω)=X2+Y2+(Ζ-Atanωsinα0)2-(d-R)2=0(2)2)球面族Σω的包络曲面方程Fω=(X,Y,Ζ；ω)=2Asec2ωsin2α0[-Ζsinα0+12tθsin2α0-Rd(12tθsin2α0-Atanω)]令Fω(X,Y,Z;ω)=0则Ζsinα0-12tθsin2α0+Rd(12tθsin2α0-Atanω)=0(3)又FX(X,Y,Z;ω)=2XFY(X,Y,Z;ω)=2YFZ(X,Y,Z;ω)=2(Ζ-Atanωsinα0)令{FX(X,Y,Ζ；ω)=0FY(X,Y,Ζ；ω)=0FΖ(X,Y,Ζ；ω)=0得{X=0Y=0Ζ=Atanωsinα0(4)点族(0‚0‚Atanωsinα0)是球面族Σω中各球心坐标,非球面族Σω上的点。由微分几何知以ω为族参数的曲面族Σω的包络曲面方程为:{F(X‚Y‚Ζ；ω)=0Fω(X‚Y‚Ζ；ω)=0且去掉Σω上的奇点(FX=FY=Fz=0的点)。由(2),(3),(4)得以ω为族参数的球面族Σω的包络曲面方程为:{X2+Y2+(Ζ-Atanωsinα0)2-(d-R)2=0Ζsinα0-12tθsin2α0+Rd(12tθsin2α0-Atanω)=0(5)3)球台O1的辊形曲线(接触线)方程球心O1的坐标(A,tθsinα0,tθcosα0)球台O1的方程为:(X-A)2+(Y-tθsinα0)2+(Z-tθcosα0)2-R2=0(6)由(5)(6)联立得球台O1的辊形曲线方程:{X2+Y2+(Ζ-Atanωsinα0)2-(d-R)2=0Ζsinα0-12tθsin2α0+Rd(12tθsin2α0-Atanω)=0(X-A)2+(Y-tθsinα0)2+(Ζ-tθcosα0)2-R2=0(7)在方程组中,tθ是轧辊转角θ的函数,即tθ=f(θ)。设棒料咬入开始变形的瞬时,轧辊转角θ=0°,棒料经过轧制变成完整的球时,轧辊转角θ=θmax。当θ从0°到θmax之间取值时,式(7)又为球台O1的辊形曲面方程。4)球台O2的辊形曲线(接触线)方程与求解球台O1的辊形曲线方程同理,得球台O2的辊形曲线方程:{X2+Y2+(Ζ-Atanωsinα0)2-(d′-R)2=0Ζsinα0-12t′θsin2α0+Rd′(12t′θsin2α0-Atanω)=0(X-A)2+(Y-t′θsinα0)2+(Ζ-t′θcosα0)2-R2=0(8)式中d′=√A2cos2ω+(Acotα0tanω-t′θ)2(9)t′θ——当轧辊转角为θ时,球心O2到X轴的距离,mm在方程组中,t′θ是轧辊转角θ的函数,即t′θ=f′(θ)。当θ从0°到θmax之间取值时,式(8)又为球台O2的辊形曲面方程。2.与连接颈¯j1j2、平直段¯Ο1Ο2成线接触的辊形曲面(1)辊形曲面的图解法(图3)在正面投影上,将轧件轴线放成水平位置,根据交角α0作出辊轴的正面投影O′Z′,在侧面投影上根据连接颈¯j1j2的半径rθ作出有积聚性的投影——圆O″j,再根据中心距A作出辊轴的侧面投影O″Z″,同时作出O″X″、O″Y″。为求连接颈¯j1j2与辊形曲面的接触线,必先求其接触点。为此,在辊轴上取一点Mj,正面投影为M′j,侧面投影为M″j,M″j与轧件轴心O″j的连线O″jM″j与O″X″的负方向夹角设为ωj。O″jM″j与圆O″j的交点K″j就是球Mj与轧件连接颈¯j1j2的接触点(切点)Kj的侧面投影,显然球Mj的半径r为K″jM″j。由于K″j在球Mj侧面投影的外形轮廓大圆上,而此大圆的正面投影就是过点M′j且与轧件轴线垂直的直径,这样便可找到接触点Kj的正面投影K′j。若在辊轴的某一范围内取一系列Mj,就可得一系列接触点Kj,将各点Kj光滑地连接起来就是一条接触线,此接触线就是对应轧件连接颈j1j2¯的轧辊辊形曲线。随着连接颈j1j2¯的轴向移动,可作出一系列相应的辊形曲线,在辊面上不同转角的辊形曲线连成辊形曲面。若将连接颈j1j2¯的半径rθ增大到轧球半径R,同理,在辊轴上取一系列Ms,得到一系列接触点Ks,连接各点Ks的接触线就是对应轧件平直段Ο1Ο2¯的轧辊辊形曲线,相应的辊形曲面为对应其平直段Ο1Ο2¯的辊形曲面。(2)辊形曲面的解析法——连接颈j1j2¯、平直段Ο1Ο2¯的辊形曲线(接触线)方程1)连接颈j1j2¯的辊形曲线(接触线)方程从理论上讲,连接颈j1j2¯的辊形曲线方程的推导过程与前述方法相同:(a)求与连接颈j1j2¯相切的球面族Σωj的方程;(b)求球面族Σωj的包络曲面方程;(c)求连接颈j1j2¯的辊形曲线方程。然而,由于连接颈j1j2¯的侧面投影的积聚性——圆O″j,任意球Mj与连接颈j1j2¯的接触点(切点)Kj的坐标可以由图3中的几何关系直接求出。具体方法如下:设点Kj的坐标为(X,Y,Z)。在侧面投影上O″E=O″O″j-EO″j=A-rθcosωj∴X=O″E=A-rθcosωj(10)Κ″jΜ″j=Acosωj-rθ在正面投影上K′jM′j=K″jM″jsinωj=Atanωj-rθsinωj∴Y=K′jF=K′jM′jcosα0=Acosα0tanωj-rθcosα0sinωj(11)M′jF=K′jM′j·sinα0=Asinα0tanωj-rθsinα0sinωj又0′Μ′j=Atanωjsinα0∴Ζ=0′Μ′j-Μ′jF=Acosα0cotα0tanωj+rθsinα0sinωj(12)由(10)、(11)、(12)得连接颈j1j2¯的辊形曲线(接触线)方程:{X=A-rθcosωjY=Acosα0tanωj-rθcosα0sinωjΖ=Acosα0cotα0tanωj+rθsinα0sinωj(13a)即{X=A-rθcosωjY=(Atanωj-rθsinωj)⋅cosα0Ζ=(Acot2α0tanωj+rθsinωj)⋅sinα0(13b)在方程组中,rθ是轧辊转角θ的函数,即rθ=g(θ)。当θ从0°到θmax之间取值时,式(13)又为连接颈j1j2¯的辊形曲面方程。2)平直段Ο1Ο2¯的辊形曲线(接触线)方程在式(13)中,用R取代rθ,用ωs取代ωj,得平直段Ο1Ο2¯的辊形曲线(接触线)方程:{X=A-RcosωsY=(Atanωs-Rsinωs)⋅cosα0Ζ=(Acot2α0tanωs+Rsinωs)⋅sinα0(14)当轧辊的转角θ从0°到θmax变化时,轧件的平直段Ο1Ο2¯在轴线方向移动,对应式(14)中的ωs有不同的取值范围,从而由式(14)得到一系列辊形曲线,轧辊在不同转角θ的辊形曲线连成辊形曲面。因此,式(14)又为平直段Ο1Ο2¯的辊形曲面方程。3.ω、ωs、ωj的取值范围(图4)设切球台O1二极限位置的球的球心在轧辊轴上的位置分别为M1,M2;切球台O2二极限位置的球的球心在轧辊轴上的位置分别为M3,M4;切连接颈j1j2二极限位置的球的球心在轧辊轴上的位置分别为Mj1,Mj2。在侧面投影上,M1,M2,M3,M4,Mj1,Mj2分别对应着ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6。(1)确定ω1在H旋转投影上M1点的坐标(0,Acotα0tanω1)D点的坐标(0,tθ-Acot∠1)在ΔDM1N1中DΜ1=tθ-Acot∠1-Acotα0tanω1Ν1Μ1=Acosω1-Atan∠1=Ν1Μ1DΜ1tan∠1=Acosω1-Atθ-Acot∠1-Acotα0tanω1即-tan∠1cotα0sinω1+tθAtan∠1cosω1=1(15)令A0=-tan∠1cotα0=-tanβθcotα0=-rθcotα0R2-rθ2(16)B0=tθAtan∠1=tθAtanβθ=tθ⋅rθA⋅R2-rθ2(17)式中βθ——轧辊转角为θ的连接颈颈夹角rθ——轧辊转角为θ的连接颈半径,mm则A0sinω1+B0cosω1=1(18)解之得ω1=arcsin(A0±B0A02+B02-1A02+B02)(舍去增根)(19)设γθ=arctan(Atθ)(20)式中γθ——颈夹角的比较角当βθ≥γθ时‚0°≤ω1<90°当βθ<γθ时‚-90°<ω1<0°}(21)由式(16)、(17)、(19)、(20)、(21)可确定ω1的值。(2)确定ω4与确定ω1同理,得tan∠2cotα0sinω4-t′θAtan∠2cosω4=1(22)令C0=tan∠2cotα0=tanβ(θ-360)cotα0=r(θ-360)cotα0R2-r(θ-360)2(23)D0=-t′θAtan∠2=-t′θA⋅tanβ(θ-360)=-t′θ⋅r(θ-360)A⋅R2-r(θ-360)2(24)式中β(θ-360)——轧辊转角为θ-360°的连接颈颈夹角r(θ-360)——轧辊转角为θ-360°的连接颈半径,mm则C0sinω4+D0cosω4=1(25)解之得ω4=arcsin(C0±D0C02+D02-1C02+D02)(舍去增根)(26)因为0<ω4<90°(27)由式(23)、(24)、(26)、(27)可确定ω4的值。(3)确定ω2、ω3由图4知Atanω2=tθ·tanα0(28)又Atanω3=t′θtanα0(29)ω2=arctan(tθA⋅tanα0)且0°<ω2<90°(30)ω3=arctan(tθ′A⋅tanα0)且0°<ω3<90°(31)由式(30)、(31)分别确定ω2、ω3的值。(4)确定ω5、ω6与前述同理ω5=arctan(ΡθA⋅tanα0)且0°<ω5<90°(32)ω6=arctan(Ρθ′A⋅tanα0)且0°<ω6<90°(33)式中Pθ——当轧辊转角为θ时,连接颈一端到X轴的距离,mmP′θ——当轧辊