利用外接圆的性质巧解几何题

.PAGE.利用外接圆的性质巧解几何题[摘要]通过巧作外接圆的辅助线，利用外接圆的性质转化原有的题设条件，开阔解题思路，给出有关三角形、四边形等的几何问题解题的新思路，以及托勒密定理在有关几何题的解题的应用，最后进一步推测正多边形外接圆上点的一些其他性质并给出证明。[关键词]三角形外接圆四边形外接圆托勒密定理正多边形外接圆上点的性质Usingthenatureofcircumscribedcircletoslovegeometryskillfully[Abstract]Throughmakingtheauxiliarylineofcircumscribedcircleskillfully,usethenatureofcircumscribedcircletotransformtheoriginalproblemsetconditions,widenourtrainsofthoughtinsolvingproblems,thengivesomenewthoughtstosloverelatedtriangle,quadrilateralandothergeometricproblems.Finally,givingafurtherspeculationaboutsomenatureofdotsoncircumscribedcircleofregularpolygonandprovingit.[Keywords]TrianglecircumscribedcircleQuadrilateralcircumscribedcirclePtolemytheoremNatureofdotsoncircumscribedcircleofregularpolygon目录HYPERLINK摘要=2\*ROMANIHYPERLINK关键词：=2\*ROMANIHYPERLINK第一章引言1HYPERLINK第二章多边形外接圆的性质及作图依据1HYPERLINK〔一〕多边形外接圆的定义1HYPERLINK〔二〕多边形HYPERLINK〔三〕HYPERLINK作外接圆辅助线的依据1HYPERLINK第三章HYPERLINK巧作外接圆在有关三角形几何问题上的应用1HYPERLINK〔一〕HYPERLINK证明角相等1HYPERLINK〔二〕HYPERLINK求线段长HYPERLINKHYPERLINK3HYPERLINK〔三〕证明线段间的关系3HYPERLINK〔四〕最值问题4HYPERLINK第四章巧作外接圆在有关四边形几何问题上的应用5HYPERLINK〔一〕证明角相等5HYPERLINK〔二〕证明线段间的关系6HYPERLINK1、HYPERLINK证明两条线段相等6HYPERLINK2、HYPERLINK证明线段成比例6HYPERLINK〔三〕证明两线间的位置关系7HYPERLINK1、证明两线平行7HYPERLINK2、证明两线垂直8HYPERLINK〔四〕证明三点共线8HYPERLINK〔五〕证明多点共圆HYPERLINKHYPERLINK9HYPERLINK第五章利用托勒密定理及其逆定理证明有关几何题10HYPERLINK〔一〕HYPERLINK托勒密定理10HYPERLINK〔二〕托勒密逆定理HYPERLINK〔三〕定理的应用HYPERLINK11HYPERLINK1、证明"勾股定理〞HYPERLINK11HYPERLINK2、证明等腰梯形一性质HYPERLINK12HYPERLINK3、借助定理巧变原式妙构图形12HYPERLINK第六章HYPERLINK进一步推测并证明正多边形外接圆上点的一些其他性质HYPERLINK14HYPERLINK〔一〕正三角形外接圆上点的性质HYPERLINKHYPERLINK14HYPERLINK性质1HYPERLINKHYPERLINK14HYPERLINK〔二〕正多边形外接圆上点的性质及其推广HYPERLINKHYPERLINK15HYPERLINK1、性质2及其推广HYPERLINKHYPERLINK15HYPERLINK2、性质3及其推广HYPERLINK17HYPERLINKHYPERLINK22HYPERLINKHYPERLINK23HYPERLINKReferencesHYPERLINK23..第一章引言众所周知，圆是一种根本图形,也是一种重要的辅助线。外接圆的性质是中学数学的一个重要知识，在一些几何的解题证明过程中，假设能发现题目中所隐藏的外接圆的条件，进而巧作外接圆并恰当利用外接圆的性质转化原有的题设条件，可使解题过程简单化。因此，掌握这种解题策略，不仅能加强知识的纵横联系，稳固根底知识和根本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。本文将给出巧作外接圆辅助线在解决几何问题上的应用，最后对正多边形外接圆上点的性质进展推广并给出证明。第二章多边形外接圆的性质及作图依据(一)、多边形外接圆的定义：经过多边形各个顶点的圆叫作该多边形的外接圆(二)、多边形外接圆的性质：1、多边形外接圆的圆心到各顶点的距离相等2、不在同一直线上的三点只能确定一个圆，即任意一个三角形都有外接圆3、在同一外接圆上同弧〔或等弧〕所对的弦、圆周角、圆心角、弦心距相等4、接于圆的凸四边形对角互补且一外角等于对角5、外接圆的直径所对的圆周角为直角6、相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等(假设，7、托勒密定理：圆接四边形中，两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积(三)、作外接圆的依据：1、根据"到定点的距离等于定长的点在同一个圆上〞来添加辅助圆2、根据"不在同一直线上的三点确定一个圆〞来添加辅助圆3、根据"对角互补或一外角等于对角的凸四边形接于圆〞来添加辅助圆4、根据"顶点在公共底边的同侧且对底边的角相等的两个三角形有公共的外接圆〞来添加辅助圆5、根据"托勒密定理及其逆定理证明四点共圆〞来添加辅助圆第三章巧作外接圆在有关三角形几何问题上的应用任意一个三角形都有外接圆，然而题目中往往只见三角形，不见其隐藏的外接圆，在审题时假设能准确的找出题目中的关键词和关键数据，将所给信息进展合理的转换，合理的取舍，利用三角形外接圆这一隐含的条件，将三角形外接圆的性质与题目中所给信息有效的结合起来，借助外接圆这一辅助可使问题简单化，本章将从以下四个方面加以说明。(一)、证明角相等例1、：如图3-1所示，在中，，为满足条件及的一个点求证：。图3-1分析：要证是的三等分线，即证。又，如果过点作的中垂线，此时考虑到与三角形外接圆相结合，即只需证，又所对的两圆周角，即转换到证明，又所对的两圆周角，所以只需证，即要证，此时又有，如果我们能证明，那么，即有，故首先需用题目所给条件先证明。证明：如图1，过点作，连接并延长交外接圆于点，连接。为即又又又，即又，即有，即又故为的三等分线(二)、求线段长例2、如图3-2，：和中，,，，，求。图3-2分析：根据有公共斜边的直角三角形定有公共外接圆这一性质，可得如下解法。解：作的外接圆O，那么是O的直径，点在O上，点关于直径的对称点也在O上，连结,,那么有=,.由余弦定理有(三)、证明线段间的关系例3、：如图3-3，为等边三角形，为上一点求证：。图3-3分析：根据所求的式子，可联想到作辅助圆，利用相交弦定理证明证明：作的外接圆，延长交所作辅助圆于，连结为等边三角形由相交弦定理，得〔四〕、最值问题例4、如图3-4，在直角坐标系有一点，另一点满足，求的最大值。图3-4分析:l：，因此利用正弦定理可将三角形的角、对边、和外接圆的半径巧妙的联系起来，从而翻开了思路。解：设的外接圆为圆，其半径为点的轨迹为直线l：由图可知为锐角，在中根据正弦定理得：即圆心在线段的中垂线上，点在直线l上当圆与直线l相切时，第四章巧作外接圆在有关四边形几何问题上的应用"四点共圆〞是平面几何中的重点容，它在几何中的应用非常广泛，然而不像三角形那样并非所有的四边形都有外接圆，其必须满足一定的性质条件，因此在有关四边形几何问题的解题过程中，假设能转换题目所给的条件，利用外接圆的性质将题目中隐藏的外接圆辅助线作出，并应用四点共圆的性质解题，对开阔解题思路，提高解题能力十分有益，本章将从以下五个方面加以说明。〔一〕、证明角相等例5、：如图4-1，为O外一点，切O于，切O于，交于，弦过点求证：图4-1分析：要证，只需证，即证明四点共圆即可，此时依据题目所给条件结合外接圆的性质中射影定理、相交弦定理即可获证。证明：连结，依题意易知由射影定理，得又，那么由相交弦定理，得从而有四点共圆，那么易得〔二〕、证明线段间的关系1、证明两条线段相等例6、：如图4-2，在正方形中，，交的平分线于求证：图4-2分析：，要证，只要证即可证明：连结，又2、证明线段成比例例7、：如图4-3，在O中，切O于点O于点上任意一点，，，求证：..图4-3分析：只需证所在的两个三角形相似。证明：连结由于四点共圆又四点共圆，即有同理从而故所证成立..〔三〕、证明两线间的位置关系1、证明两线平行例8、：如图4-4，在中，，的两条三等分线交于，交于求证：。图4-4分析：要证，即证，故只需依据对称性的性质结合等角之间的转化及证明四点共圆即可。证明：连接，的两条三等分线交于由对称性知，为的三等分线即又即四点共圆，即有又故有2、证明两线垂直例9：：如图4-5，为等边三角形，分别为边上的点，且，与相交于点求证：图4-5分析：利用对角互补或一外角等于对角的凸四边形接于圆，再应用外接圆直径所对的周角为，从而翻开思路。证明：连接，，，即可得四点共圆设点为的中点，那么四点在以为圆心，为直径的圆上〔四〕、证明三点共线例10、：如图4-6，为外接圆上任意一点，点到三边垂线的垂足求证：三点共线。图4-6分析：要证三点共线，可转化为证明，根据题目所给条件，找出其隐藏的外接圆这一条件，结合四点共圆的性质即可获证。证明：连接四点共圆又四点共圆又在有，从而得三点在同一直线上〔五〕、证明多点共圆例11、：如图4-7，为的垂心，为点关于各边的对称点求证：六点共圆。图4-7分析：利用直径所对的圆周角是直角，证明四点共圆，再根据同弧上的圆周角相等及轴对称的性质推出三点均在的外接圆上，从而得到结论。证明：连接，依题意，关于对称，那么四点共圆，即有于是四点共圆，即点在的外接圆上同理可证：也在的外接圆上六点共圆第五章利用托勒密定理及其逆定理证明有关几何题〔一〕、1、托勒密定：理圆接四边形中，两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积2、几何意义：圆接四边形中，一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和等于两对角线所包矩形的面积3、定理证明：：圆接四边形求证：图5-1证明：如下图，四边形接于O，在上取点使得又，故有〔二〕、托勒密逆定理1、托勒密逆定理：假设凸四边形中满足两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积，那么该四边形接于圆2、定理证明：：在凸四边形中求证：四点共圆图5-2证明：在凸四边形取一点，使得，即有又其中等号当且仅当在上，即时成立即在四点共圆时成立故所证成立〔三〕、定理的应用1、证明"勾股定理〞：：如图5-3，在中，求证：图5-3分析：根据直角三角形的特殊性质即可发现其隐藏的外接圆这一条件，将所需证明的式子变形为，构造图形利用托勒密定理即可获证。证明：如下图，作以的斜边为一对角线的矩形，显然是圆接四边形由托勒密定理，有又是矩形2、证明等腰梯形一性质：等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积：如图5-4，在四边形中，，求证：图5-4分析：根据等腰梯形的性质即可发现其隐藏的外接圆条件，将所需证明的式子变形为，根据题目所给条件直接应用托勒密定理即可获证。证明：等腰梯形接于圆由托勒密定理，有又3、借助定理巧变原式妙构图形例1、：如图5-8，是的三边，且求证：图5-8分析：将变形为，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰长为，两对角线长为，一底边长为证明：如下图，作的外接圆，以为圆心，长为半径作弧交的外接圆于点，连接，即四边形为等腰梯形，由托勒密定理，有即又，即例2、：如图5-9，在中，求证：图5-9分析：将结论变形为，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆接四边形证明：如图，作的外接圆，作弦，连接在圆接四边形中，由托勒密定理有：即又又又即有上式两端同除以，得故所证成立第六章进一步推测并证明正多边形外接圆上点的其他一些性质〔一〕、正三角形外接圆上点的性质性质1：正三角形外接圆上任一点到三顶点的距离，其最长者必等于较短二者之和：如图6-1，是正外接圆的劣弧上任意一点〔不与重合〕求证：图6-1分析：此题证法甚多，下面我们将用两种方法加以证明1、法一：补短法图6-2证明：如图6-2所示，延长并在的延长线上截取，连接在正中，又为等边三角形2、法二：直接应用托勒密定理证明证明：由托勒密定理知：在正中有〔二〕、正多边形外接圆上点的性质及其推广1、性质2及其推广〔1〕、性质2：半径为的正三角形外接圆周上任意一点到各顶点距离的平方和为：如图6-3，是半径为的正外接圆周上异于点的任意一点求证：图6-3证明：依题意，在正中有由托勒密定理知，又在中，由余弦定理有整理得即故所证成立〔2〕、性质2的推广引理1：半径为的圆周上任意一弦与此弦所对圆周角的正弦之比等于图6-4证明：如图6-4，由正弦定理易证，即对于圆周角取优弧还是劣弧均成立故引理成立推广：半径为的正边形外接圆周上任意一点到各顶点距离的平方和为图6-5证明：如图6-5，为正边形，为正边形圆周上任意一点，按顺时针方向考虑弦所对的圆周角。设弦所对的圆周角为，那么弦所对的圆周角为，弦所对的圆周角为，，弦所对的圆周角为由引理1得：而故所证成立2、性质3及其推广〔1〕、性质3：正三角形外接圆上任意一点到各边的距离的平方之和为一定值：是半径为的正外接圆上的任意一点，分别为点到边所在直线的距离求证：为一定值图6-6证明：如图6-6所示，以圆心为原点，过点与边平行的直线为轴，建立平面直角坐标系正外接圆的半径为，，那么直线的方程分别为：，，不妨设点的坐标为，那么点到边所在直线的距离分别为为一定值故所证成立〔2〕、推广：正多边形外接圆上任意一点到各边的距离的平方之和为一定值：是半径为的正多边形外接圆上的任意一点，分别为点到边所在直线的距离求证：当点位置变化时，为定值图6-7证明：如图6-7所示，以正多边形外接圆的圆心为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系依题意，正多边形的外接圆半径为，记，那么有，其中，当时点与重合直线的斜率为直线的方程为即可以验证，当有某些直线的斜率不存在时，它们的方程也满足上式不妨设点的坐标为，那么点到边所在直线的距离为而即同理而即为一定值故所证成立结论本文在结合所阅读文献的根底上，更全面的概括了巧作外接圆并利用其性质在三角形、四边形等几何问题上的应用，并以相应的例题加以说明，突显了辅助圆在解几何问题上的优越性，最后对正多边形外接圆周上点的一些性质进展进一步的推广和证明。显然，利用外接圆的性