设而不求的妙用

设而不求在解题中的妙用朱育光宁夏固原四中（756000）数学中许多问题，可用设未知数的方法，然后列出方程(或方程组)，再求出未知数，从而达到解决问题的目的.而本文则是通过设出未知数,沟通与之相联系的已知数量关系后，用常规方法无法解决的情况下，根据题目要求，或图形的几何性质，以及式子的结构特征，通过运算，或进行恰当的变化，通过未知数的中间桥梁作用，得出结果，使问题获解.一抵消未知数例1.某同学在求30个数的平均数时，错将150看成105，这样计算的结果比实际少多少？解设其余29个数的和为x，则这30个数的平均数正确的是，弄错后为,于是有-=.二约去未知数例2．一个摩托车手在旅程中速度是40千米／时，在旅程中速度是50千米／时，则在他的全程中平均速度为＿＿＿＿＿＿.（江苏省第十九届初中数学竞赛题）解设全程为千米，则旅程中用的时间是小时，旅程中用的时间是小时，于是有＝＝＝.例3．某校初一与初二年级的学生人数相同，初三年级的学生人数是初二年级的学生人数的，已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级的男生人数占三个年级男生总人数，那么三个年级的女生占三个年级总人数的.(第十七届“希望杯”数学邀请赛初二试题).A.B.C. D.解设初一年级有男生x人，女生y人，则初二年级有男生y人，女生x人，初三年级共有学生(x+y)人，三个年级总人数为2(x+y)+(x+y)人.再设初三年级有男生z人，则女生为(x+y)-z人，三个年级女生总人数为x+y+(x+y)-z人.于是有,即x+y=3z.∴.故应选D. 三．用未知数作判断例4．正方形ABCD中，E为AD中点，F是CD上一点，并且DF=DC,求证：BE⊥EF.证明设DF=a,则AE=DE=2a,CF=3a,AB=BC=4a.在Rt⊿ABE,Rt⊿DEF和Rt⊿BCF中,由勾股定理有BE2＝AB2+AE2＝20a2,EF2=DE2+DF2=5a2.∴BF2=BC2+CF2=25a2.于是有BE2+EF2=25a2=BF2，由勾股定理的逆定理知BE⊥EF.四．变化未知数例5．某种果品店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果、8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果.已知A水果每千克2元，B水果每千克元，C水果每千克10元,某天该商店销售这三种搭配共元其中A水果销售额116元,则C水果销售额＿＿＿元?（2000年全国初中数学竞赛试题）解设某天该店销售这三种搭配的糖果分别是xyz份.数据整理填在表格中.于是有品品种搭配方案ABC份数甲种方案2千克4千克x已种方案3千克8千克1千克y丙种方案2千克6千克1千克z价格2元／千克元／千克10元／千克销售量(2x+3y+2z)千克(4x+8y+6z)千克(y+z)千克销售额2(2x+3y+2z)元(4x+8y+6z)元10(y+z)元化简成消去x有y+z=15.∴C水果销售额为10（y+z）＝150（元）.说明：本题中涉及到搭配方案、品种、价格、销售量、销售额，种类繁杂，数据又多，相互干扰，一下理不出头绪来，用表格方法来分析，可减少干扰，容易找出它们之间的数量关系。列出式子后，例6．长方体的长，宽，高的和是19，对角线BB1长是13，求它的表面积.解设长方体的长，宽，高分别是a、b、c,则它的表面积为2ab+2ac+2bc.由已知条件有 a＋b＋c=19.①a2+b2+c2=132.②的两端平方，有a2+b2+c2＋2ab+2ac+2bc=192.③③－②有2ab+2ac+2bc=192.例7．四边形ABCD各边的中点E、F、M、N的连线EN、MF交于O，分四边形ABCD的面积三块为6,8，10，求第四块的面积.(第十七届“希望杯”数学邀请赛初二培训题).解连结OA,OB,OC,OD，设S⊿OAE＝S⊿OBE=a,S⊿OBF=S⊿OCF=b,S⊿OCM=S⊿OMD=c,S⊿ODN=S⊿OAN=d,问题转化成求a+d.由此可知a+d=6①a+b=8②b+c=10③③-②有c-a=2④①+④有d+c=8 另解由图中可看出，S四边形EBFO+S四边形MOND=S四边形OFCM+S四边形NOEA=a+b+c+d=16. ∴S四边形NOEA=16-S四边形OFCM=8. 说明前者设出四个未知数，再由已知条件得到三个等式.按常规，无法具体求出d和c，但由三个式子简单变化，便到d+c=8.对于后者，把设出的未知数标在图上，可清楚地看到，S四边形EBFO+S四边形MOND=S四边形OFCM+S四边形NOEA=a+b+c+d=1