韩汝琦固体物理学课件

材料物理潘保武教授中北大学材料科学与工程学院材料物理2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院2序

固体物理学的历史如果要从人类使用固体来谈固体物理学的发展史，那么可以追溯到几百万年前的石器时代，或者几万年前人类开始冶炼金属、制造农具和刀箭的时代。通过炼金术，人们了解了一些材料的颜色、硬度、熔化等性质，并用之于绘画、装饰等，但这只能说人们学会了使用固体。在这段漫长的历史时期中，固体并没有构成一门学问。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院3早在1611年，开普勒就开始思考雪花为什么呈六角形；1843年，法拉第曾惊奇地发现硫化银的电阻随着温度的升高而下降；1929年，迈斯纳又观测到硫化铜在非常低的温度(2K)下突然变成比纯铜还好得多的导体；从公元前3000年一直到本世纪初的整个历史阶段，人们一直被指南针为什么能指方向这个问题所困惑。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院4到了19世纪，随着科技的进步，人们对固体的认识速度加快了，程度加深了。1830年布拉菲（A.Bravais）提出了晶体结构的空间点阵学说，认为晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地作周期性地无限分布；尔后，熊夫利（Schoenflies）从理论上证明晶体有32个点群，230个空间群；1827年欧姆经过对不同材料导电性的研究建立了欧姆定律；1895年居里在研究不同材料的磁性之后提出居里定律。尽管上述对固体的结构，固体在外场中的特性都是固体物理学的研究课题，尽管已经发现了很多新现象、新效应，但是当时还没有形成固体物理学，因为那时还没有提出能够用于计（估）算、并与实验相符的物理模型。经过漫长岁月的孕育，特别是有了19世纪以来在晶体结构，固体的电学、磁学、光学、热学等方面的发展所奠定的基础，固体物理学才形成一门完整的学科。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院5固体物理学经过20世纪的迅速发展，我们现在已从根本上完全理解了这些问题，而且可以依据物质的原子结构和电子结构来解释材料的各种特性；可以按照预先的构想和设计制备具有新奇性能的微结构固体，制备具有优异性能的人工材料和器件；还可以利用扫描隧道显微镜直接观察固体中原子的形貌及其运动；以及在极端条件下，如毫开(mK)量级的低温，10-10乇的超高真空，4×106MPa的超高压，强磁场，强光作用等极端条件下研究固体的原子结构、电子结构及其与宏观性质的关系。人们可以从固体的基本原理出发，建立物理模型，借助于大型计算机计算固体的电子结构，获得与实验大致符合的结果。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院6现在，固体物理学的领域已扩大成为包括量子液体H3、H4及其它液体的凝聚态物理学。自从第二次世界大战以来，固体物理学发展非常之快，已经成为当今物理学的重要分支学科之一。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院7固体物理研究的对象

固体物理学是研究固体的结构及其组成粒子之间相互作用与运动规律以阐明其性能与用途的学科。固体可分为：晶体、准晶体、多晶体、非晶体。固体物理主要研究晶体及晶体中原子和电子的运动规律及其性质。参考教材：

1.方俊鑫、陆栋《固体物理学》2.黄昆、韩汝琦《固体物理学》2023/8/8材料物理中北大学第一章晶体学基础第一章晶体学基础2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院91.1晶体的特征一个理想晶体是由全同的结构单元在空间无限重复而构成的。最简单的晶体，如铜、铁、铝和碱金属，它们的结构单元都是一种原子。有的结构单元包含多种原子和分子，如无机物晶体可以多达100个，而蛋白质晶体更是高达10000个。不同原子构成的晶体，其性质有很大的区别。如Al是良好的导电体，而Al2O3是优良的绝缘体。同种原子构成的晶体，如果结构不同，其性质也会相差很远。（如金刚石与石墨）但是，晶体有着其共同的特征，我们可以归纳为如下几点：2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院101.1.1长程有序现在人们已经可以用X射线衍射的方法对构成金属的小晶粒进行研究，结果表明，在这些尺寸为微米(

m)数量级的小晶粒内部，原子的排列是有序的。在晶体内部呈现的这种原子的有序排列，称为长程有序。它是晶体材料具有的共同的特征。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院111.1.2解理性发育良好的晶体，外形上最显著的特征是晶面有规则的排列。一个理想的完整的晶体，相应的晶面具有相同的面积。晶体外形上的这种规则性是晶体内部分子（原子）之间的有序排列的反映。晶体具有沿着某些确定方位的晶面劈裂的性质，这种性质称为晶体的解理性，相应的晶面称为解理面。显露在晶体外面的往往是一些解理面。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院121.1.3晶面角守恒同种晶体的两个对应晶面之间的夹角恒定不变。石英(SiO2)晶体b面和c面之间的夹角总是120

00’，a面和c面之间的夹角总是113

08’。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院13人造石英晶体2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院141.1.4自限性晶体具有自发地形成封闭几何多面体的特性，称之为晶体的自限性。这一特性是晶体内部原子的规则排列在晶体宏观形态上的反映。由于生长条件不同，同一晶体的外形会有差异。尽管同一晶体其外形可能不同，但相应的两晶面之间的夹角总是不变的，这一规律称之为晶面夹角守恒规律。石英晶体的mm夹角为60

0’，mR两面的夹角为38

13’，mr两面的夹角为38

13’。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院151.1.5各向异性晶体的物理性质在不同方向上存在着差异，这种现象称为晶体的各相异性。（晶体的解理性也是各向异性的表现，是晶体区别于非晶体的重要特征）晶体的晶面往往排列成带状，晶面间的交线（称为晶棱）互相平行，这些晶面的组合称为晶带，晶棱的共同方向称为该晶带的带轴。例如石英的m面构成一个晶带，晶带的带轴是石英的一个晶轴，即c轴。在不同的带轴方向上，晶体的物理性质是不同的。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院16

如图1-1中的a-1-c-2组成一个带。这些互相平行的晶棱的共同方向称为该晶带的带轴，如图1-1中o’o。通常所说的晶轴是重要的带轴。在不同的带轴方向上晶体的物理性质不同，这是晶体的各向异性。a1c2bd3o’o图1-12023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院17氯化钠晶体的几种外形：由于生长条件的不同，同一品种的晶体，其外形不是一样的，例如氯化钠晶体的外型可以是立方体或八面体，也可以是立方和八面的混合体，如下图所示。（a）立方体（b）八面体（c）立方和八面混合体2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院181.2空间点阵晶体最主要的特征是晶体内部原子排列具有周期性。晶体具有规则的几何外形，晶体的各向异性晶体的宏观对称性，是晶体中原子规则排列的结果。晶体中原子排列的形式是研究晶体的宏观性质和各种微观过程的基础。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院19晶体中原子排列具有周期性是指，晶体是由完全相同的原子或原子团在空间中规则地重复排列组成的，晶体可以看成一个原子或一个原子团以某种方式在空间周期重复平移的结果。也就是说,当沿晶体的任一方向行进时，会周期性的遇见完全相同的原子或原子团，这就是原子排列的周期性，或者称为长程有序.晶体原子排列的周期性也叫平移对称性。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院2019世纪布拉菲提出的空间点阵学说就是对晶体的长程有序的有效描述。按照空间点阵的学说，晶体内部结构是由一些相同的点子在空间规则地做周期性无限分布所构成的系统，这些点子的总体称为点阵。我们把布拉菲空间点阵学说简单概括为四个要点：2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院21空间点阵的四个要点1.空间点阵的点子代表了结构中相同的位置，称为结点。组成晶体的原子可以是一种，也可以是多种。结点一般代表原子周围相应点的位置，也可以是原子的位置。我们把由几种原子构成晶体的基本结构单元称为基元。节点既可以代表基元中任意的点子，也可以代表基元的重心。如下图。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院22结点示意图2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院232.空间点阵学说准确的描述了晶体的周期性。由于晶体中所有的基元完全等同，所以，整个晶体的结构可以看作是由基元沿空间三个不同的方向，各按照一定周期性平移而构成的。一般的，晶体在同一方向上具有相同的周期，在不同方向上具有不同的周期。（这一点在薛定谔方程中分析势能必须用到的。）2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院243.沿三个不同方向，通过点阵中的结点，可以作许多平行的直线族和平行的晶面族，使点阵形成三维网格。这些将结点全部包括在其中的网格称为晶格。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院25需要区分的一对概念：原胞与晶胞原胞：固体物理使用的概念。通常可以取一个结点为顶点，边长分别为三个不同方向的平行六面体作为重复单元来反映晶格的周期性。这个体积最小的重复单元称为原胞。晶胞：结晶学使用的概念。结晶学要求在反映周期性的同时，还要表述每种晶体特殊的对称性，因而选取的重复单元体积不一定最小。这种重复单元称为布拉菲原胞或结晶学原胞，简称晶胞。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院26晶胞的选择2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院274.结点的总体称为布拉菲点阵，或布拉菲格子。布拉菲格子中，每点周围的情况都一样。如果晶体由完全相同的一种原子组成，且基元中仅包含一个原子，则相应的网格就是布拉菲格子，与结点所组成的相同。以下，我们用更为精确的方法来描述晶体的这些特性，或者说定量的来表述晶体的性质。这样需要使用数学工具来表达。其中最主要的数学工具之一是矢量分析！2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院281.3晶体的矢量描述空间点阵的描述方式：

点阵+基元=晶体结构晶体结构基元空间点阵2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院29晶格的周期性、基矢通过点阵中的结点，可以作许多平行的直线族将结点连接起来，形成格子状图形，这样点阵就成为网格，称为晶格（或空间格子）。空间点阵与空间格子是一回事。之所以要引入空间格子的概念，是为了把空间点阵划分成许许多多的平行六面体，整个空间点阵就是这些小的平行六面体堆砌而成的。这样的平行六面体称为原胞。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院30原胞的特点原胞是以格点为顶点，以三个不共面的独立方向上的晶格的周期为边长所构成的平行六面体。三个不共面的独立方向上的周期，称为晶格基矢，一般用表示。原胞的特征由基矢的大小a1、a2、a3以及它们之间的夹角α、β、γ规定。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院31

原胞是晶格中体积最小的周期性重复区域：原胞的格点只能位于平行六面体的的顶点上。原胞只包含一个格点；原胞的重复堆砌，便可以得到整个晶格；原胞的选取是不唯一的。原胞的体积为:2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院32晶格矢量晶格的周期性也可以用基矢量来描述。选取某一格点为坐标原点，以基矢量为坐标轴，构成坐标系，因此，所有布拉菲格点的径向量，也称为晶格矢量，都可以表示为：为整数。式中2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院33这样，一个三维的布拉菲点阵，也可以看成是由具有晶格矢量的一系列点所构成的。这就是晶格的平移对称性，因为平移一个晶格矢量后，晶体原子排列同他们原来的排列情况一样。各原胞中相应点的径向矢量之间，只能相差一个晶格矢量。

可用表示空间格子。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院34晶格周期性的数学表示设晶体中有两点,其径向矢量分别为若：则这两点晶体中原子的分布情况是一样的。晶体的微观物理性质完全一样。若Γ代表晶格的任一物理性质，对于晶格内任一点r，恒有：2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院352023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院36

空间点阵、原胞、基矢（晶格矢量）是描述晶体原子排列结构周期性的三种方法，它们彼此相关。对于一定的晶体，其内部结构的周期性是一定的，即布拉菲格子是一定的，但原胞、基矢量的选取却并不是唯一的。结论2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院37

单胞(Conventionalunitcell)：原胞是晶格中体积最小的周期性重复单元。有些情况下，原胞不能反映晶格的点对称性。为了反映晶格的点对称性，结晶学上所取的重复单元也是一平行六面体，其基矢（用a、b、c）沿晶轴方向以反映晶体的宏观对称性，但重复单元的体积不一定是最小的，即格点不仅在平行六面体顶点上，还可以在平行六面体的体心和面心上。这样选取的重复单元称为惯用单胞，简称单胞，教材中叫结晶学原胞。单胞基矢的大小也是该方向的平移周期。在晶体学中已经对各种类型的布拉伐格子如何选取单胞做了统一的规定。单胞基矢的长度称为晶格常数。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院38

晶体中原子排列的周期性以及由周期性所决定的对称性是晶体的两大特征。根据晶体对称性选取单胞时，将晶体划分为七个晶系，共有14种布拉菲单胞（点阵）。2023/8/8材料物理中北大学14种布拉菲点阵分属7个晶系。

14种布拉菲点阵2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院40

通常人们说某种晶体的空间点阵指的是单胞。单胞在有些情况下就是原胞，有时则不同。对每种单胞，人们已经有习惯的原胞选取方式。下面以立方晶系为例说明。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院41简单立方：格点在立方体的顶角上，单胞与原胞相同。属于立方晶系的布拉菲单胞有简单立方、体心立方和面心立方三种。立方晶系单胞的三个基矢长度相等，并且互相垂直：2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院42体心立方：除了立方体的顶角有格点，在立方体的中心还有格点。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院43面心立方：除了顶角上有格点外，在立方体的六个面的中心还有六个格点。面心立方的单胞和原胞2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院442023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院45密堆积的两种方式FCCHCP2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院46SimpleCubic2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院47FCC2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院48典型的晶体结构(Cu)4(000)(W)2(000)CsClCs+1Cl-1(000)

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结构型单胞中的原子个数原子在单胞中的位置最近邻距离配位数2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院49典型的晶体结构结构型单胞中的原子个数原子在单胞中的位置最近邻距离配位数8(000)4金刚石NaClNa+

4Cl-4(000)62023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院50简单晶格和复式晶格

在前面我们把晶体结构表述为基元＋空间点阵，一个基元可能是一个原子，也可以是由若干个原子所组成的原子集团。但是，我们使用的教材中，对于基元包含两个或更多的原子的晶体，不是按基元抽象点阵，而是分别抽象出每一种等价原子的晶格。不同等价原子形成的晶格是相同的（都等同于基元的晶格），但这些晶格相对有位移。整个晶体结构表述为这些晶格互相套构而成。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院51教材中把基元包含一个原子的晶格叫简单晶格，而基元包含两种或两种以上原子的晶格称为复式晶格。教材中的布拉菲格子指的是简单晶格，所以，教材中说，复式格子是由若干个相同的布拉菲格子互相位移套构而成的。下面以CsCl晶体为例说明。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院522023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院53几个简单晶体结构实例金刚石结构的空间点阵是面心立方，与每个阵点联系的基元是两个全同原子，分别位于000和1/4、1/4、1/4。1金刚石结构2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院54金刚石结构在（100）面上投影2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院55[111]2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院56金刚石结构可看成两个面心立方套构而成2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院572氯化钠结构布拉菲点阵是面心立方，基元由一个Na原子和一个Cl原子，其间距为一个单位立方体对角线的一半。钠000氯碱金属和卤族元素的化合物大多都具有NaCl结构2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院58布拉菲点阵是简立方。基元中包含一个Cs+离子和一个Cl-离子。分别位于顶点和体心。3氯化铯结构2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院59CaTiO3钙钛矿结构：一个处于顶点的钙原子、一个处于体心的钛原子和三个处于面心的氧原子各自组成简单立方晶格，钙钛矿结构就是由这五个边长相同的简单立方晶格套构而成的。许多重要的介电晶体如BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3和高温氧化物超导体YBa2Cu3O7等都具有钙钛矿结构。4钙钛矿结构

2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院601.4密勒指数

晶体的一个基本特点是具有方向性，沿晶格的不同方向晶体性质可能不同，下面介绍怎样区别和标志晶格中的不同方向和不同的晶面。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院61

晶格中的格点可以看成分布在一系列相互平行等距的直线（这些直线称为晶列）族上，每一族晶列定义一个方向，称为晶向。同一个布拉菲格子可以形成方向不同的晶族，晶体的不同方向就是用晶向来区分的。1.4.1晶向和晶向指数2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院62晶向指数晶向指数：[uvw]任意阵点P的位置可以用矢量或者坐标来表示。OP=u+v+w2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院63晶向指数的确定步骤1)以晶胞的某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴x,y,z,以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。

2)过原点O作一直线OP，使其平行于待定晶向。3)在直线OP上选取距原点O最近的一个阵点P，确定P点的3个坐标值。

4)将这3个坐标值化为最小整数u，v，w，加以方括号，[uvw]即为待定晶向的晶向指数。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院64晶向指数的例子一些重要晶向的晶向指数2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院65

由于晶格的对称性，晶体在某些晶向上的性质可能是完全相同的，这些晶向称为等效晶向，用<

uvw>表示。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院66晶向指数的意义晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶向；所指方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反；晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用<uvw>表示2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院671.4.2晶面和晶面指数晶格中的格点也可以看成分布在系列平行等距的平面上，这种由格点组成的平面称为晶面。彼此平行的晶面构成一族晶面。一族晶面中，各晶面上格点分布情况相同，晶面与晶面之间的距离相等，一族晶面可以把所有的格点无遗漏包含进去。一族晶面的特点是有共同的取向。一个格点可在不同方向上组成晶面。不同的晶面用晶面指数来标志和区分。确定晶面指数时，采用与晶向指数同样的坐标系。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院68

为了表示一族晶面的取向，只需要知道该晶面族中任意一个晶面在三个坐标轴上的截距就可以了。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院691）在坐标系中画出晶面，找出晶面在三个坐标轴上的截距r、s、t2）把各截距用用各轴的基矢除，即以基矢大小为单位表示的截距：3)找出它们的倒数的最小整数比(三个互质数)确定晶面指数的方法2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院704）晶面的面指数用h、k、l表示。按惯例写在圆括号内，即（hkl）。5）晶面指数的几何意义：（hkl）所标志的晶面把基矢a、b、c分别切割成h、k和l等分。它们也是以a、b、c为各轴长度单位所求的晶面截距的倒数值。2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院71一族晶面2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院72晶面指数的例子常见的晶面指数2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院73长方形：FCC(110)正方形：FCC(100)

菱形：FCC(111)

面心立方中的晶面2023/8/8材料物理中北大学2023/9/25材料物理中北大学材料科学与工程学院74晶面指数的意义

在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以{hkl}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。

晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。

立方晶系中，相同指数的晶向和晶面垂直；

立方晶系中，晶面族{111}表示正八面体的面；

立方晶系中，晶面族{110}表示正十二面体的面；20