北京市2013届高三数学第一次模拟考试(西城一模)文新人教B版

北京市西城区2013届高三下学期（4月）一模数学（文）试卷第I卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U={X∈ZIlXI<5},集合A={—2,1,3,4},B={0,2,4}，那么AnCB=U(A){-2,1,4} (B){-2,1,3} (C){0,2}(D){-2,1,3,4}-1+i2．复数-(A)1+i(B)-1+i(C)-1-i(D)1-i(A)(B)(C)(D).执行如图所示的程序框图.若输出y=-、3，则输入角θ=π6π6π3π3.设等比数列{a}的公比为q，前n项和为S，且a>0.若S>2a，则q的取值范围是n n 1 23(A)(-1,0)U(0,1) (B)(-1,0)U(0,1)(C)(-∞,-1)U(ʒ-,+∞) (D)(-∞,-NU(L+∞)5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正(主)视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是(A)6+v3 (B)12+v3(C)12+2v3 (D)24+2√3正《主)视图俯视黑X+1≥0,.设实数X,)满足条件U—y+1≥0,则y-4X的最大值是X+y-2≤0,(A)-41(B)--2(C)4(D)7.已知函数f(X)=X2+bx+c，则“C<0”是"3X∈R，使f(X)<0"的00(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件.如图，正方体ABCD-ABCD中，E是棱BC的1111 11中点，动点P在底面ABCD内，且PA=AE，则

11点P运动形成的图形是(A)线段(C)椭圆的一部分(B)圆弧(D)抛物线的一部分第∏卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．.已知向量i=（1,0），j=（0,1）.若向量i+λj与λi+j垂直，则实数X=Ilog羽X>0, 1.已知函数f(X)=L2C则f(-)+f(-2)= 12X, X<0, 4.抛物线y2=2X的准线方程是；该抛物线的焦点为F，点M（X,y）在此抛物线上，00且MFI=5，则Xo=..某厂对一批元件进行抽样检测.经统计，这批元件

的长度数据（单位：mm）全部介于93至105之间.

将长度数据以2为组距分成以下6组：［93，95），［95，97），［97，99），［99，101），［101，103），

［103,105］，得到如图所示的频率分布直方图.若长

度在［97,103）内的元件为合格品，根据频率分布直

方图，估计这批产品的合格率是 .cosAb3.在^ABC中，内角A,B,C的对边边长分别为a,b,c，且 =-=-.若C=10,cosBa4则^ABC的面积是.αn,.已知数列｛a｝的各项均为正整数，其前n项和为S.若a=\2

n n n+13a+1,na是偶数，口n且a是奇数，

nS=29,3贝Ua1=——；S3n=——・三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)3π已知函数f(X)=SmX+acosX的一个零点是—.(I)求实数a的值；(II)设g(X)=[f(X)]2—2sin2X,求g(X)的单调递增区间.16.(本小题满分14分)在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB//CD,AC=33,AB=2BC=2,AC±FB.(I)求证：AC±平面FBC；(II)求四面体FBCD的体积；(III)线段AC上是否存在点M，使EA〃平面FDM?证明你的结论.17.(本小题满分13分)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过4小时.(I)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为3，停车付费多于14元的概率为152,求甲停车付费恰为6元的概率；(I)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率.已知函数f(x)=eX+ax,g(x)=axTnX，其中a≤0.(I)求f(x)的极值；(II)若存在区间M,使f(x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围.19.(本小题满分14分)x2y2如图，已知椭圆式+ɪ-=1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于AB两点，线段AB

I的中点为G,AB的中垂线与X轴和y轴分别交于D,E两点.(I)若点G的横坐标为-1，求直线AB的斜率；4(11)记4GFD的面积为S,△OED(O为原点)的面1积为S.试问：是否存在直线AB,使得S=S?说明理由.

2 1220.(本小题满分13分)已知集合S={XIX=(x,X,…,X),X∈N*,i=1,2,…,■5≥2).n 1 2 ni对于A=(a,a,∙∙∙,a),B=(b,b,…,b)∈S，定义AB=(b一a,b一a,∙∙∙,b一a)；1 2n 1 2nn 1 12 2nnλ(a,a,∙∙∙,a)=(λa,λa,∙∙∙,λa)(λ∈R)；1 2 n 1 2 nA与B之间的距离为d(A,B)=ZIa一bI.iii=1(I)当n=5时，设A=(1,2,1,2,5),B=(2,4,2,1,3),求d(A,B)；(II)证明：若A,B,C∈S,且3λ>0,使AB=λBC，贝Ud(A,B)+d(B,C)=d(A,C)；n(III)记I=(1,1,…,1)∈S.若A,B∈S,且d(I,A)=d(I,B)=13,求d(A,B)的20 20最大值.北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B；2．A； 3．D； 4．B； 5．C；二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.79.0； 10.——；412.80%； 13.24；注：11、14题第一问2分，第二问3分.2013.46.C； 7.A； 8.B.11.x=—~，2；14.5,7n+22.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.(本小题满分13分)3π(I)解：依题意，得f()=0, 41分.3π 3π√2√2a八即Sin—+aCos——=——一 =0, 34 4 2 2分解得a=1. 5分(II)解：由(1)得f(x)=Sinx+Cosx. 6分g(x)=[f(x)]2-2sin2x=(sinx+cosx)2-2sin2x=sin2x+cos2x 8分12分13分=√2sin(2x+4).πππ2kπ-—<2X+—≤2kπ+一3π πkπ-——≤x≤kπ+,k∈Z.8 83ππ所以g(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+-],k∈Z.8816．(本小题满分14分)(I)证明：在^ABC中,因为AC=√3,AB=2BC=1,所以AC±BC.2分又因为AC±FB,所以AC±平面FBC.4分(II)解：因为ACɪ平面FBC所以AC±FC.因为CD±FC,所以FC±平面ABCD.6分在等腰梯形ABCD中可得CB=DC=1所以FC=1.BCD7分由得所S= 4.242，，，,以△的面积为所以四面体FBCD的体积为：VF-BCD=3S∙FC=K.9分(III)解：线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA//平面FDM，证明如下:…10分连结CE,与DF交于点N,连接MN.因为CDEF为正方形，所以N为CE中点.11分所以EA//MN. 12分因为MNU平面FDM,EAD平面FDM, 13分所以EA〃平面FDM.所以线段AC上存在点M，使得EA〃平面FDM成立. 14分17.(本小题满分13分)(I)解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A,1分贝UP(A)=1一(ɪ+*)=L.312 4所以甲临时停车付费恰为6元的概率是14.4分(II)解：设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a,b=6,14,22,30.6分则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22),(22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30),共16种情形. ………………10分其中,(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意. ………………12分41

故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为P= =-. 16413分18.(本小题满分13分)(I)解：f(X)的定义域为R,且f'(X)=eX+a.①当a=0时，f(X)=eX，故f(X)在R上单调递增.从而 f(x) 没有极大值，也没有极小值. 4分②当aV0时，令f(X)=0，得X=ln(-a).f(X)和f'(X)的情况如下：X(-∞,ln(-a))ln(-a)(ln(-a),+∞)―f(X)一0+f(X)\/故f(X)的单调减区间为(-∞,ln(—a))；单调增区间为(ln(—a),+∞).从而f(X)的极小值为f(ln(-a))=-a+aln(-a)；没有极大值. 6分(II)解：g(X)的定义域为(0,+∞),且g'(X)=a-1=ax-1. XX8分③当a=0时，f(X)在R上单调递增，g(X)在(0,+∞)上单调递减，不合题意.…9分④当aV0时，gf(X)<0,g(X)在(0,+∞)上单调递减.当-1≤aV0时，ln(-a)≤0,此时f(X)在(ln(-a),+∞)上单调递增，由于g(X)在(0,+∞) 上单调递减,不合题意. 11分当aV-1时，ln(-a)>0,此时f(X)在(-∞,ln(-a))上单调递减，由于f(X)在(0,+∞)上单调递减，符合题意.综上，a的取值范围是(-∞,-1). (I)解：依题意，直线AB的斜率存在，设其方程为y=k(X+1).1分X2 y2将其代入丁⅜=1,整理得(4k2+3)X2+8k2X+4k2—12=0.3分设A(XN),B(X2,V2)，所以—8k2X+X= 1 2 4k2+34分X+X —4k2故点6的横坐标为丁=E依题意，得—4k24k2+3146分解得k=+-!-.27分(H)解：假设存在直线AB,使得"=S2,显然直线AB不能与X,y轴垂直.由(I)可得G(—4k2 3k)4k2+3'4k2+38分因为DG±AB,3k所以4k2+3Xk=—1,—4k2 -X4k2+3D解得—k2X= D 4k2+3一k24k2+3,0)．即D(10分因为△GFD-△OED,所以S=S=IGDI=IODI.12所以(一k2-4k24k2+34k2+3)2+(3k4k2+3)2=-k24k2+3，12分整理得8k2+9=0．13分因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S=S.1214分20．(本小题满分13分)(I)解：当n=5时，由d(A,B)=E∣a―bI,iii=1得d(A,B)=|1-2|+|2-4|+|1-2|+|2-1|+|5-3|=7，所以d(A,B)=7. 3分(II)证明：设A=(a,a,•••,〃)，B=(b,b,∙∙∙,b),C=(C,c,∙∙∙,c).1 2n 1 2n 1 2n因为3λ>0，使通=λBC,所以3λ>0，使得(b-a,b-a,…,一〃)=λ((c-b,c一/?,•••C-b),112 2 nn 112 2 nn所以≡λ>0，使得b-a=λ(C-b)，其中i=1,2,・・.，〃.ii ii所以b-a与C-b(i=1,2,…,Zl)同为非负数或同为负ii ii数. 6分所以d(A,B)+d(B,C)=ZIa-bI+ZIb-cIii iii=1 i=1=Zn(Ib-aI+IC-bI)

iiiii=1=∑lc-a∖=d(A,C). iiz=l∙∙∙8分(ΠI)解法一：J(A,B)=∑IZ?-aI.iiz=l设∕?-〃(2=1,2,…，20)中有加O≤20)项为非负数，20—承项为负数.不妨设iii=1,2,…，加时匕一〃≥0;i=z∕ι+l,z∕ι+2,∙∙∙,20时，b-a<0.,(i i i i所以J(A9B)=∑lZ?-aIiiz=l—[(⅛÷b+…+/?)—(β÷a÷∙∙∙÷β)]+[(〃 ÷ci ÷∙∙∙÷β)—(∕?÷b÷•••+/?)]1 2 m12 m m+1 m+2 20 m+1 m+2 20因为d(I,A)—d(I,B)—13,所以∑(β-l)≡∑(⅛-1),整理得∑βɪ∑⅛,,(I I I Iz=l z=l z=lz=l所以d(A,.B)= Ib—ciI=2[Z?+Z?+∙∙∙+Z?—(ɑ+〃+.•.+〃)] ii 1 2 m12 mz=l10分因为b+b+∙∙∙+Z?=(Z?+b+∙∙∙+Z?)—(J