人教A版高中数学选修一《1.3空间向量及其运算的坐标表示》新版课件(共2课时)

第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示(共2课时102页)人教A版高二数学选修一精品课件第一章空间向量与立体几何1.3.1空间直角坐标系人教A版高二数学选修一精品课件在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：____________，它们都叫坐标轴，这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做________，通过每两条坐标轴的平面叫做________，分别称为________平面，________平面，________平面，它们把空间分成________．x轴、y轴、z轴

空间直角坐标系坐标向量

坐标平面

Oxy

Oyz

Ozx

八个部分

【预习自测】分别与x轴、y轴、z轴共线的向量i，j，k的坐标各有什么特点？【答案】提示：i＝(x,0,0)，j＝(0，y,0)，k＝(0,0，z)．若向量a，b，c为空间向量的正交基底，则向量a，b，c的位置关系是什么？【答案】提示：由正交基底的定义知，当向量a，b，c两两垂直时，向量a，b，c才能成为空间向量的正交基底，故向量a，b，c为空间向量的正交基底，则向量a，b，c的位置关系是两两垂直．(x，y，z)

空间向量的坐标表示xi＋yj＋zk

横坐标

纵坐标竖坐标(x，y，z)

(x，y，z)

1．在空间中，已知动点P(x，y，z)满足z＝0，则动点P的轨迹是

(

)A．平面B．直线C．不是平面，也不是直线D．以上都不对【答案】A【预习自测】【解析】如图，在空间中，已知动点P(x，y，z)满足z＝0，则动点P的轨迹是坐标平面Oxy面．【答案】B【解析】由点的坐标定义可知，点P(1,2,3)到平面Ozx的距离是2.故选B．4．在空间直角坐标系中，点A(1，－1,1)关于原点对称的点的坐标为________．【答案】(－1,1，－1)【解析】点A(1，－1,1)关于原点对称的点的坐标为(－1,1，－1)．|课堂互动|如图，点A(0,0，a)，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求点D，C，E，F的坐标．素养点睛：考查直观想象、数学建模的核心素养．题型1空间中点的坐标表示求某点P的坐标的方法先找到点P在Oxy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，即可得到相应的点P的坐标．提醒：求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．1．(变式练)如图，在底面是菱形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面的边长为a，且∠A1B1C1＝120°，侧棱长为2a，在空间直角坐标系中确定点A1，D，C的坐标．2．(拓展练)如图，在矩形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得平面BCD⊥平面ABD．现以D为原点，DB作为y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，此时点A恰好在Dxy坐标平面内．试求A，C两点的坐标．解：如图，由于平面BCD⊥平面ABD，从面BCD引棱DB的垂线CF，即为平面ABD的垂线．同理可作AE，即为平面BCD的垂线．因为矩形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，所以BD＝5.在直角三角形DAB与直角三角形DCB中，由射影定理知DA2＝DE×BD，素养点睛：考查直观想象、数学建模的核心素养．【答案】C【解析】因为点A和点B的纵坐标相同，横坐标和竖坐标都互为相反数，所以点A和点B关于y轴对称．探究2求关于坐标轴平面对称的点

点(2,3,2)关于平面xOy的对称点的坐标为 (

)A．(2,3，－2) B．(－2，－3，－2)C．(－2，－3,2) D．(2，－3，－2)

素养点睛：考查直观想象、数学建模的核心素养．【答案】A【解析】因为关于平面Oxy的对称点的横坐标、纵坐标不变，而竖坐标互为相反数，所以点(2,3,2)关于平面Oxy的对称点的坐标为(2,3，－2)．素养点睛：考查直观想象、数学建模的核心素养．【答案】A【解析】由线段中点坐标公式，则A(3，－2，4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是(0×2－3,1×2＋2，－3×2－4)＝(－3,4，－10)．在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下：关于Oxy平面对称关于Oyz平面对称关于Ozx平面对称关于原点对称关于x轴对称关于y轴对称关于z轴对称(x，y，－z)(－x，y，z)(x，－y，z)(－x，－y，－z)(x，－y，－z)(－x，y，－z)(－x，－y，z)其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于Oxy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．3．已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．【答案】(2，－3,1)【解析】点P(2,3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．4．如图，正方体AOCD－A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴对称的点的坐标为________．【答案】(－1，－2，－1)【解析】因为D(2，－2,0)，C′(0，－2,2)，所以线段DC′的中点M的坐标为(1，－2,1)，所以点M关于y轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．素养点睛：考查直观想象、数学建模的核心素养．求向量的坐标时，首先要建立空间直角坐标系、确定单位正交基底，然后根据向量的运算将向量用单位正交基底表示，进而可得所求向量的坐标，这是将向量问题数量化的基础．解：∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴以DA，AB，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．

四棱锥V－ABCD中，底面是边长为4且∠ABC＝60°的菱形，顶点V在底面的射影是底面对角线的交点O，VO＝3，建立正确的坐标系求各点的坐标时，下列建系方式正确的是

(

)A．(2)(3)B．(2)(4)C．(1)(4)D．(1)(2)(4)易错警示求空间中点的坐标的建系问题错解：选D．在空间直角坐标系中，三个坐标轴的位置关系是两两垂直．由于菱形的对角线互相垂直，且VO垂直于底面，则VO，AO，BO和VO，BO，CO两两互相垂直；(3)中的x轴和y轴不垂直，(1)(3)(4)中三个坐标轴两两互相垂直．错解分析：错误的根本原因是忽略了坐标轴应两两互相垂直而错选．正解：选B．在空间直角坐标系中，三个坐标轴的位置关系是两两垂直．由于菱形的对角线互相垂直，且VO垂直于底面，则VO，AO，BO和VO，BO，CO两两互相垂直；(1)中的x轴和y轴不垂直，(3)中三个坐标轴都不垂直，(2)(4)中三个坐标轴两两互相垂直．防范措施：1．准确把握建系原则空间直角坐标系是右手直角坐标系，故三个坐标轴应两两互相垂直，如本题(1)(3)中x轴和y轴不垂直，故不能构成空间直角坐标系．2．正确使用几何图形的性质建立合理的空间直角坐标系要寻找互相垂直的坐标轴，垂直关系往往用到平面和立体图形的性质，寻找垂直关系的关键是正确使用几何图形的性质．如本题(2)(4)利用了菱形的对角线互相垂直这一性质，从而确定出x轴与y轴互相垂直.|素养达成|1．空间直角坐标系的作图要求(1)将空间直角坐标系Oxyz画在纸上时，x轴与y轴，x轴与z轴均画成135°，而z轴垂直于y轴．(2)y轴和z轴的单位长度相同，x轴的单位长度为y轴(或z轴)单位长度的一半．(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．2．空间直角坐标系中点与有序实数组(x，y，z)的关系在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系．①过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次是x，y，z，这样对于空间任意一点A，就定义了一个有序数组(x，y，z)．②反之，对任意一个有序数组(x，y，z)，按照上述作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点即为所求的点A．3．空间中特殊点的坐标(1)原点坐标为(0,0,0)；x轴上的点的坐标为(x,0,0)，y轴上的点的坐标为(0，y,0)，z轴上的点的坐标为(0,0，z)，其中x，y，z为任意实数．(2)Oxy平面上的点的坐标为(x，y,0)，Oyz平面上的点的坐标为(0，y，z)，Ozx平面上的点的坐标为(x,0，z)．其中x，y，z为任意实数．4．对空间向量的坐标的两点说明(1)空间向量坐标的本质a＝(x，y，z)的本质是a＝xi＋yj＋zk，其中{i，j，k}是单位正交基底．(2)空间向量的坐标与点的坐标的联系①起点在原点的向量，坐标与终点坐标相同；②起点不在原点的向量，坐标是终点坐标减去起点对应坐标．1．点P(3,0,4)，Q(0,0，－3)在空间直角坐标系中的位置分别是在

(

)A．y轴上、x轴上B．Ozx平面上、y轴上C．Ozx平面上、z轴上D．Oxy平面上、Oyz平面上【答案】C【解析】因为P(3,0,4)的纵坐标为0，故P点在Ozx平面上．又因为Q(0,0，－3)的横、纵坐标均为0，故Q点在z轴上．2．点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是 (

)A．(4,2,2) B．(2，－1,2)C．(2,1,1) D．(4，－1,2)【答案】C3．点P(1,2，－3)关于Ozx平面对称的点的坐标是 (

)A．(1,2,3) B．(1，－2，－3)C．(－1,2，－3) D．(－1，－2,3)【答案】B【解析】点P(1,2，－3)关于Ozx平面对称的点，即x，z不变，y变为相反数．故选B．4．点M(2,0,0)所在的位置是________．【答案】x轴的正半轴上【解析】由于点M的横坐标为2，纵坐标与竖坐标均为0，因此点M位于x轴的正半轴上．5．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC．试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标．解：以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题设，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.课后作业第一章空间向量与立体几何1.3.2空间向量运算的坐标表示人教A版高二数学选修一精品课件|自学导引|设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则空间向量的坐标运算向量运算向量表示坐标表示加法a＋b__________________减法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa__________________数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)

(λa1，λa2，λa3)

已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－1,0,1)，则a＋2b＝ (

)A．(－1,2,5)

B．(－1,4,5)C．(1,2,5)

D．(1,4,5)【答案】A【解析】a＋2b＝(1,2,3)＋2(－1,0,1)＝(1,2,3)＋(－2，0,2)＝(－1,2,5)．故选A．【预习自测】平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？【答案】提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算法是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．1．空间向量平行和垂直的条件：(1)平行：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔_______________________；(2)垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔__________________.2．空间向量的模及夹角的坐标计算公式：(1)模：|a|＝__________，|b|＝____________；(2)cos〈a，b〉＝_______________________.a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb

空间向量的平行、垂直及模、夹角a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

【预习自测】已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，且b1b2b3≠0，类比平面向量平行的坐标表示，可得到什么结论？向量的坐标及两点间的距离公式【预习自测】1．思维辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广．

(

)(2)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例．

(

)(3)将距离公式中两点的坐标顺序互换，结果不变． (

)【答案】(1)√

(2)√

(3)√【预习自测】【解析】(1)空间中点的坐标比平面内点的坐标，多了竖坐标，此说法正确．(2)平面中点的坐标比空间内点的坐标，少了竖坐标，此说法正确．(3)由距离公式的特征可知，两点的坐标顺序互换，结果不变．【答案】B|课堂互动|已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，2a·(－b)，(a＋b)·(a－b)．素养点睛：考查逻辑推理、数学运算的核心素养．【答案】解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)，2a·(－b)＝2(2，－1，－2)·(0,1，－4)＝14，又a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)，∴(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝－8.题型1空间向量的坐标运算关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标．题型2利用向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题2．(1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，求x，y；(2)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，求k的值．方向2向量法求距离

如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在线段AB上，点Q在线段DC上．(1)当PB＝2AP，且点P关于y轴的对称点为点M时，求|PM|的长度；(2)当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时，探究|PQ|的最小值．

素养点睛：考查逻辑推理、数学运算的核心素养．1．向量夹角的计算步骤(1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上．(2)求方向向量：依据点的坐标求出方向向量的坐标．(3)代入公式：利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角．2．求空间两点间的距离的关键及步骤(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．(2)若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算．一般按如下的步骤：3．已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c.(1)求向量a，b，c；(2)求向量a＋c与b＋c所成角的余弦值．易错警示由向量的夹角求参数的取值范围错解分析：错误的根本原因是忽视了a·b<0包含〈a，b〉＝180°的情况．实际上a与b夹角为钝角⇔a·b<0且〈a，b〉≠180°.正解：选B．因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且〈a，b〉≠180°.由a·b<0得(3，－2，－3)·(－1，x－1,1)＝3×(－1)＋(－2)·(x－1)＋(－3)×1<0，解得x>－2.若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使b＝λa，即(－1，x－1,1)＝λ(3，－2，－3)，防范措施：1．明确两个充要条件(1)向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且〈a，b〉≠0°.(2)向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0且〈a，b〉≠180°.2．注意向量共线情况的计算先利用a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，求出参数，再根据“λ>0，a与b同向，λ<0，a与b反向”确定满足题意的参数的值.|素养达成|1．对空间向量坐标运算的两点说明(1)类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量类似，学习中可以类比推广．推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示，即a＝(x，y)．而在空间中则表示为a＝(