2023-2024学年湖南省永州市冷水滩区李达中学八年级（上）入学数学试卷（含解析）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图所示的各组图形中，表示平移关系的是()

A.B.

C.D.

2.已知是关于、的二元一次方程，则的值为()

A.B.C.D.

3.下列运算一定正确的是()

A.B.C.D.

4.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()

A.B.

C.D.

5.下列说法正确的是()

A.不相交的两直线一定是平行线B.点到直线的垂线段就是点到直线的距离

C.两点之间线段最短D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

6.如图所示，计划在河边的，，，处，引水到处，从何处引水，能使所用的水管最短()

A.处B.处C.处D.处

7.在学校举行“健康阳光少年，做更好的自己”的演讲比赛中，六位评委给小钟的评分分别为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是()

A.，B.，C.，D.，

8.如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为()

A.

B.

C.

D.

9.已知，，则多项式的值为()

A.B.C.D.

10.九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，多余钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为线，根据题意，可列方程组为()

A.B.C.D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.已知方程组，则的值是______．

12.分解因式：．

13.若，则的值为______．

14.甲、乙两名射击手的次测试的平均成绩都是环，方差分别是环，环，则成绩比较稳定的射击手是______填甲或乙．

15.如图，是的平分线，，，则的度数为______．

16.如图，直线、交于点，点关于、的对称点分别为、若，，则的周长是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

解方程组：．

18.本小题分

先化简，再求值：，其中，．

19.本小题分

如图，已知，，．

请你判断与的位置关系，并证明你的结论；

若，平分，试求的度数．

20.本小题分

已知的计算结果中不含和项

求、的值；

当、取第小题的值时，化简并求的值．

21.本小题分

某校要在甲、乙两名同学中选择一人参加市级的演讲比赛，对他们演讲材料、语言表达、形体语言三方面进行测评，根据综合成绩择优去参加比赛他们的各项成绩单项满分分如表所示：

候选人演讲材料语言表达形体语言

甲分分分

乙分分分

如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该让谁参加比赛？

如果想让一名综合能力较强的同学参加比赛，把演讲材料、语言表达、形体语言三方面成绩分别按照，，的比例计入综合成绩，应该让谁参加比赛？

22.本小题分

如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点．

指出旋转中心，并求出旋转的度数；

求出的度数和的长．

23.本小题分

一方有难，八方支援郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州调查得知，辆小货车与辆大货车一次可以满载运输件；辆小货车与辆大货车一次可以满载运输件．

求辆大货车和辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？

现有件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案．

24.本小题分

常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有些多项式只用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法请你利用这种方法解决下列问题：

分解因式：；

若三角形的三边长，，满足，判断三角形的形状．

25.本小题分

如图，，被直线所截，，过点作，是线段上的点，过点作交于点．

求的度数；

将线段沿线段方向平移得到线段，连接．

如图，当时，求的度数；

如图，当时，求的度数；

在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、图形由轴对称得到，不属于平移得到，故本选项错误；

B、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故本选项错误；

C、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故本选项错误；

D、图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，故本选项正确．

故选：．

根据平移不改变图形的形状、大小和方向，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案．

本题考查平移的特点，属于基础题目，注意掌握平移不改变图形的形状、大小和方向．

2.【答案】

【解析】解：根据题意得且，

所以或且，

所以．

故选：．

根据二元一次方程的定义列式进行计算即可得解．

本题考查了二元一次方程的形式及其特点：含有个未知数，未知数的最高次项的次数是的整式方程，要注意未知项的系数不等于．

3.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；

B、，故B不符合题意；

C、，故C不符合题意；

D、，故D符合题意；

故选：．

利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．

本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

4.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

根据因式分解的定义逐个判断即可．

【解答】

解：右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；

B.是因式分解，故本选项符合题意；

C.右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；

D.右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；

故选：．

5.【答案】

【解析】解：、在同一平面内，不相交的两直线一定是平行线，故A说法错误，不符合题意；

B、点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离，故B说法错误，不符合题意；

C、两点之间线段最短，故C说法正确，符合题意；

D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D说法错误，不符合题意；

故选：．

利用平行线的判定，点到直线的距离的定义，线段的定义，垂线的定义对各说法进行分析即可．

本题考查了平行线的判定，线段的性质，两点间的距离，点到直线的距离，解题的关键是正确掌握各个概念．

6.【答案】

【解析】解：，

由垂线段最短可知，从处引水，能使所用的水管最短．

故选：．

根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．

本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．

7.【答案】

【解析】解：这组数据排序后为，，，，，，

这组数据的众数为，

中位数为．

故选：．

首先对这组数据进行排序，根据中位数和众数的定义回答即可．

本题考查了中位数和众数的定义，掌握找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数：如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个则找中间两位数的平均数是关键．

8.【答案】

【解析】解：，，

，

，

，

是由绕点旋转得到的，

为旋转角，

旋转角的度数为．

故选：．

首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解．

此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角．

9.【答案】

【解析】解：，，

，

故选：．

先把代数式分解因式，再整体代入求解．

本题考查了因式分解的应用，整体代入求解是解题的关键．

10.【答案】

【解析】【分析】

根据“若每人出钱，还差钱；若每人出钱，多余钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

【解答】

解：依题意，得：．

故选：．

11.【答案】

【解析】解：，

得：，

；

故答案为：．

根据加减消元可进行求解．

本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．

12.【答案】

【解析】解：，

，

．

先提取公因数，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．

本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．

13.【答案】

【解析】解：，

．

故答案为：．

根据同底数幂的乘法进行计算，然后代入求值即可．

本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及代数式求值，能灵活运用相关运算法则是解此题的关键．

14.【答案】甲

【解析】解：，，

，

成绩比较稳定的是甲，

故答案为：甲．

根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

15.【答案】

【解析】解：，，

，

是的平分线，

，

，

，

故答案为：．

先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后再利用平行线的性质可得，即可解答．

本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：关于、的对称点分别为、，

，

，

的周长，

故答案为：．

根据对称的性质可知，，再根据即可求出的周长．

本题考查的是两条直线相交问题及轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．

17.【答案】解：，

得：，

解得：，

把代入得：，

解得：，

故原方程组的解是：．

【解析】利用加减消元法进行求解即可．

本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键熟练掌握解二元一次方程组的方法．

18.【答案】解：

，

当，时，原式．

【解析】先利用平方差公式，完全平方公式进行计算，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．

本题考查了整式的混合运算化简求值，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

19.【答案】解：，理由：

，，

，

，

又，

，

．

，，

，

又平分，

，

，

又，

．

【解析】依据平行线的判定与性质，即可得到与的数量关系；

利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出的度数，再根据为直角，即可得出．

本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

20.【答案】解：

，

计算结果中不含和项，

，

解得：，

的值为，的值为；

，

当，时，原式．

【解析】先计算多项式乘多项式，再根据计算结果中不含和项可得一个关于，的二元一次方程组，利用消元法解方程组即可解答；

先计算多项式乘多项式，再计算整式的加减法，然后将，的值代入计算即可解答．

本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题关键．

21.【答案】解：甲的平均分为分，

乙的平均分为分．

因为乙的综合成绩比甲的高，

所以应该让乙参加比赛；

甲的综合成绩为分，

乙的综合成绩为分．

因为，

所以应该让甲参加比赛．

【解析】根据算术平均数的计算方法计算即可；

根据加权平均数的计算方法计算即可．

本题考查了算术平均数和加权平均数的知识，掌握算术平均数和加权平均数的计算方法是解答本题的关键．

22.【答案】解：，

即，

逆时针旋转一定角度后与重合，

旋转中心为点，旋转的度数为；

逆时针旋转一定角度后与重合，

，，，

，

点恰好成为的中点，

，

．

【解析】先利用三角形内角和定理计算出，然后根据旋转的定义求解；

根据旋转的性质得，，，则可利用周角定义可计算出，然后计算出，从而得到的长．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

23.【答案】解：设辆小货车一次可以满载运输件物资，辆大货车一次可以满载运输件物资

由题意可得：，

解得：，

答：辆小货车一次可以满载运输件物资，辆大货车一次可以满载运输件物资．

解：设租用小货车辆，大货车辆，

依题意得：，

．

又，均为正整数，

或或，

共有种租车方案，

方案：租用辆小货车，辆大货车；

方案：租用辆小货车，辆大货车；

方案：租用辆小货车，辆大货车．

【解析】设辆小货车一次可以满载运输件物资，辆大货车一次可以满载运输件物资，根据“辆小货车与辆大货车一次可以满载运输件；辆小货车与辆