多输入多输出系统稳定裕度的研究

多输入多输出系统稳定裕度的研究

mimo系统稳定性稳定和自治是自动控制理论的一个重要概念。SISO系统稳定裕度有公认一致的定义,对它进行了较成熟和深入的研究,它反映了系统的稳定程度、抗模型摄动能力、抗外界干扰能力和动态品质。由于MIMO系统各回路之间存在交连和数学描述方法上的复杂性,MIMO系统稳定裕度不象SISO系统那么简单,其概念正在发展中,还没有形成公认一致的定义。本文在广泛参考国内外有关资料的基础上,简要介绍了MIMO系统稳定裕度的几个定义,以便在此基础上作更深入的研究。1稳定延续性的统计方法稳定性问题是自动控制系统设计中的一个基本问题,事实上,自动控制理论的发展就是从Maxwell对于Watt离心调速器的稳定性分析开始的。在设计一个自动控制系统时,总是首先要保证该系统具有某种意义下的稳定性,然后才能考虑系统的其它方面的问题,不稳定的平衡状态或运动规律在现实中是不存在的。由于系统中存在各种不确定性因素,对于任何一个实际的工程控制系统,仅仅指出该系统是否满足数学意义上的稳定是不够的,还要给出系统实际上的相对稳定性——稳定裕度。对于SISO系统来说,根平面上的纵轴是稳定的分界线,系统特征根离纵轴愈远,过渡过程衰减愈快,稳定性质量愈佳;反之,衰减愈慢,稳定性愈差。因此在所有特征根中,具有绝对值最小的负实部的一对稳定根和它的临界状态之间存在“距离”,这种“距离”称之为稳定裕度。应用的稳定判据不同,它的稳定裕度的表示方法也不同。应用幅相判据时,它的稳定裕度是用两个量来表示的:幅值裕度(GM)和相位裕度(PM)。幅值裕度的含义是如果系统的开环传递系数增大到原来的GM倍,则系统就处于临界稳定状态。相位裕度的含义是如果系统对频率为ωc的信号的相位迟后再增大PM度,则系统处于临界稳定状态。如果知道系统的开环传递函数G(s),则系统的幅值裕度和相位裕度由下面计算公式给出:GΜ=20lg(1|G(jωg)|)(1)ΡΜ=180°+arg(G(jωc))(2)式中,ωg为相位交越频率,arg(G(jωg))=-180°;ωc为系统截止频率,|G(jωc)|=1。实际上,幅值裕度和相位裕度表示了系统开环幅相曲线在Nyquist图上与临界状态点(-1,j0)的靠近程度,开环幅相曲线越靠近(-1,j0)点,系统的稳定程度越差;反之,系统的稳定程度越好。开环幅相曲线通过(-1,j0)点,系统处于临界状态。由于可以用幅相测定仪或输入输出信号经过傅立叶变换后得到所要研究系统的幅相特性,特别适用于系统的动态性能无法用微分方程表示,或者即使可以用解析方程表示,但是过于复杂的场合。幅相特性不仅可以研究线性系统的稳定性,过渡过程品质指标的估算,而且还可以研究某些类型的非线性系统,因此,常常用幅值裕度和相位裕度来表示系统的稳定裕度或相对稳定性。2其他对角元素对应的控制回路见图1MIMO系统的稳定性问题较SISO系统的稳定性问题复杂的多,这主要是由于各回路之间存在交连所致,MIMO系统的本质特征就是在回路之间存在耦合。SISO系统的稳定裕度定义对于MIMO系统是不适用的,下面的例子很好地说明了这一点。设MIMO控制系统的传递函数矩阵为:G(s)=1(s+1)(s+2)[-47s+2-56s42s50s+2]通过引入V=V-1=[7-6-67]使G(s)“对角占优”,即G1=VGV-1=[1s+1002s+2]可见,G1已完全解耦,它的特征函数为:g1(s)=1s+1g2(s)=2s+2不难看出,每个对角元素对应的控制回路都有无穷大的幅值裕度和90°的相位裕度。但是,如果将G(s)的第一列乘以1.07(增益增大7%),同时将第二列乘以0.93(增益减小7%),系统就变成闭环不稳定了。由于稳定裕度概念的重要性,可以用它来度量系统离稳定边界有多远,人们根据不同的观点和视角提出了一些定义,下面就介绍几种有代表性的定义。2.1幅值/相位裕度检验这种定义是简单将SISO系统的稳定裕度推广到MIMO上,做法是:首先确定系统有几条通道,然后断开要分析的那个通道,求出对应的开环传递函数,由其BODE图得到该通道的幅值裕度和相位裕度。这种方法得到的稳定裕度是在别的通道参数不发生变化的情况下,系统允许该通道的幅值或相位的变化范围,而无法判定该通道的幅值、相位同时发生变化或别的通道也存在扰动的情况下,系统是否稳定。当系统的开环传递函数阵是对角占优阵时,根据对角优势系统的Nyquist稳定判据,这时可以采用SISO系统稳定性判断方法,而MIMO系统的稳定裕度问题就与SISO系统的稳定裕度等价了。2.2有扰系统稳定性的情况利用系统回差阵的最小奇异值来表示系统的相对稳定性。设系统如图1所示,系统开环传递函数为P,引入对角量测阵L=diag(kiejθi),i=1,…,N,以量测各通道的稳定裕度。假定标称状态下系统是稳定的,加入量测阵L后系统仍是稳定的,则σmin(I+P)>0和σmin(I+PL)>0,受扰系统稳定的充分条件是:σmax(L-1-1)=max√(1-1ki)2+2ki(1-cosθi)＜σmin(Ι+Q)(3)由此可进一步定义:GΜ=infω(20lg(1+σmin))ΡΜ=2infωarcsin(σmin2)该方法能确定所有通道幅值、相位同时变化多大,系统仍能保持稳定。存在的问题是:(1)由于式(3)是充分条件,造成对系统幅值和相位裕度的估计过于保守;(2)由于量测阵位置不同,所考虑的回差阵是不同的,所得系统的稳定裕度有很大差异。2.3系统的摄动与扰动问题随着H∞控制理论的发展,对系统的相对稳定性论述有了新的观点。在H∞控制理论中,把系统所受不确定性因素影响更明确地划分为摄动和扰动。摄动是指系统内部参数或结构的不确定性,是系统不确定性的模型对于名义模型的偏移;扰动是指从外部加到系统上的作用,是未知或不可预计的干扰信号或传感器噪声。系统在摄动下保持自身稳定性的能力称为鲁棒性;减小干扰对控制误差的影响称为干扰抑制问题,也称为最小灵敏度问题。对于鲁棒性和干扰抑制问题分别用不同的量来进行衡量,就得到灵敏性稳定裕度和鲁棒性稳定裕度。(1)灵敏度补函数t设P(s)为被控对象,K(s)为控制器,则系统的灵敏度函数为S(s)=[I+PK]-1,它等于干扰d到控制误差e的闭环传递函数;灵敏度补函数T(s)=I-S(s)=PK[I+PK]-1。定义灵敏性稳定裕度为‖S(s)‖-1∞,它表示Nyquist幅相曲线到(-1,0)点的最短距离。(2)闭环系统振幅的计算在输入端乘性摄动下,如果摄动Δ满足σmax(Δ(jω))<|W(jω)|,则系统稳定的充分条件是:‖WKP(I+KP)-1‖∞<1。因此,定义鲁棒性稳定裕度为‖KP(I+KP)-1‖-1∞=‖T(s)‖-1∞,‖KP(I+KP)-1‖∞恰是闭环系统幅频特性的谐振峰值。由于上述鲁棒性稳定裕度定义保守性太大,为了提高度量精度,用μ函数或结构奇异值(SSV)来度量系统的鲁棒稳定性。为了便于介绍结构奇异值概念,引入不确定系统的M-Δ结构来描述,如图2。图中,M为标称系统,Δ为不确定性。设Xυ是含特定块对角结构且谱范数小于υ的所有复扰动的集合,即Xυ={Δ=diag(Δ1,Δ2,⋯‚Δm)|σmax(Δi)≤υ}定义:μ-1(Μ)=minv{v|det(Ι-ΜΔ)=0,Δ∈Xv}如果不存在det(I-MΔ)=0,则μ(M)=0,μ(M)称为结构奇异值。2.4相位裕度定义考虑图3所示系统,任意反馈系统可表成图3(a)所示结构,在下面讨论中,系统被规范成图3(b)所示形式。图中,Δ为酉矩阵,L为原系统开环传递函数L1和R的积,R为原干扰阵Δ1的右模。定义集合:Ω={ω|σmax[L(jω)]≥1;∃i,使0≤σi[L(jω)]≤1}D={Δ|∃ω∈Ω,使det(I+L(jω)Δ)=0}则相位裕度定义为:ΡΜ(L)=minΔ∈D{max(|arg[λi(Δ)]|)}这个定义保证了对于任意相位小于PM(L)的酉干扰阵Δ,闭环系统是稳定的。干扰阵Δ的相位定义为arg(Δ)=max(|arg[λi(Δ)]|)。定义集合:Ω1={ω|∃z,使z*L(jω)z<0}D1={pdhΔ|∃ω∈Ω1,使det(I+L(jω)Δ)=0}式中,pdh表示正定Hermite阵。则幅值裕度定义为:GΜ(L)=minΔ∈D1{max(|ln[λi(Δ)]|)}这个定义保证了对于任意幅值小于GM(L)的正定干扰阵Δ,闭环系统是稳定的。干扰阵Δ的幅值定义为gain(Δ)=max|ln[λi(Δ)]|。3其他研究内容总体来说,稳定裕度是系统离临界边界的最短“距离”。对于SISO系统来说,稳定裕度有公认一致的定义,它具有反映系统稳定程度、抗模型摄动、抗外界干扰和动态品质的能力。对于MIMO系统来说,稳定裕度还没有公认统一的定义,正在研究发展中。现有的稳定裕度定义不是保守性大,就是计算复杂,与系统稳定程度、鲁棒性、抗干扰能力和动态