人教A版（2022）高中数学必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语141充分条件与必要条件我是湖南人情景引入我是湖南人充分的说明了我是中国人如果没有水，鱼儿就不能生存141充分条件与必要条件一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．强调判断命题的两个基本条件：①必须是一个陈述句；②可以判断真假．思考下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（１）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（２）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（３）若2－４＋３＝０，则＝１；（４）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b．真命题真命题假命题假命题1、4是真命题2、3是假命题条件p通过推理可以得出结论q条件p通过推理不能得出结论q若我是湖南人，则我是中国人。条件p：我是湖南人结论q：我是中国人探究一：充分条件真命题若我是湖南人，则有充分的理由说明我是中国人一般地，“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件（“若p则q”为假命题,记作p⇏q，就说p不是q的充分条件）（1）平行四边形的对角线互相垂直，是这个平行四边形是菱形的（）条件（2）两个三角形的周长相等，是这两个三角形全等的（）条件练习充分不充分p⇒qp⇏q我是湖南人，是我是中国人的充分条件。探究二：必要条件我是中国人，是我是湖南人的什么条件？条件p：我是中国人结论q：我是湖南人我是中国人是我是湖南人的必不可少条件我是中国人，是我是湖南人的必要条件。一般地，“若p则q”为真命题，由p可推出q，记作p⇒q，并且说q是p的必要条件，（“若p则q”为假命题记作p⇏q，并且说q不是p的必要条件）若没有水则鱼儿不能生存，只有水鱼儿就能生存吗？水是鱼儿生存的必要条件鱼儿能生存⇒有水3a∥b是平面内两条直线a和b均垂直于直线l的（）条件4＝１是2－４＋３＝０的（）条件练习：填“必要”“不必要”必要不必要定义:“如果若p则q”为假命题是指由条件p不能推出结论q，记作pq此时，我们说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件定义:“如果若p则q”为真命题是指由p通过推理可以得出q,这时我们就说，由p可以推出q，记作并且说p是q的充分条件sufficientcondition,q是p的必要条件necessarycondition学习新知①认清条件和结论。②考察pq和qp的真假。①可先简化命题。②否定一个命题只要举出一个反例即可。1、判别步骤：2、判别技巧：判别充分条件与必要条件学习新知解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，所以p是q的充分条件。（2）这是一条相似三角形的判定定理，所以p是q的充分条件。（3）这是一条菱形的性质定理，所以p是q的充分条件。解：（4）由于所以p不是q的充分条件。（5）由等式的性质知，，所以p是q的充分条件。（6）为无理数，但为有理数，，所以p不是q的充分条件。思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，四边形的两条对角线互相平分都是其充分条件。思考：你能说出几个两条直线平行的充分条件？一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。解：（1）这是一条平行四边形的性质定理，所以q是p的必要条件。（2）这是一条相似三角形的性质定理，所以q是p的必要条件。（3）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，，所以q不是p的必要条件。解：（4）显然所以q不是p的必要条件。（5）由于，，所以q不是p的必要条件。（6）为无理数，但不全是无理数，，所以q不是p的必要条件。思考：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要条件吗？四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，四边形的两条对角线互相平分都是其必要条件。一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。综合应用：例3如图,直线a与b被直线l所截,分别得到了∠1,∠2,∠3和∠4．请根据这些信息，写出几个“a∥b”的充分条件和必要条件．abl1234解：1“a∥b”的充分条件可以是：∠1=∠2；∠1=∠4；∠1∠3=180°2“a∥b”的必要条件可以是：∠1=∠2；∠1=∠4；∠1∠3=180°拓广探索练习下面给出的选项中，≤2成立的充分条件有__________,必要条件有__________①<1②<2③≤2④<3⑤<4解：≤2成立的充分条件有①②③;≤2成立的必要条件有③④⑤

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的

p是q的必要条件？(1)若a+5是无理数，则a是无理数。(2)若(x-a)(x-b)=0，则x=a。解：命题12的逆命题都是真命题，所以命题12中的p是q的必要条件。分析：注意这里考虑的是命题中的p是q的必要条件所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。练习：应用新知判断下列命题的真假：

（1）=2是2–44=0的必要条件；

（2）ab≠0是a≠0的充分条件。真命题。练习：真命题：用符号“充分”或“必要”填空：（1）“0<x<5”是“x–2<3”的

条件。（2）“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形为正方形”的

条件。（3）“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的

条件。（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”的

条件。充分必要充分充分应用新知课本第20页第1题课本第20页第2题思考：若p⇒q，但q⇏p，称p是q的条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的条件充分不必要必要不充分（3）“p⇒q，q⇒p”，（2）“pq，q⇒p”，（1）“p⇒q，qp”，（4）“pq，qp”，⇒/⇒/⇒/⇒/p是q充分不必要条件；p是q必要不充分条件；p是q充要条件p是q既不充分也不必要条件；推进新课:从集合角度看几种逻辑推理关系：1)若AB且BA，则A是B的

.充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件4若A=B，则A是B的充要条件2)若AB且BA，则A是B的

.3)若AB且BA，则A是B的

.AB(1)BA(2)即学即练:必要不充分条件充分不必要条件充要条件充要条件例4：指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：（1）p：-1=0；q：-12=0（2）p：两条直线平行；q：内错角相等（3）p：a>b；q：a2>b2（4）p：四边形的两组对角分别相等；q：四边形是平行四边形应用新知p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分且必要条件，q是p的充分且必要条件p是q的既不充分也不必要条件，q是p的既不充分也不必要条件p是q的充分且必要条