《课题学习最短路径问题》教学设计八年级数学（上册）

课题学习最短路径问题》教学设计八年级数学（上册）教学目标：会用轴对称变换确定最短路径；会根据“两点之间，线段最短”进行简单的逻辑推理。体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟图形类比转化的思想。掌握几何变换在实际问题中应用的方法，并积累经验。体验数学活动的探索性和创造性，培养独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。教学重难点：重点：用轴对称变换解决实际问题中的最短路径问题。难点：体会图形的变化在解决实际问题中的作用，感悟图形类比转化的思想教学过程：一、创设情境，提出问题1.谈话激趣：同学们，在生活中，我们遇事往往都想走捷径，但又有人常说成功路上没有捷径，说到“捷径”让我想到几个常用的数学名词：“最短”“最小值”，同学们你们能否回想一下，我们都学习过哪些关于最短的数学问题呢？2.复习引入：星期六，岳東霖在打篮球，家长打电话说有急事要他赶回家，有三条回家路线供他选择。A点是篮球场，B点是岳東霖的家，连接A、B两点的所有连线中，你猜他会选哪条路回家呢？为什么？3•引申提问：现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点C,使得AC+BC的距离最短？连接AB,与直线l相交于一点C.“两点之间，线段最短”能否能将点B“移”到l的另一侧B'处，即点A、B'分别是直线l同侧的两个点，满足CB与CB'的长度相等？师生活动：教师引导学生利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点。4•小结：我们把像两点之间线段最短、垂线段最短等这样的问题统称为“最短路径问题”。今天我们就一起来研究一类新的最短路径问题——将军饮马。【设计意图：从学生已经学过的知识和日常生活经验入手，思考、操作、感悟、归纳，为进一步丰富、完善知识结构奠定基础。】二、师生互动，探究问题“将军饮马”观看视频，出示问题：将军从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？思考：你能根据题意把他转化成数学模型吗？--转化为数学问题(师生活动:引导学生尝试画图探究)探究1.当点C在直线l的什么位置时，AC+BC最短？讨论交流：如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，你能在直线l上找一点C，使得AC+BC最短吗?

（2）画图感知：师生在互动中利用轴对称作图；出点B关于直线l的对称点B',明确不同的选点，“线段和”会不同。（3）直观演示：利用课件动态演示，进一步巩固认知。【设计意图：在师生互动中，帮助学生更直观地感受“线段和最小”为学生进一步理性思考问题做好铺垫。】探究2.你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？（1）学生讨论：教师引导学生依据视频情节和图示及探究的问题展开联想讨论交流，汇报。（2）分析证明：教师引导学生，分析问题，独立解决问题。（学生完成证明过程）探究3.除了作点B关于直线l的对称点B'你还有其他的思路在直线上找到一点C使AC+BC最短吗？（1）学生独立思考，讲新思路，教师适时课件演示分析。2）学生绘图演示，师生共同分析得出结论。

作法：（1）作点A关于直线l的对称点A；2.引导小结：（课件演示）gl媼决室陌问题黑亶平时的性＞1gl媼决室陌问题黑亶平时的性＞13•练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄•欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）师生活动：教师引导学生认真读题，仔细分析，课件演示，交流回答。【设计意图：通过梳理“将军饮马问题”的解题思路，帮助学生归纳解决实际问题的步骤，让学生充分体会轴对称变换可以将不共线的两条路径转化到一条直线上。】三、典例解析,综合应运用1.出示题例，分析解决：例1.如图，边长为1的正方形组成的网格中，AAOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1,3）,在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小。师生活动：引导学生认真审题、分析，独立思考完成，汇报交流。例2如图，已知点D、点E分别是等边△ABC中BC、AB边的中点，AD=5,点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5c.4D.不能确定2.小结收获：通过“将军饮马”问题探究及题例解析，同学们收获了什么？师生活动：学生思考、讨论、整理，教师引导归纳，课件出示。（1）转化古知：把古代“将军饮马”问题转化成数学模型；利用“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”化折为直。（2）探究古知：利用轴对称的性质通过作图解决问题；利用轴对称的性质和垂直平分线的性质证明问题。（3）以古鉴今：把从“将军饮马”中总结出的数学模型运用到解决现代的数学问题中【设计意图：新课程标准要求给学生提供足够的时间进行探索和思考，精心设计教学活动，引导学生积极主动参与，动手动脑，实践中研究，交流中感悟，培养数学思维，感受化归等数学思想方法、古人的智慧现代人类古为今用、实事求是的科学态度。】四、当堂检测，巩固提升课件出示：1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A‘关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A'B和n分别交于P、Q,下面的说法正确的是（）

2.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,EF垂直平分BC，点P为直线EF上的一个动点，当点P运动到何处时AP+BP有最小值，最小值是多少（）A.4B.5C.6D.73•如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1,4）和（3,0）,点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）解析：作B点关于y轴对称点B',连接AB'，交y轴于点C',此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B'的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B'C'O为等腰直角三角形即可。设计意图：紧扣本节课重难点，强化练习，学练结合，夯实基础。】五、师生共勉，激发兴趣课件出示，总结谈话：世上本无捷径，经过努力能把你带到理想之地的那条路其实就是我们想要求解的走向成功的最短路径！孩子们，热爱数学吧！你将找到走进智慧的最短路径！课后反思：通过研读《初中数学课程标准》已经明晰：数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养，数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。为了体现这一理念，在整个教学及探究过程中，教师作为学习的组织者、引导者与合作者，学生作为学习的主体，师生共同参与、交往互动，学生学与教师教有机融合统一。其一，针对不同层次的学生出现的难点进行必要的帮助和引导例如对部分学生感到困惑的地方，教师先让学生交流讨论，使其在交流中探讨方法共享心得，在引导他们完成证明，同时让学生对问题的求解过程进行反思，深化理解，努力做到面向全体学生，适应学生个性发展。其二，针对教学重难点，引导学生掌握利用图形变换解决实际问题中的最短路径问题的方法，即通过轴对称变换实现线段的等量转换，绘图找点，结合图形用符号语言表述问题，强调实际问题数学化，在联想、分析、交流、证明中逐步完成问题的求解，促使学生在动手实践、自主探索与合作交流生动活泼的、积极主动地投入到学习中。其三，根据学生的认知规律，数学课程特点，设计教学环节，由浅入深，深入浅出，循循善诱，让学生独立思考、在合作、探索、互动中使学生理解掌握数学知识与技能，感悟数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。其四，利用多元评价了解学生学习的过程和结果，激励学生学习，改进自身教学，激发学习兴趣。其五，充分运用现代信息技术整合教学内容，例如视频资料《将军饮马问题》直观呈现问题，引发学生思考，丰