相关与回归分析课后习题解答

第七章相关与回归分析一、判断题1.产品的单位成本随着产量增加而下降，这种现象属于函数关系。（×）答：错。应是相关关系。单位成本与产量间不存在确定的数值对应关系。2.相关系数为0表明两个变量之间不存在任何关系。（×）答：错。相关系数为零，只表明两个变量之间不存在线性关系，并不意味着两者间不存在其他类型的关系。3.单纯依靠相关与回归分析，无法判断事物之间存在的因果关系。（√）答：对。因果关系的判断还有赖于实质性科学的理论分析。4.圆的直径越大，其周长也越大，两者之间的关系属于正相关关系。（×）答：错。两者是精确的函数关系。5.总体回归函数中的回归系数是常数，样本回归函数中的回归系数的估计量是随机变量。（√）答：对。6.当抽取的样本不同时，对同一总体回归模型估计的结果也有所不同。（√）答：对。因为估计量属于随机变量，抽取的样本不同，具体的观察值也不同，尽管使用的公式相同，估计的结果仍然不一样。二、选择题1.变量A.正相关B.不相关C.完全2.复相关系数的取值区间为（A）。A.0≤R≤1B.－1≤R≤1C.－∞≤R≤1D.－1≤R≤∞3.修正自由度的决定系数（ABD）。B.有时小于0C.0≤R2≤1之间的关系按相关程度分可分为（BCD）。相关D.不完全相关A.R2≤R2D.比R2更适合作为衡量回归方程拟合程度的指标4.下列各项中，与回归预测误差的大小有关的是（ABCD）。A.样本容量B.自变量预测值与自变量样本平均数的离差C.自变量预测误差D.随机误差项的方差项的方差三、问答题请举一实例说明什么是单相关和偏相关，以及它们之间的差别。答：例如夏季冷饮店冰激凌与汽水的消费量，简单地就两者之间的相关关系进行考察，就是一种单相关，考察的结果很可能存在正相关关系，即冰激凌消费越多，汽水消费也越多。然而，如果我们仔细观察，可以发现一般来说，消费者会在两者中选择一种消费，也就是两者之问事实上应该是负相关。两者之间的单相关关系出现正相关是因为背后还有天气等因素的影响，天气越热，两种冷饮的消费量都越多。如果设法将天气等因素固定不变，单纯考察冰激凌与汽水的消费量，则可能出现负相关关系。像这种假定其他影响因素不变专门考察其中两个因素之间的关系就成为偏相关。四、证明题1.试证明教材P171的（7.21）式给出的S2是标准一元线性回归模型中随机误差项的方差σ2的无偏估计量。证明：总体函数为ββY=+X+u（7.1）t12tt求样本平均数，有ββY=+X+u（7.2）12（7.1）－（7.2）式，得()()β2Y−Y=X−X+u−u（7.3）ttt（注意：由于t=1，…，n，未必代表总体中全部的随机误差项，故u≠0）样本函数为（7.4）求平均数，有（7.5）（注意，根据假定条件：e=0）（7.4）－（7.5）式，得（7.6）将（7.6）式代入（7.3）式，经整理后可得平方后再求和：取上式数学期望：（7.7）令则（7.7）式等于：教材P173页公式7.30为（7.8）因为代入（7.8）式，得所以，有又因为所以，（7.9）又因为（7.10）将（7.9）式代入（7.10）式，得（7.11）将（7.11）式代人B，得又因为所以，将所求得的A、B、c数值一起代人（7.7）式，得所以，证毕。ll2ββ2.试证明最小二乘估计量是标准一元线性回归模型中总体回归系数的最优线性无偏估计量。2证明：（1）无偏性：，证明略，参见教材P173页，公式7.29式的证明。（2）线性：令，则ll2ββY的一个线性函数。它是以k为权的Y的一个加权平均，从而是一个线性统计量。ttt由此可见，是2（3）最小方差性：设为β2的任意线性无偏估计量。现讨论的取值情况。因为也即作为β2的任意线性无偏估计量，必须满足下列约束条件：又因为，所以分析此式：由于第二项的处理使之最小化。很明显，若令是常数，所以只能通过第一项可以取最小值，即lβ所以，是标准一元线性回归模型中总体回归系数β的最优线性无偏估计量。22五、计算题1.试根据教材P205页表7—8的资料，要求：（1）以消费为因变量，国内生产总值为自变量，拟合线性回归方程；（2）计算回归估计的标准误差和决定系数；（3）对回归系数进行显著水平为（4）假定2001年我国的国内生产总值为104880亿元，利用拟合的回归方程预测该年可能达到的消95％的预测区间。1）设消费为Y，国内生产总值为X，则线性回归方程为：5％的显著性检验；费额，给出置信度为解：（Y=β+β2X。1步骤一：构造Excel工作表，见图7—1。步骤二：回归分析。1选择“工具”→“数据分析”，再在“数据分析”菜单中选中“回归”，见图7—2。图7—1如果“数据分析命令”没有出现在“工具”菜单，则需要先运行“加载宏”命令，加载“分析工具库”。1图7—2在“回归”窗口中确定因变量Y值和自变量X值的区域后，点击“确定”。见图7—3。回归结果见图7—4。图7—3图7—4从计算结果可知，拟合的样本回归方程为（2）由图7—4可知，回归估计的标准误差为638.7076；决定系数为0.9987。（3）回归系数的5％显著性检验。首先对β1的显著性进行检验2：构造t统计量：：显著性水平为自由度为临界值为故查t分布表可知5％，21的双测t检验的2.080，t值小于临界值，无法拒绝零假设，说明β1在5％的对β2进行显著性检验：显著性水平下没有通过检验。同理，可t值远大于临界值2.080，故拒绝零假设，说明β2在5％的显著性水平下通过了显著性检验。（4）预测：点估计：X=104880亿元，Y=62024.16亿元。代入回归方程，ff置信度95％的预测区间为：计算S：ef所以，Y的置信度为预测区间为：95％的f所以，区间预测为：2.设销售收入X为自变量，Y为因变量。现已根据某百货公司12个月的销售成本有关资料计算出以下数据（单位：万元）：利用以上数据，要求：（1）拟合简单线性回归方程，对并方程中回归系数的经济意义作出解释；（2）计算决定系数和回归估计的标准误差；由回归估计结果中，可以直接查出回归系数的t值检验值。这里，为帮助读者理解，列出计算步骤。2（3）对2β进行显著水平为5％的显著性检验；（4）假定明年1月销售收入为800万元，利用拟合的回归方程预测相应的销售成本，并给出置信度为95％的预测区间。解：t值远大于临界值2.228，故拒绝零假设，说明β2在5％的显著性水平下通过了显著性检验。（4）Yf=40.3720+0.7863×800=669.41（万元）所以，Y的置信度为95％的预测区间为f所以，区间预测为3.讨论以下几种场合的回归方程：中回归系数的经济意义和应取的符号。（1）Yt为商业利润率；人均销售额；费用率；X他为X为流通2t3t（2）Yt为粮食销售量；X为人口数；X为人均收入；2t3t（3）Yt为工业总产值；X为占用的X为职工人数；固定资产；2t3t（4）Yt为国内生产总值；X为工业总产值；X为农业总产值。2t3t答：人均销售额越大，企业利润越高，故此商业利润率越高，从而商业利润率与人均销售额呈正相关关系；而流通费用率越高，反映商业企业的经营成本越高，其商业利润率就越低。人口数量越多，对粮食的消费量就越大；人均收入越多，对粮食的购买力就越强，故此这两个变量皆与粮食销售量呈正相关关系。固定资产和职工人数是两大生产要素，数量越多，说明生产要素越密集，工业总产值就越高，所以它们与工业总产值的关系为正相关。因为国内生产总值包括三次产业，所以工业总产值、农业总产值和全部的国内生产总值为正相关关系，同时即便某些特殊地区没有工业和农业，仍然有国内生产总值，所以β1＞0。4.利用本章计算题1图7—1中给出的我国GDP和消费的资料，要求：（1）拟合以下形式的消费函数：式中，Ct是t期消费；C是t－1期的消费，Yt是t期的GDP；t1-（2）计算随机误差项（3）计算修正自由度的t统计量；（4）计算各回归系数的t统计量；（5）对整个回归方程进行显著性检验（6）假设2001年的国内生产总值为95350亿元出置信度区间。为95％的预测解：（1）回归分析的Excel操作步骤如下：：首先，添加对原Excel数据表作适当修改的方差估计值；；，试利用拟合的消费函数预测当年的消费总额，并给步骤一“滞后一期的消费”数据见图7—5。图7—5的消费”步骤二：进行回归分析。选择“工具”，在该窗口中选定自变量和因变量的数据区域，最后点击“确→“数据分析”→“回归”定”完成操作。得到回归分析的输出结果见图7—6。图7—6因此，回归方程为C=466.7965+0.4471Yt+0.2640Ct-1t（2）随机误差项的标准差估计值为S=442.2165（3）修正自由度的决定系数：AdjustedRSquares=0.9994（4）各回归系数的t统计量为（5）整个方程的显著性检验：F统计量为16484.6，远远大于临界值3.52，说明整个方程非常显著。（6）预测：点估计值为使用Excel进行区问估计步骤如下：步骤一：构造工作表，见图7—7。图7—7步骤二：为方便后续步骤书写公式，定义某些单元格区域的名称。首先，定义F6、F7、F8的名称：选定E6：F8区域，然后执行菜单命令“插入”→“名称”→“指定”，见图7—8。图7—8在调出的对话框中选中“最左列”，单击“确定”，见图7—9。B2：D23的名称：其次，定义先选定该区域，然后执行菜单命令“插入”→“名称”→“定义”，见图7一10。调出“定义名称”对话框，输入名称“X”，单击“确定”，见图7—11。图7—9最后，采用同样方法，将B26：D26定义为“Xf”，将F2：F4定义为“B”。步骤三：计算点预测值Cf。在F6中输入公式“=MMULT（Xf，B）”，按回车键即可。步骤四：计算t临界值。在F7中输入公式“=TINV（1－0.95，22－3）”，计算预测估计误差的估计值Sef。按回车键即可。步骤五：在F5中输入公式“=MMULT（MMULT（Xf，MINVERSE（MMULT（TRANsPC）SE（X），X））），TRANSPOSE（Xf））”然后按“Ctr1+Shift十Enter”组合键即可。再计算Sef在F8中输入公式“=442.22*SQRT（1+F5）”。442.22为回归估计标准差。步骤六：计算置信区间上下限。在F9、F10中分别输入公式“=Cf—t临界值*Sef”和“=Cf+t临界值*Sef”。结果见图7—12。图7—10图7—11图7—12最终得出C的区间预测结果为f5.见教材P207页表7—9的资料。要求：（1）试拟合以下总成本函数：（2）根据总成本函数推导出平均成本函数，并描出平均成本函数的图形；（3）试根据以上结果推算总产量为15