计算方法上机实验报告

计算方法》上机实验报告班级：XXXXXX小组成员：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX任课教师：XXX二O—八年五月二十五日前言通过进行多次得上机实验,我们结合课本上得内容以及老师对我们得指导，能够较为熟练地掌握Newton迭代法、Jacobi迭代法、Gauss—Seidel迭代法、Newton插值法、Lagrange插值法与Gauss求积公式等六种算法得原理与使用方法，并参考课本例题进行了MATLAB程序得编写。以下为本次上机实验报告，按照实验内容共分为六部分.实验一：一、实验名称及题目:Newton迭代法例2、7(P38)：应用Newton迭代法求^3-x-1=0在无二1附近得数值解并使其满足「5hJ山、二、 解题思路：设就是得根,选取作为初始近似值,过点做曲线得切线,得方程为,求出与轴交点得横坐标,称为得一次近似值,过点做曲线得切线,求该切线与轴得横坐标称为得二次近似值,重复以上过程,得得近似值序列,把称为得次近似值,这种求解方法就就是牛顿迭代法。三、 Matlab程序代码：functionnewton_iteration(xO,tol)symsz%定义自变量formatlong%定义精度f=z*z*z-z—1;f1=diff(f)；%求导y=subs(f,z,xO);y1=subs(f1,z,x0)；%向函数中代值x1=x0—y/y1;k=1；while abs(x1—x0)〉=tolxO=x1;y=subs(f,z,x0)；y1=subs(f1,z,x0);x1=x0-y/y1；k=k+1;endx=double(x1)K四、 运行结果：>>nerton_iteration(1P0.00000001)“ 实验二：1.3S4717K72447M一、实验名称及题目：Jacobi迭代法例3、7（P74）:试利用Jacobi迭代公式求解方程组r5-1-1-1]•勺r-4-i-110-1-112-1-15-1二8-1-1-11034要求数值解宀“卜F「厂丄「，山X 汀:/为方程组得精确解、二、解题思路：首先将方程组中得系数矩阵分解成三部分,即:，为对角阵,为下三角矩阵,为上三角矩阵。之后确定迭代格式,,（,即迭代次数）,称为迭代矩阵。最后选取初始迭代向量,开始逐次迭代。最后验证精度（迭代阵:。）雅克比迭代法得优点明显，计算公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵与向量得乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算.然而这种迭代方式收敛速度较慢,而且占据得存储空间较大。三、Matlab程序代码：functionjacobi(A,b,x0,eps,x1)D=diag(diag(A));%求A得对角矩阵L=—tril(A,-1);%求A得下三角矩阵U=-triu(A,1);%求A得上三角矩阵B=D\(L+U)；f=D\b；

x=B*xO+f；n=1;%迭代次数whilenorm(x—x1)>=epsx=B＊x+f；n=n+1;endformatlongnxjingdu=norm(x—x1)四、运行结果：» -1-a-l.-110-a-l：-l-1&-].-l-l-lIdlr[-A.lf.S.Sij.B.Q.O.D]-10'-4rl：1.2.3.4D实验目:三:lvm»9iiM33W203r?m?lP453Limjinfidu■5.DC6CiU0B：3SB979e-<i5.一、实验名称及题实验目:三:lvm»9iiM33W203r?m?lP453Limjinfidu■5.DC6CiU0B：3SB979e-<i5.一、实验名称及题Gauss—Seide1 迭代法例3、8(P75):试利用Gauss-Seidel迭代公式求解方r5-1-1-1]叫・r-4i-110-1-112-1-15-1x.t二8-1-1-11034得精确解、、解题思路:Gauss—Seide1迭代法与Jacobi迭代法思路相近，首先将方程组中得系数矩阵分解成三部分，即：，为对角阵，为下三角矩阵，为上三角矩阵.之后确定迭代格式，，(,即迭代次数)，称为迭代矩阵。最后选取初始迭代向量,开始逐次迭代。最后验证精度。(迭代阵:.)Gauss—Seide1迭代法与Jacobi迭代法相比速度更快，但不全如此。有例子表明：Gauss—Seidel迭代法收敛时，Jacobi迭代法可能不收敛;而Jacobi迭代法收敛时,Gauss—Seidel迭代法也可能不收敛。三、Matlab程序代码：functiongauss_seidel(A,b,xO,eps,x1)D=diag(diag(A))；%求A得对角矩阵L=—tril(A,—1);%求A得下三角矩阵U=—triu(A,1);%求A得上三角矩阵B=(D—L)\U;f=(D—L)\b；x=B*xO+f;n=1;%迭代次数whilenorm(x1-x)>=epsx=B*x+f;n=n+1;endformatlongnxjingdu=norm(x1—x)四、运行结果:»EausE_Eeid«l<[5-1F-1-11(F-1-1:-1-15-1-1-1T10J.[»4:128:3l]P【0:0.0:0], [1:2:3.:<)n鼻:一L9999-6L«U9481012-S9997926i443mijing-du=5r370016456Tl&5i3c-O6实验四:一、实验名称及题目:Lagrange插值法例4、1(P88)：给定函数「〔门：订「cdsx.i及插值节点TT JT 3/T JT%U宀"「宀I■■■'.； ：：、试构造Lagrange插值多项式，给出其误差估计,并由此计算%心及其误差、二、解题思路：一般来说,如果我们有个点,各互不相同。那么应用拉格朗日插值公式所得到得拉格朗日插值多项式为：,其中每个为拉格朗日基本多项式(或称插值基函数),其表达式为：。三、Matlab程序代码：function y=lagrange(xO,x)n=length(x0);%向量长度s=O；

fork=1:n%k从1到n得循环p=1、0；forj=1:nifj〜=k%“~=”不等于得意思p=p*(x—xO(j))/(xO(k)-xO(j));endendy0=xO(k)*(1+cos(xO(k)));s=p*yO+s;endformatlongswucha=abs(x*(1+cos(x))-s)四、运行结果：>>lagrange([0pi/8pi/43*pi/Spi/2]>3*pi/lS)1.079159511197010五、Lagrange1.079159511197010插值图像绘制wucha=3-338588315175972^04%Lagrange插值图像算法x=linspace(0,1002,200)；s=linspace(0,1000,200)；x0=[0；pi/8;pi/4；3*pi/8；pi/2];n=length(x0);s=0;fork=1:np=1、0；forj=1:nifj〜=kP=P、*(x-xO(j))/(xO(k)—xO(j));endendy0=x0(k)*(1+cos(x0(k)));s=p*y0+s；endplot(x,s,'r');gridon;title('Lagran呂e?刍玩工讥')xlabel('X'),ylabel('Y');axisnormal；实验五:一、实验名称及题目:Newton插值法例4、3(P96)：已知「⑴J+川、，试取插值节点©=0.35宀=0.50宀=0.65也=0矶心=°耳5,构造4次Newton插值多项式，由此计算l'iO.7；得逼近值,并指出其绝对误差、二、解题思路:将拉格朗日插值公式中得改写成:N(x)=a成:N(x)=an0+a(x-x)二10a(x一x)(x一x)+...+a(x一x)・・・(x一201n0x)，其中，n-1待定定系数.又将带入可得：f(x)=f(x)+f[x,x](x一x)+...+f[x,xx](x一x)(x一x)...(x一x)-0 01 0 01n 0 1 n一1三、Matlab程序代码：functionnewton_interpolation(xO,x)formatlongn=length(xO);symszf=sqrt(1+cosh(z)A2);a(1)=subs(f,z,xO(1));fork=1:n—1y0=subs(f，z，xO(k))；y1=subs(f,z,x0(k+1));d(k,1)=(y1-yO)/(x0(k+1)-xO(k));%—阶差商endforj=2:n-1fork=1：n—jd(k,j)=(d(k+1,j—1)—d(k,j—1))/(xO(k+j)—xO(k));%二阶差商及以上endenddouble(d)forj=2:na(j)=d(1,j—1);end

b(1)=1；c(1)=a(1);forj=2：nb(j)=(x-x0(j-1))、*b(j一1);c(j)=a(j)、*b(j);endnp=double(sum(c))wucha=double(abs(np-subs(f,z,x)))四、运行结果:>> m_in*L«k~po1aricn£[D.31.0.S>D.OuE3..O-30.D.9B],.O.T3f 五、NewG_3Z3S921.429TB230 0.4S2fiZDT3B3O2951 O.ISSTGSfiS115S-LA2 D.dETESDD3S-292ABQton插G.^A24flB3TO4Q<!lD4 CLQ343fi O.19349口67*1：3;10"7ton插0.€2E77£74aB629-E>S CL521432034^51552 O0.SD92a€3«234S^2a O O值图像1.SD43212T1373T4T… 绘制€.IS1=8ti2=i3372Q0^e-O7实验六:一、实验名称及题目：Gauss求积公式例5、7(P140):试构造Gauss型求积公式上J(尤)址"°F©JI九f(®)卜役广(勺),-dt并由此计算积分二、解题思路:设高斯-勒让德求积公式就是:,依次代入，解得.利用换元公式变换原式得积分上下限，在套用高斯—勒让德求积公式求得积分.三、 Matlab程序代码：functiongauss(a,b)symstf=sqrt(t)/(1+t)"2;P=[-sqrt(3/5)0sqrt(3/5)]；A=[5/98/95/9]；s=0；fori=1:3;x=P(i)；y=subs(f,t,(b-a)*x/2+(a+b)/2);s=s+A(i)*y;endformatIongS=do