电磁场数学方法-数学物理方程4

电磁场数学方法任课教师：陈其科联系方式：E_mail：qkchen@

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80课时教材：梁昆淼，《数学物理方程》（第四版）成绩构成：平时20%+半期考试20%+期末考试60%第七章柱函数第二篇数学物理方程§7.1贝塞尔函数(I,II,III)§7.2虚宗量贝塞尔函数(I,II,III)§7.3球贝塞尔函数(I,II,III)

（一）问题的提出§7.1贝塞尔函数1、轴对称问题问题一：在圆柱内传播的电磁波问题。设方向均匀的电磁波在底半径为1的圆柱域内传播，在侧面沿法向方向导数为零，从静止状态开始传播，初速为1-ρ2。求其传播规律（设对极角对称）。定解问题为：轴对称问题一维波动方程§7.1贝塞尔函数(1)时空变量分离令：得：1个特征值0阶贝塞尔方程(2)求固有值问题（一）问题的提出1、轴对称问题特征值和特征函数是什么？需要解决的问题（一）问题的提出§7.1贝塞尔函数问题一：设有半径为r0的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分布规律。定解问题为：采用分离变量法求解非轴对称问题二、非轴对称问题二维传导方程（一）问题的提出§7.1贝塞尔函数二、非轴对称问题(1)时空变量分离令：得：对(2)，采用极坐标并考虑边界条件得：特征值——亥姆霍兹方程——常微分方程(易解)（一）问题的提出§7.1贝塞尔函数令：得：(3)求特征(固有)值问题特征值为：(2)空间变量分离2个特征值（周期性条件）特征函数为：1、二维传导问题（一）问题的提出§7.1贝塞尔函数第二个特征(固有)值问题为：特征值和特征函数是什么？m阶贝塞尔方程需要解决的问题1、二维传导问题（二）第一、二类贝塞尔函数§7.1贝塞尔函数m阶贝塞尔方程：作代换贝塞尔方程变为：写成标准形式得：m阶贝塞尔方程的标准形式1、m阶贝塞尔方程（二）第一、二类贝塞尔函数§7.1贝塞尔函数由于x=0为贝塞尔方程的正则奇点，则其解具有如下形式：将上式代入方程，通过整理系数，可得m阶贝塞尔方程的一个特解：m阶第一类贝塞尔函数2、贝塞尔方程的解（二）第一、二类贝塞尔函数§7.1贝塞尔函数可以证明：m阶贝塞尔方程的另一个特解：由于两个线性无关的特解线性组合，得方程通解，故m阶贝塞尔方程的通解可表示为：后面将会证明：当m=n为整数时，有线性相关（当m不为整数时）需要构建一个当m为整数时仍然线性无关的特解。2、贝塞尔方程的解（二）第一、二类贝塞尔函数§7.1贝塞尔函数由微分方程解的性质可知，特解的线性组合仍是方程解，因此以下函数仍然是m阶贝塞尔方程的特解：可以证明：不论m是否为整数，诺依曼函数与第一类贝塞尔函数始终线性无关，因此贝塞尔方程通解可表示为：2、贝塞尔方程的解(诺依曼函数，也称第二类贝塞尔函数)（二）第一、二类贝塞尔函数§7.1贝塞尔函数定义1：m阶第一类贝塞尔函数其中：性质：3、贝塞尔函数的定义性质详见附录13（二）第一、二类贝塞尔函数§7.1贝塞尔函数定义2：-m阶第一类贝塞尔函数注：当m=n为整数时，有：3、贝塞尔函数的定义（二）第一、二类贝塞尔函数§7.1贝塞尔函数定义3：第二类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数也称诺依曼函数。3、贝塞尔函数的定义注：贝塞尔函数的阶数m可为任意实数。（二）第一、二类贝塞尔函数§7.1贝塞尔函数例试证半奇阶Bessel函数证明：由于：代入上式得:（重要）

（二）第一、二类贝塞尔函数§7.1贝塞尔函数(续上例)得证！注：（二）第一、二类贝塞尔函数§7.1贝塞尔函数例求如下贝塞尔方程通解解：这是1/2阶贝塞尔方程（三）贝塞尔函数的性质§7.1贝塞尔函数1、整数阶第一类贝塞尔函数的震荡性及零点（三）贝塞尔函数的性质§7.1贝塞尔函数1、整数阶第一类贝塞尔函数的震荡性及零点a、n阶贝塞尔函数有无限多个正零点c、相邻阶贝塞尔函数的正零点交替出现b、第一个正零点的大小随着贝塞尔函数的阶数增加d、（三）贝塞尔函数的性质§7.1贝塞尔函数2、第一类贝塞尔函数的递推公式（重要）由贝塞尔函数的级数表示可推得：基本递推公式证明：得证！（三）贝塞尔函数的性质§7.1贝塞尔函数2、第一类贝塞尔函数的递推公式（重要）从基本递推公式出发，可推得其他重要递推公式：两式相减，得：两式相加，得：（三）贝塞尔函数的性质§7.1贝塞尔函数2、第一类贝塞尔函数的递推公式（重要）由递推公式，有以下常用关系：递推公式在贝塞尔函数分析运算中非常有用，通过递推公式，总可以把高阶贝塞尔函数化为0阶与1阶贝塞尔函数，然后查表计算（附录六）。（三）贝塞尔函数的性质§7.1贝塞尔函数2、第一类贝塞尔函数的递推公式（重要）例利用递推公式求:解:由令n=1/2,得：令n=-1/2,得：（三）贝塞尔函数的性质§7.1贝塞尔函数2、第一类贝塞尔函数的递推公式（重要）例计算：

解：由递推公式（三）贝塞尔函数的性质§7.1贝塞尔函数3、第一类贝塞尔函数的母函数（重要）函数为整数阶贝塞尔函数的母函数(生成函数)：（P47页，例5）证明：由级数展开（三）贝塞尔函数的性质§7.1贝塞尔函数3、第一类贝塞尔函数的母函数若令（三）贝塞尔函数的性质§7.1贝塞尔函数3、第一类贝塞尔函数的母函数平面波因子结论：平面波可以展开为柱面波的叠加。（三）贝塞尔函数的性质§7.1贝塞尔函数3、第一类贝塞尔函数的母函数令，则上式为（三）贝塞尔函数的性质§7.1贝塞尔函数4、第一类贝塞尔函数的积分表示由洛朗级数展开定理（3.5节）比较系数得：取c为沿正向绕z=0一周的单位圆围线，得（三）贝塞尔函数的性质§7.1贝塞尔函数4、第一类贝塞尔函数的积分表示奇函数贝塞尔函数的积分表示（三）贝塞尔函数的性质§7.1贝塞尔函数5、第一类贝塞尔函数的加法公式（重要）利用母函数公式：比较两端系数，得：贝塞尔函数加法公式§7.1贝塞尔函数6、第二类贝塞尔函数(诺依曼函数)当阶数m为整数n时，由罗必塔法则x=0为整数阶诺依曼函数奇点（三）贝塞尔函数的性质附录七(4)式若求解区域包含x=0点，则贝塞尔方程通解不含诺氏函数.§7.1贝塞尔函数7、贝塞尔函数的渐进公式（三）贝塞尔函数的性质若求解区域包含x=0点，则贝塞尔方程通解不含负阶贝塞尔函数及诺依曼函数。m可为整数或非整数若求解区域包含无穷远点，则贝塞尔方程通解应同时包含贝塞尔函数及诺依曼函数。§7.1贝塞尔函数8、贝塞尔函数的正交性（重要）（三）贝塞尔函数的性质m阶贝塞尔函数系在[0,l]上带权正交——贝塞尔函数的正交性式中：权函数§7.1贝塞尔函数9、贝塞尔函数的归一性（三）贝塞尔函数的性质m阶贝塞尔函数的模的平方为§7.1贝塞尔函数10、以贝塞尔函数为基函数的广义傅里叶级数展开（三）贝塞尔函数的性质若函数满足一定连续性条件，且有，则可将展开为傅里叶级数：（四）柱坐标系下定解问题的的本征值问题§7.1贝塞尔函数分离变量得：由周期性可知？？？拉普拉斯方程：根据齐次边界条件求解§7.1贝塞尔函数1、第一类边值问题其中，为的第i个零点。解为：本征值本征函数（四）柱坐标系下定解问题的的本征值问题§7.1贝塞尔函数2、第二类边值问题其中，为的第i个零点。解为：本征函数本征值（四）柱坐标系下定解问题的的本征值问题§7.1贝塞尔函数3、第三类边值问题令其根为即：解为：本征值本征函数（四）柱坐标系下定解问题的的本征值问题§7.1贝塞尔函数课堂练习：写出以下本征值问题的本征值及本征函数（四）柱坐标系下定解问题的的本征值问题§7.1贝塞尔函数课堂练习：写出以下本征值问题的本征值及本征函数（四）柱坐标系下定解问题的的本征值问题§7.1贝塞尔函数课堂练习：写出以下本征值问题的本征值及本征函数（四）柱坐标系下定解问题的的本征值问题§7.1贝塞尔函数例：求薄圆盘的温度分布定解问题（五）贝塞尔函数的应用举例分析：隐含条件：解：令，代入方程分离变量得0阶贝塞尔方程§7.1贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例由前讨论可知，零解贝塞尔方程的通解为：由边界条件：解特征值问题：求T：§7.1贝塞尔函数（续上例）方程解为（五）贝塞尔函数的应用举例方程通解为由初始条件，有：由广义傅里叶级数展开公式：§7.1贝塞尔函数推导：（五）贝塞尔函数的应用举例§7.1贝塞尔函数（五）贝塞尔函数的应用举例§7.1贝塞尔函数（五）贝塞尔函数的应用举例§7.1贝塞尔函数例：求定解问题（五）贝塞尔函数的应用举例解：令，代入方程分离变量得(轴对称问题)非齐次§7.1贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例而由于问题轴对称，因此必有求特征值λ：求特征值u：0阶贝塞尔方程§7.1贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例求Z：故方程通解为：边界条件第一类边界条件模§7.1贝塞尔函数例：求定解问题（五）贝塞尔函数的应用举例解：令，代入方程分离变量得(非轴对称问题)非齐次§7.1贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例特征值问题1(求特征值λ)：m阶贝塞尔方程特征值问题2(求特征值u)：§7.1贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例求Z：故方程通解为：边界条件§7.1贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例由上式可以解出系数。两端同时乘以左边=§7.1贝塞尔函数例：求定解问题（五）贝塞尔函数的应用举例解：令，代入方程分离变量得0阶贝塞尔方程轴对称问题分析：隐含条件§7.1贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例由前讨论可知，零阶贝塞尔方程的通解为：由边界条件：§7.1贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例求T得：方程通解为：由初始条件：§7.1贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例第二类齐次边界条件贝塞尔函数的模初始条件§7.1贝塞尔函数例：用均匀材料做尖劈形细杆，杆长为l，粗端自由。已知杆初始位移为f(x)，初速为0，求杆的纵振动。（五）贝塞尔函数的应用举例解：选取[x,x+dx]段，受A、C段拉力的合力。胡克定律知合力为杨氏模量横截面积由牛顿运动定律§7.1贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例写出定解问题：§7.1贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例由分离变量法，令，代入方程0阶贝塞尔方程解特征值问题：0§7.1贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例由边界条件将特征值λ代入T满足的方程，可以求得通解为：§7.1贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例由初始条件§7.1贝塞尔函数自学：例6（P274）（五）贝塞尔函数的应用举例§7.1贝塞尔函数（六）第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）1、定义第一类汉克尔函数第二类汉克尔函数可以证明：是m阶贝塞尔方程的两个线性无关解，即m阶贝塞尔方程的通解也可以表示为：汉克尔函数常用于求解波的散射问题。§7.1贝塞尔函数（六）第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）2、汉克尔函数的渐进表示沿+x方向行波由索末菲积分公式出发，并采用最速下降法(鞍点法)，可推得当x很大时汉克尔函数的近似值，即渐进公式沿-x方向行波§7.1贝塞尔函数（六）第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）3、汉克尔函数的奇异性当m为整数(m=n)时，即：整数阶汉克尔函数在x=0点处奇异。4、汉克尔函数的递推关系与第一类贝塞尔函数的递推关系相同。第一类贝塞尔函数，第二类贝塞尔函数和第三类贝塞尔函数统称为柱函数。§7.1贝塞尔函数（六）第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）例：设平面波垂直入射到一无限长的金属圆柱面上，平面波的电场方向与柱轴平行，求被柱体散射的散射波。分析：散射场问题物理过程：电磁波照射到金属导体上，在导体表面上产生感应电流。这些感应电流作为二次源将产生二次场，即为感应场。这种现象称为散射现象。解：入射场§7.1贝塞尔函数（六）第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）(续上例）设散射场散射场满足亥姆霍兹方程，即：导体表面总场为0(散射场方向与入射场相同)由分离变量法，设，则而仍然满足m阶贝塞尔方程，故有§7.1贝塞尔函数（六）第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）(续上例）由前讨论可知:表示沿+方向传播的行波；表示沿方向传播的行波；而本题要求的散射波应只存在方向传播的行波，故§7.1贝塞尔函数（六）第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）(续上例）比较系数，得§7.1贝塞尔函数（七）半奇数阶贝塞尔函数（回顾）亥姆霍兹方程的在球坐标系下分离变量球函数方程做代换,方程整理得阶贝塞尔方程阶球贝塞尔方程§7.1贝塞尔函数（七）半奇数阶贝塞尔函数半奇数阶贝塞尔函数定义：由递推公式：§7.2虚宗量贝塞尔函数（一）回顾拉普拉斯方程的在柱坐标系下分离变量常微分方程m阶贝塞尔方程欧拉方程虚宗量贝塞尔方程常微分方程已解决§7.2虚宗量贝塞尔函数（一）回顾思考：在何条件下>0？在何条件下<0？在何条件下=0？问题1：问题2：问题3：§7.2虚宗量贝塞尔函数（二）虚宗量贝塞尔函数定义虚宗量贝塞尔方程:做代换代入方程得：m阶贝塞尔方程其通解为§7.2虚宗量贝塞尔函数（二）虚宗量贝塞尔函数定义

虚宗量贝塞尔函数定义:虚宗量贝塞尔函数§7.2虚宗量贝塞尔函数（二）虚宗量贝塞尔函数定义虚宗量贝塞尔方程的通解:对于整数阶虚宗量贝塞尔方程(m=n为整数):证明：

对于整数阶虚宗量贝塞尔方程，解需要构建新的线性独立的解。§7.2虚宗量贝塞尔函数（二）虚宗量贝塞尔函数定义虚宗量汉克尔函数定义:虚宗量汉克尔函数和虚宗量贝塞尔函数线性独立，故虚宗量贝塞尔方程的通解为：§7.2虚宗量贝塞尔函数（三）虚宗量贝塞尔函数的性质1、虚宗量贝塞尔函数的零点除x=0点外均不为0.即：§7.2虚宗量贝塞尔函数（三）虚宗量贝塞尔函数的性质2、虚宗量贝塞尔函数渐进关系当

时，有：当求解域包含圆柱轴(）时，解不应含当

时，有：当求解域为圆柱外(包含无穷远点）时，解不应含§7.2虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用例介质圆柱，半径为，高为L，柱侧有均匀分布热流进入，强度为。圆柱上下底保持为恒定温度。求解柱内稳定温度分布。解：写出定解问题边界条件非齐次，首先齐次化边界条件。令§7.2虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用（续上例）由分离变量法，令，则轴对称第一类边界条件轴对称问题0阶虚宗量贝塞尔方程§7.2虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用（续上例）通解为§7.2虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用例导体圆柱壳，半径为，高为L，侧面与上下底面用绝缘材料隔绝。已知侧面电势分布为，上底面电势为,下底面接地，求圆柱壳内的电势分布。解：写出定解问题边界条件非齐次，不能直接利用分离变量法求解。利用叠加原理将问题分解为两个问题求解。轴对称问题§7.2虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用（续上例）将问题分解为：解问题(I),方程通解为令§7.2虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用（续上例）§7.2虚宗量贝塞尔函数（三）虚宗量贝塞尔函数的应用（续上例）解问题(II),方程通解为§7.2虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用例导体圆柱壳，半径为，高为L，侧面与上下底面用绝缘材料隔绝。已知侧面电势分布为，上底面电势为,下底面接地，求圆柱壳内的电势分布。解法二：写出定解问题令§7.2虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用例导体