高数竞赛7 级数课件

专题7无穷级数1常数项级数的概念和性质2常数项级数审敛法3幂级数4函数展开成幂级数5函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质6傅立叶级数7一般周期函数的傅立叶级数高数竞赛7级数级数收敛的概念定义

如果级数的部分和数列有极限，即则称无穷级数收敛，这时极限无穷级数发散。叫做这级数的和；如果没有极限，则称高数竞赛7级数二、收敛级数的基本性质性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。性质1

如果级数收敛于和，则级数也敛，且其和为。性质2

如果级数、分别收敛于和则级数也收敛，且其和为性质2‘收敛级数与发散级数的线性组合仍然发散高数竞赛7级数

性质4

收敛级数具有结合律，则对这级数的项任意加括号后所成的级数收敛。（反之不成立，发散级数不具有结合律）性质5

（级数收敛的必要条件）如果级数收敛，则它的一般项趋于零，即高数竞赛7级数数项级数审敛法基本思想Sn单调有界夹逼定理高数竞赛7级数2常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法二、一般项级数及其审敛法高数竞赛7级数一、正项级数审敛法定理1

正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界。（比较审敛法）

设和都是正项级数，且若级数收敛，则级数收敛；若级数发散，则级数也发散。定理2正项级数概念各项都是正数或零的级数称为正项级数。高数竞赛7级数定理3（比较审敛法的极限形式）设和都是正项级数，

(1)如果，且级数收敛,则级数收敛；(2)如果或且级数发散,则级数发散。同阶无穷小为一般项的级数具有相同的敛散性。高数竞赛7级数例2判定级数的收敛性。例3.判定级数的收敛性。高数竞赛7级数例4判定级数的收敛性。解因为根据比值审敛法可知所给级数发散。定理4

（比值审敛法，达朗贝尔判别法）设为正项级数，如果则当时级数收敛；当或时级数发散；当时级数可能收敛也可能发散。高数竞赛7级数定理5（根值审敛法，柯西判别法）

设为正项级数，如果，

则当时级数收敛；（或

）时级数发散；时级数可能收敛也可能发散。例5判定级数的收敛性。解因为所以，根据根植审敛法知所给级数收敛。高数竞赛7级数定理6（极限审敛法）设为正项级数，

(1)如果

(2)如果,而

发散。收敛。例6判定级数的收敛性。解因故根据极限审敛法，知所给级数收敛。收敛。高数竞赛7级数高数竞赛7级数

交错级数交错级数是指这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成的形式：或其中都是正数。二、任意项级数及其审敛法定理7（莱布尼茨定理，交错级数审敛法）(1)(2)则级数收敛，且其和其余项的绝对值如果交错级数满足条件：高数竞赛7级数绝对收敛条件收敛有关性质（1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。（2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即或一定是发散的。条件收敛级数审敛法狄利克雷判别法：的部分和有界，且单调趋于0，则收敛。阿贝尔判别法：收敛，且单调有界，则收敛。高数竞赛7级数例题7.2-7.4高数竞赛7级数但是交错级数是莱布尼茨型级数，收敛，因此原级数条件收敛所以，原级数例题7.7高数竞赛7级数例7判断级数的敛散性。（观察内部特点，第二层根号内是有极限的序列）解法1：换元后达朗贝尔法高数竞赛7级数例7判断级数的敛散性。（观察根号2的特点，考虑三角换元）解法2：达朗贝尔法高数竞赛7级数例7.8设试判断级数的敛散性。分析：An与Sn的关系，Sn的性质。正项级数cn的和有界，收敛，由比较判别法。。。。。例7.11含积分的问题高数竞赛7级数函数项级数高数竞赛7级数高数竞赛7级数幂级数一．幂级数及其收敛域

1．幂级数概念2．幂级数的收敛域（收敛域分三种情形）（1）收敛域为(-∞,∞)，亦即对每一个x皆收敛。我们称它的收敛半径R=∞。（2）收敛域仅为原点（3）收敛域为[-R,+R],(-R,+R],[-R,+R）,(-R,+R)中的一种高数竞赛7级数所以求幂级数的收敛半径R非常重要，（1），（2）两种情形的收敛域就确定的。而(3)的情形，还需讨论两点上x=R,x=-R的敛散性。高数竞赛7级数三．幂级数的性质1．四则运算

2．分析性质

高数竞赛7级数(2)S(x)在(-R,+R)内有逐项积分公式且这个幂级数的收敛半径也不变（3）若

在成立。则有下列性质

（i）成立（ii）成立

（iii）在不一定收敛

也即不一定成立，

高数竞赛7级数

如果在发散，那么逐项求导后的级数在一定发散，而逐项积分后的级数在有可能收敛。四．幂级数求和函数的基本方法1．把已知函数的幂级数展开式（§8.3将讨论）反过来用.2．用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数的求和公式3．用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程，从而求微分方程的解高数竞赛7级数把已知函数的幂级数展开式（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）（为实常数）高数竞赛7级数例1．求幂级数的收敛半径。

例2．已知幂级数的收敛半径，求幂级数的收敛区间。

例3．已知幂级数在处收敛，在处发散，求其收敛域。例4．设，，讨论幂级数的收敛域。

高数竞赛7级数（1）当时，条件收敛故收敛域为

发散（2）当时，绝对收敛，绝对收敛故收敛域为例5：P286：32，33高数竞赛7级数二．求幂级数的和函数

例1．求下列幂级数的和函数解：可求出收敛半径故收敛域为

高数竞赛7级数例2．求下列级数的和函数解：

高数竞赛7级数三。将函数展开成幂级数

内容要点

高数竞赛7级数高数竞赛7级数函数展成幂级数的方法

1．套公式

2．逐项求导积分

3．变量替换法

高数竞赛7级数练习1练习2练习3un>0，且级数条件收敛，证明：级数与都发散高数竞赛7级数提示:a0p=0++0提示:anp=0++0提示:二、函数展开成傅里叶级数傅里叶系数

设f(x)是周期为2

的周期函数

且能展开成三角级数:

且假定三角级数可逐项积分

则bnp=0++0下页高数竞赛7级数二、函数展开成傅里叶级数

设f(x)是周期为2

的周期函数

且能展开成三角级数:

且假定三角级数可逐项积分

则系数a0

a1

b1

叫做函数f(x)的傅里叶系数.下页傅里叶系数高数竞赛7级数定理(收敛定理狄利克雷充分条件)

设f(x)是周期为2

的周期函数,如果它满足:(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,(2)在一个周期内至多只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,并且当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x);

当x是f(x)的间断点时,级数收敛于

.

下页傅里叶级数

三角级数称为傅里叶级数,其中a0,a1,b1,···是傅里叶系数.高数竞赛7级数三、正弦级数和余弦级数奇函数与偶函数的傅里叶系数an

0(n

0,1,2,

),bn

0(n

1,2,

).

当f(x)为奇函数时

f(x)cosnx是奇函数

f(x)sinnx是偶函数

故傅里叶系数为

当f(x)为偶函数时

f(x)cosnx是偶函数

f(x)sinnx是奇函数

故傅里叶系数为下页高数竞赛7级数正弦级数和余弦级数

如果f(x)为奇函数,那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数

如果f(x)为偶函数,那么它的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数下页高数竞赛7级数

例6

将函数f(x)

x

1(0

x

)分别展开成正弦级数和余弦级数.先求正弦级数.

解

为此对函数f(x)进行奇延拓.函数的正弦级数展开式为

正弦级数的系