bio固结方程的推导及其应用

bio固结方程的推导及其应用

1以应力及应变张量形式的存固固界面理论是岩石力学的研究对象，是固固界面机制的理论基础。自1941年,Biot提出固结方程以后,许多学者对这些方程进行了研究,并利用该理论解决了大量的工程问题。通过对现有文献资料的调研,发现对于Biot固结方程的形式,至今尚未形成统一的认识。Biot固结方程包括4部分,即岩土体单元的平衡方程、固体骨架的本构方程、岩土体单元的连续性方程和Darcy定律。根据这些方程,给定初始条件和边界条件后就可以对问题进行求解。岩土体单元的平衡方程用张量形式可以表示为(对于应力和应变的符号,本文以拉为正):式中:∇为梯度算子;σe为有效应力张量;p为流体压力;α为有效应力系数(标量或二阶张量);F为体力矢量。对上述平衡方程,学者间不存在异议。在弹性条件下,固体骨架的本构方程即为虎克定律,用张量可以表示为式中:ε为应变张量;σe为弹性应力增量;C为4阶弹性系数张量。对此本构方程,学者间不存在异议。Darcy定律描述水头梯度与渗流速度的关系,一般表示为式中:q为渗流速度;k为渗透系数;h为水头,对此方程,学者间也不存在争议。对于岩土体单元的连续性方程(下称连续性方程),在固体颗粒和流体都不可压缩的条件下,Biot给出的形式为式中:εv为固体骨架的体积应变,文献采用了该形式的连续性方程,但部分学者提出了不同的看法,争议的焦点是式(4)的右端是否应该包含有效应力系数α。Biot是在小变形假设条件下通过引入应变能密度函数,利用偏导数的求导法则推导出连续性方程,虽然此过程中没有用到质量守恒方程,但其推导思路是严密的,按照该思路应该能得到正确的连续性方程。既然不同的学者在式(4)所示的连续性方程上存在分歧,说明Biot在推导过程中可能存在失误。本文将首先回顾Biot推导土体连续性方程的过程,对此过程中可能出现的问题进行探讨,并尝试利用Biot的思路推导出正确的连续性方程。2固结方程的方法为了对流体的连续性方程进行讨论,本节将首先回顾Biot初期推导固结方程的方法,找出其在推导过程中存在的错误。在此基础上,根据Biot的思路重新推出连续性方程,并将该方程与通过质量守恒定律得到的方程进行对比,从而确定固结方程中的连续性方程的正确形式。2.1固结基本方程式(4)所示的连续性方程的是Biot在文献中首次给出的,并在文献中重新给出了推导过程,尽管这两篇文献最后推导出了相同的固结基本方程,但两者的推导过程是有差别的。下面将概述上述两篇文章的推导思路。文献并没有引入有效应力的概念。采用的基本变量为土体的7个动力分量和7个运动分量。7个动力分量为土体的6个应力(总应力)分量σxx、σyy、σzz、τxy、τyz、τxz以及水压力增量p,7个运动分量为土体骨架的6个应变分量εxx、εyy、εzz、γxy、γyz、γxz以及单位体积土体中水的体积改变量θ。求解固结问题时,所用的基本场变量为土体骨架的位移ux、uy、uz和水压力增量p。文献中,在小变形的条件下,假设运动分量与动力分量间是线性关系,并且在各向同性条件下剪应力对水的体积变化没有影响,则有(本文符号规定以拉为正,这可能造成本文给出的公式和相关文献中的符号有差异,但这不会影响公式的意义):式中:E和ν为固体骨架的弹性模量和泊松比;G为固体骨架的剪切模量;H、H′和R为参数。假设土体单元的弹性应变能密度函数为为了推导公式的方便,假设土体单元仅受到静水压力σ1的作用,此时有σxx=σyy=σzz=σ1,τxy=τyz=τxz=0,则有:式中:εv为土体骨架的体积变形,即εv=εxx+εyy+εzz。此时,由式(5)可得式中:,为土体单元的体积模量。由式(7)可得则有:由式(8)和式(10)可以得到:H=H′。如果令H1=1H′=Kα,K为骨架的体积模量,α为有效应力系数,则式(5)可以表示为式中:;则表示流体压力引起的流体和固体颗粒的体积变形量。假设固体颗粒和流体不可压缩,则Q=∞,此时单位土体内流体的体积改变量必然等于经过单位土体边界上流入或流出的流体的体积,设土体单元的渗流速度为q,由式(11)的第7式可得由此,得到了式(4)所示的连续性方程。文献得到的固结基本方程和文献是一样的,但其推导过程与文献稍有不同,该文引入了有效应力的概念,并以孔隙率作为有效应力系数,采用的基本变量仍然是7个动力分量和7个运动分量,但此处的7个应力分量的应力部分已经从前文的土体的应力分量换成了土体骨架的应力分量,即用有效应力分量代替了总应力分量,而水压则变成了流体承受的压力,即σ=fp,其中f为孔隙率,p为流体压力;同时,7个运动分量则变为固体骨架的变形和流体的体积应变。求解固结问题时,所用的基本场变量与前文不同,为土体骨架的位移ux、uy、uz和流体的位移Ux、Uy、Uz。此文中用到的弹性应变能密度函数为式中:εv′为与流体的位移有关的量,表示为。后来,Biot指出,该变量并不是流体的体积应变,而仅仅是流体位移的散度。文献利用该应变能密度函数得到了应力与应变的关系和水压与εv′的关系,即根据土体应力的平衡方程和Darcy定律,可得到固结方程,其中连续性方程的形式和文献是相同的,即式(4)。式(13)表示的应变能密度函数与式(6)在形式上是一致的,但采用的变量是有差别的。对于固体,两式所用的应变都是固体骨架的应变,但式(6)中的应力是土体的总应力,而式(13)中的应力为土体骨架的有效应力;对于流体,式(6)中用的是流体的压力和体积变化量,而式(13)中用的是流体所承受的压力和与流体的位移有关的量。从上述两篇文献的对比分析可以看出,Biot在初始建立固结基本方程时,推导过程中使用的变量是混乱的,尽管两种方法得到了相同的固结基本方程,背后似乎带有一定的幸运。2.2考虑土体颗粒和流体的可压缩性的连续性方程从2.1节中所述的推导过程可以看出,Biot在得到流体的连续性方程时,并没有使用质量守恒定律,所以得到的式(4)不一定满足质量守恒方程。事实上,正如文献所指出的,式(4)与质量守恒方程存在冲突。在恒温和小变形条件下,Biot推导固结方程的思路是严密的,对比2.1节所述的两篇文献,发现弹性应变能密度函数在两者中的定义是混乱的,可能正是由于该定义的不正确性,导致最终结果与质量守恒存在冲突。本节将首先通过分析土体单元的变形,获得考虑土体颗粒和流体压缩性的连续性方程,而后根据Biot推导固结方程的思路,通过引入新的弹性应变能密度函数验证了上述连续性方程。沿用文献中的定义,动力分量仍然采用土体单元总应力分量和流体压力,运动分量采用土体骨架的应变和从土体单元中流出的流体的体积。在小变形条件下,假设运动分量与动力分量存在线性关系,即式(5)。为了简化分析过程,假设土体单元仅受到静水压力的作用,则土体单元上的应力,即总应力为σxx=σyy=σzz=σ1,τxy=τyz=τxz=0。根据文献的推导思路,引入有效应力,并设有效应力系数为α,则式(5)可简化为对于一般的情况,设土体颗粒和流体都是可以压缩的。令土体的体积应变为εv,土体颗粒的体积应变为εvs,土体单元内部的流体的体积应变为εvf,则对于土体单元可以得到:式中:V为土体单元的体积。式(16)两边同除以V,并移项后可得假设土体单元中渗流的速度为q,则有:下面求解εv、εvf和εvs与应力的关系。由式(15)可求得:。因为土体单元内部的流体的压力为p,有,其中:f为孔隙度,Kf为流体的体积模量。为了求出εvs,因为在弹性条件下,应力叠加原理是适用的,可以将土体单元中的应力分两步施加。第1步施加的静水压力大小为σ1-p,流体压力为0,由于土体颗粒的变形模量远大于土体骨架的变形模量,可以认为此时土体单元的变形主要为骨架的变形,固体颗粒的变形很小,可以忽略;第2步施加的静水压力大小为p,流体压力也为p,根据应力边值问题的唯一解理论,可得,Ks为固体颗粒的体积模量。将上述各体积应变值代入式(18)可得式(19)即为考虑土体颗粒和流体可压缩条件下的连续性方程,如果仅考虑流体的可压缩性,而不考虑土体颗粒的压缩性,则式(19)简化为这与文献的结果是一致的。如果不考虑土体颗粒和流体的可压缩性,则式(19)简化为此式即为部分文献[7,10-11]中使用的连续性方程。下面用Biot推导固结方程的思路推导出式(19)所示的方程。因为在排水情况下土体单元是变质量系统,根据多孔介质的定义条件,流出土体单元的流体不能再算作土体单元的一部分,那么在计算土体单元的弹性能时,此部分流体储存的弹性能就应该去除,则在弹性条件下,土体单元的弹性能由3部分组成:一部分为固体骨架的变形储存的弹性能,一部分为土体单元内流体的压缩储存的弹性能,另一部分为土体颗粒变形储存的弹性能,则土体单元的弹性能表示为土体的弹性应变能密度函数可表示为由式(17)和式(23)可得由上式可得根据链式求导法则,可得根据偏导数求导法则,可得从式(15)可以求得用εv和θ表示的σ1和p,然后代入式(27),经过简单的运算可以得到:将式(28)代入式(15)的第3式,并由,可得式中:,表示储水系数,表示流体压力增大1个单位,流入介质的流体的体积。由式(29)可得流体的连续性方程为对比式(19)和式(30),可以得到:如果土体颗粒和流体都不可压缩,则Q=∞,由式(30)可以得到式(21)表示的连续性方程。至此,无论通过对土体单元变形的分析,还是通过改正Biot推导固结方程中使用的应变能密度函数,在固体颗粒和流体都不可压缩条件下,都得到了式(21)所示的连续性方程。2.3质量守恒定律很多文献在固体颗粒和流体不可压缩条件下,推导了式(21)所示的连续性方程。值得指出的是,丁洲祥把饱和土体单元看作变质量系统,土体单元的质量变化率等于通过单元表面的流体的质量变化率,从而根据质量守恒定律推出了流体连续性方程的一般形式:式中:DρDt为土体密度的物质导数;vsi为固相的速度;qj为液相的渗流速度。在固体颗粒和流体都不可压缩条件下,得到了流体连续性方程为显然,此式和式(21)是等价的,从而说明式(21)表示的连续性方程是满足质量守恒定律的,是连续性方程的正确形式。3连续性方程的修正为了得到正确的连续性方程的形式,首先回顾了Biot推导固结方程的过程