控制理论基础第三章控能观

2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系1第三章线性系统的能控性与能观性系统是否可以在控制的作用下从任意状态出发到达任意指定的状态？是否可以根据输出估计出系统的初始状态？2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系2线性系统的能控性与能观性输入量状态变量输出量能控性输入量输出量G(s)能观性状态方程输出方程2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系3第三章线性系统的能控性与能观性能控性与能观性问题的提出；线性定常系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性系统的能观性及其判据；对偶系统与对偶原理；能控与能观规范型；线性定常系统的结构分解；传递函数矩阵的实现。2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系4线性系统的能控性与能观性-问题的提出例12023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系5线性系统的能控性与能观性-问题的提出2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系6线性系统的能控性与能观性-问题的提出2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系7线性系统的能控性与能观性-问题的提出结果：无论u(t)是什么，都会有x1(t)=x2(t)；提出问题：系统是否可以在控制的作用下从任意状态出发到达任意指定的状态？如果有这样的系统，如何描述？如果有这样的系统，如何判断？不能任意控制的系统是否部分能控？2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系8线性系统的能控性与能观性-问题的提出例22023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系9线性系统的能控性与能观性-问题的提出2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系10线性系统的能控性与能观性-问题的提出结果：只要x1(0)-x2(0)=a(常数)，系统的输出y(t)相同；提出问题：是否可以通过系统的输出确定系统的初始状态？如果有这样的系统，如何描述？如果有这样的系统，如何判断？是否可以通过系统的输出确定系统部分状态？2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系11第三章线性系统的能控性与能观性能控性与能观性问题的提出；线性定常系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性系统的能观性及其判据；对偶系统与对偶原理；能控与能观规范型；线性定常系统的结构分解；传递函数矩阵的实现。2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系12线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性一、线性定常系统能控性定义2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系13线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性二、能控性判别2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系14线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系15线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系16线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性例32023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系17线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系18线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系19线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系20线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系21例4线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系22例5线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系23

解：

①求特征值，由得：

②求特征向量

，并组成变换矩阵P及P-1

什么情况下会出现多个约当块对应同一个特征值？2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系24∴③求约当标准形2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系25线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性结论3：多输入完全能控的连续时间线性时不变系统的状态维数为n，输入维数为p，且rankB=r。则系统的能控的充要条件为：

rankUcn-r+1=rank[B，AB,…,An-rB]=n例：给定系统状态方程如下，判断系统的能控性：2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系26线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性所以系统能控解：rankUc=rank[B，AB,…,An-rB]=rank[B，AB]2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系27第三章线性系统的能控性与能观性能控性与能观性问题的提出；线性定常系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性系统的能观性及其判据；对偶系统与对偶原理；能控与能观规范型；线性定常系统的结构分解；传递函数矩阵的实现。2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系28线性系统的能控性与能观性-离散系统的能控性一、离散系统能控性定义二、离散系统能控性判据2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系29线性系统的能控性与能观性-离散系统的能控性2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系30能控性小结能控性定义：定常系统与时变系统是有区别的，能控和能达对定常系统来说是等价的，对时变系统是非等价的。系统的不完全能控是一种奇异的情况，系统中有部件的参数值在很小的变化就可能使系统由不能控变为能控。系统能控状态构成一个子空间2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系31第三章线性系统的能控性与能观性能控性与能观性问题的提出；线性定常系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性系统的能观性及其判据；对偶系统与对偶原理；能控与能观规范型；线性定常系统的结构分解；传递函数矩阵的实现。2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系32线性系统的能控性与能观性-系统的能观性及判别一、系统能观性定义定义4：线性定常系统在任意给定输入u(t)时，能根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,tf]的量测值唯一确定系统在t0时刻的初始状态x(t0),则称系统是能观测的。二、系统能观性的判据2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系33线性系统的能控性与能观性-系统的能观性及判别2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系34线性系统的能控性与能观性-系统的能观性及判别2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系35线性系统的能控性与能观性-系统的能观性及判别例52023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系36线性系统的能控性与能观性-系统的能观性及判别2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系37线性系统的能控性与能观性-系统的能观性及判别2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系38线性系统的能控性与能观性-系统的能观性及判别2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系39例6线性系统的能控性与能观性-系统的能观性及判别解：C的第一列、第三列、第四列线性无关，第五列、第七列线性无关，故系统能观。2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系40线性系统的能控性与能观性-系统离散对能控能观的影响例72023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系41第三章线性系统的能控性与能观性能控性与能观性问题的提出；线性定常系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性系统的能观性及其判据；对偶系统与对偶原理；能控与能观规范型；线性定常系统的结构分解；传递函数矩阵的实现。2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系42线性系统的能控性与能观性-对偶原理能控性x与u的关系

能观性x与y的关系

Uc=[B,AB,…,An-1B]Uo=[CT,ATCT,…,(AT)n-1CT]一、对偶系统的定义2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系43线性系统的能控性与能观性-对偶原理∫BCAuyx∑∫BTCTATφηψ∑’称系统∑与系统∑’互为对偶系统2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系44二、对偶系统的关系线性系统的能控性与能观性-对偶原理2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系45线性系统的能控性与能观性-对偶原理2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系46线性系统的能控性与能观性-对偶原理例82023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系47线性系统的能控性与能观性-对偶原理2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系48第三章线性系统的能控性与能观性能控性与能观性问题的提出；线性定常系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性系统的能观性及其判据；对偶系统与对偶原理；能控与能观规范型；线性定常系统的结构分解；传递函数矩阵的实现。2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系49线性系统的能控性与能观性-能控规范型一、SISO定常系统的能控规范型2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系50线性系统的能控性与能观性-能控规范型2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系51线性系统的能控性与能观性-能控规范型2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系52例9线性系统的能控性与能观性-能控规范型2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系53线性系统的能控性与能观性-能控规范型2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系54线性系统的能控性与能观性-能控规范型2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系55线性系统的能控性与能观性-能观规范型二、SISO定常系统的能观规范型2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系56线性系统的能控性与能观性-能观规范型2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系57线性系统的能控性与能观性-能观规范型

能控能观规范型的优点是将反映系统特征的特征多项式以显示的形式在状态空间表达式中表现出来。这有利于我们讨论系统的综合问题。

代数等价的能控能观系统具有相同的规范形。2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系58第三章线性系统的能控性与能观性能控性与能观性问题的提出；线性定常系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性系统的能观性及其判据；对偶系统与对偶原理；能控与能观规范型；线性定常系统的结构分解；传递函数矩阵的实现。2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系59线性系统的能控性与能观性-结构分解1、线性定常系统按能控性分解2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系60线性系统的能控性与能观性-结构分解2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系61线性系统的能控性与能观性-结构分解∫∫2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系62例9线性系统的能控性与能观性-结构分解2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系632、线性定常系统按能观性分解线性系统的能控性与能观性-结构分解2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系64线性系统的能控性与能观性-结构分解2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系65线性系统的能控性与能观性-结构分解∫∫2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系663、线性定常系统的规范分解线性系统的能控性与能观性-结构分解2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系672023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系68线性系统的能控性与能观性-结构分解4、不完全能控能观的线性定常系统的传递函数2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系69线性系统的能控性与能观性-结构分解这表明，传递函数矩阵是系统的一种不完全描述，只有系统状态完全能控又完全能观时，它才是系统的完全描述。而状态空间表达式不仅可以反映系统的能控又能观部分，还可以反映出系统的能控不能观、能观不能控、不能控且不能观三部分。状态空间描述较之传递函数描述（输入输出描述）更全面、更完整，这是状态空间描述的优点之一。2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系70线性系统的能控性与能观性-结构分解规范分解的计算方法方法一:Step1°.按能控分解为两个系统

Step2°.对两个子系统分别按能观分解方法二:Step1°：求系统的Jordan标准形，

Step2°：根据能控能观的标准形判据，调整各Jordan块的位置。参见刘豹书p127页的例3

2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系71第三章线性系统的能控性与能观性能控性与能观性问题的提出；线性定常系统的能控性及其判据；线性离散系统的能控性及其判据；线性系统的能观性及其判据；对偶系统与对偶原理；能控与能观规范型；线性定常系统的结构分解；传递函数矩阵的实现。2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系72线性系统的能控性与能观性-传递函数矩阵的实现1、传递函数矩阵的实现1°：能控实现

2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系73线性系统的能控性与能观性-传递函数矩阵的实现1°能控实现的例子（SISO）

对照前页的结论，在本例中n=3,b3=02023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系742°：能观实现

线性系统的能控性与能观性-传递函数矩阵的实现2、传递函数矩阵的最小实现设x=Ax+B为传递函数阵G(s)的一个实现，如果其状态向量

y=Cx的维数为所有实现最小维数，则称之最小实现。·2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系75线性系统的能控性与能观性-传递函数矩阵的实现最小实现的求解：Step1：给出G(s)一个能控实现∑Step2：检查∑的能观性。Step3：若其不能观，按能观性分解，得到其既能控，又能观的子系统，即最小实现。2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系76线性系统的能控性与能观性-传递函数矩阵的实现3、传递函数零极点对消与能控能观的关系2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系77线性系统的能控性与能观性-传递函数矩阵的实现3.1单输入单输出系统的零极相消2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系78线性系统的能控性与能观性-传递函数矩阵的实现3.1单输入单输出系统的零极相消2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系79线性系统的能控性与能观性-传递函数矩阵的实现3.1单输入单输出系统的零极相消2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系80线性系统的能控性与能观性-传递函数矩阵的实现3.1单输入单输出系统的零极相消2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系81线性系统的能控性与能观性-传递函数矩阵的实现3.1单输入单输出系统的零极相消2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系82线性系统的能控性与能观性-传递函数矩阵的实现3.1单输入单输出系统的零极相消2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系83例8线性系统的能控性与能观性-传递函数矩阵的实现2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系84例9线性系统的能控性与能观性-传递函数矩阵的实现2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系85线性系统的能控性与能观性-传递函数矩阵的实现3.2多输入多输出系统的零极相消2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系863.3状态能控性和能观性的频域判据2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系87本章小结俩个概念能控性能观性三个判据格拉姆判据秩判据标准型判据四个系统的结构特性对偶性规范性结构可分解性传递函数的结构特性2023/9/28北京科技大学信息工程学院自动化系88凯莱—哈密尔顿定理2023/9/28北京科技大学信息工