反常积分课程设计

一、引言1.1反常积分的背景在一些实际问题中，需要考虑函数在无限区间上的积分，下面引入[1]、[3]中的两个例子.例1．（第二宇宙速度的计算）在中学物理课中我们已经学习过，为了把一个自身没有动力的物体从地球表面“抛”向宇宙深处，使之脱离地球引力的作用，就必须使它在离开地球表面的一瞬间的初速度达到.这就是第二宇宙速度.这个数值是如何得来的呢？下面给出这个数值的推导.设物体的质量，则它在距地面高度处所受地球引力为，其中，为万有引力常数；表示地球的质量；表示地球半径.因此，该物体从地球表面上升到距地面高度处，克服地球引力所做的功为设物体在离开地球表面时的初速度为在距地面高度处的速度为.则根据动能定理，有为了使物体不落回地球，就必须在每个高度处都有，所以初速度必须满足，令，就得到.即 由于物体在地球表面所受到的地球引力就是他在地面上的重力，所以有，其中表示重力加速度.据此得到,带入上面的不等式，就得到把和带入计算，，这就是第二宇宙速度.在上面的推导中遇到了求定积分当上限趋于无穷大时的极限的问题.把这个极限定义为被积函数在无穷区上的积分，记作.即例2.可以得到在弧段的弧长若考虑圆周的半圆周的周长，利用弧长公式不难认同，当时，应为半圆的周长，但在此时仍不能直接把半圆周长用表示，因为被积函数在上无界.在上述例1中，必须突破定积分中“积分区间的有穷性”限制；而在例2中提出了另一种需要，即必须突破定积分中“被积函数有界性”的限制.因此，出于上述推广定积分的需要，引入了反常积分的概念.二、预备知识2.1反常积分的定义定义设函数定义在无穷区上，且在任何有限区间上可积.如果存在极限,（1）则称此极限为函数在上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作,（1’）并称收敛.如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称发散.类似地，可定义在上的无穷积分：,（2）对于在上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：,（3）其中为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注1无穷积分（3）的收敛性与收敛时的值，都和取值的选取无关.注2由于无穷积分（3）是由（1）、（2）两类无穷积分来定义的，因此，在任何有限区间上，首先必须是可积的.注3收敛的几何意义是：若在上为非负连续函数，则图1中介于曲线，直线以及轴之间那一块向右无限延伸的区域有面积.图1定义2设函数定义在区间上，在点的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间上有界且可积.如果存在极限（4）则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作（4’）并称反常积分收敛.若极限（4）不存在，则反常积分发散.在定义2中，被积函数在点近旁是无界的，这是点称为的瑕点，而无界函数反常积分又称为瑕积分.类似地，可定义瑕点为时的瑕积分：其中在有定义，在点的任一左邻域上无界，但在任何上可积.若的瑕点，则定义瑕积分（5）其中在上有定义，在点的任一领域上无界，但在任何和上都可积.当且仅当（5）式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的.又若两点都是的瑕点，而在任何上可积，这是定义瑕积分（6）其中为上任一实数.同样地，当且仅当（6）式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的.三、反常积分的性质与收敛判别3.1无穷积分的性质由定义知道，无穷积分收敛与否，取决与函数时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则.定理1无穷积分收敛的充要条件是：任给，存在，只要,便有此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质.性质1（线性性）若与都收敛，为任意常数，则也收敛，且性质2（区间可加性）若在任何有限区间上可积，，则与同敛态（即同时收敛或同时发散），且有，由定积分的区间可加性可导出收敛的另一充要条件：任给，存在，只要时总有性质3若在任何有限区间上可积，且有当收敛时，称为绝对收敛.性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛.但是它的逆命题一般不成立，举例详见下面例3.3.2非负函数无穷积分的收敛判别法定理2（比较原则）设定义在上的两个非负函数和都在任何有限区间上可积，且满足，则当收敛时必收敛；发散时，必发散.推论1（比较原则的极限形式）若和都在任何有限区间上可积，当时，，且则有：（i）当时，与同敛态；（ii）时，由收敛可推知也收敛；（iii）当时，由发散可推知也发散特别地，如果选用作为比较对象，则我们有如下推论.推论2（Cauchy判别法）设定义于，且在任何有限区间上可积，则有：（i）当且时，收敛；（ii）当且时，发散.推论3（Cauchy判别法的极限形式）设定义于上的非负函数，且在任何有限区间上可积且，则有：（i）当收敛；（ii）当发散.3.2一般无穷积分的收敛判别法定理3（Dirichlet判别法）若在上有界，在上当时单调趋于，则收敛定理4（Abel判别法）若收敛，在上单调有界，则收敛四、反常二重积分的简单讨论很多教材在重积分的应用中，给出了一种无界函数二重积分的计算，但却没有定义反常二重积分，在概率统计等很多领域都会涉及反常二重积分，因此，有必要对反常二重积分相关概念加以介绍.4.1无界区域上的反常二重积分定义设是平面上任一无界区域，函数在中任意有界的、可求面积的子区域上可积，用任意光滑曲线在中划出有限子区域.如果不论的形状如何，当以任意方式扩展到时，极限总存在，则称其为函数在上的反常二重积分，记作这时也称反常二重积分收敛，否则，称其为发散.由于定义中光滑曲线的任意性，如果有两条不同的光滑曲线和，使得则反常二重积分发散.4.2无界函数的反常二重积分定义设是平面上一有界区域，函数在中有瑕点或瑕线（函数在瑕点或瑕线附近无界）.以中的光滑曲线来隔开瑕点或瑕线，记在中的所围的区域为，且积分总存在.如果不论的形状如何，当以任何方式收缩到瑕点或瑕线时，极限总存在，则称此极限函数在上的反常二重积分，记作这时也称反常二重积分收敛，否则，称其发散.4.3反常二重积分的收敛判别法定理1（无界区域上的反常二重积分收敛的Cauchy判别法）设在无界区域的任何有界子区域上二重积分存在，为内的点到原点的距离.（1）如果，其中，而与均为正常数，则当时反常二重积分收敛.（2）如果，其中，是含有顶点为原点的无限扇形区域，而为正常数，则当时反常二重积分发散.定理2（瑕二重积分收敛的Cauchy判别法）设在有界区域上除外处处有定义，则下面两个结论成立.（1）设在点附近有，其中为常数，，则反常积分必收敛（2）设在点附近有，其中为常数，且为含有为顶点的扇形区域，，则反常积分发散.五、反常积分的计算和收敛性判别及应用5.1反常积分的计算例1例2由于被积函数非负，故利用极坐标并化为累次积分得5.2反常积分收敛性判断例3由上述性质3可知绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛.但是它的逆命题一般不成立，下面给出一个反例：设221O-1-21232n2n+12n+2图2 由图2可知，，即收敛，但发散.我们称这种收敛但非绝对收敛的无穷积分为条件收敛.例4、说明积分绝对收敛或条件收敛.解：（1）由于（i）任意；（ii）单调递减；（iii）.由Dirichlet判别法知收敛.（2）由于由于发散（比较判别法）.收敛（Dirichlet判别法）.故反常积分发散.由（1），（2）知条件收敛.例5、判断积分的敛散性解：由于而反常积分收敛必绝对收敛，所以积分与积分同敛态，注意到被积函数并利用极坐标可得而，故积分当时收敛，当时发散.综上所诉，积分当时收敛，当时发散.例6、设在每个有限区间上可积，且,存在.求证：任意，存在，并求其值.证明：对任意,有（*）因为,,所以有，当时，有,故当时，有由（*）式及广义积分收敛定义知5.3反常积分的物理应用图3解：建立平面直角坐标系，使直杆位于轴上，而质点位于轴上坐标为的点处.则对任意和充分小的，直杆位于两个对称的区间和上的两个小段对质点的万有引图3力的合力近似的等于因此对任意，位于区间上的直杆段对质点的万有引力为令，就得到整条直杆对质点的万有引力例8、圆柱形桶的内壁高，内半径为,桶底有一半径为的小孔.试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需要多长时间？解：从物理学知道，在不计摩擦力的情况下，当桶中水位高时，水从孔中流出的流速（单位时间内流过单位截面积的流量）为，为重力加速度.设在很小一段时间内，桶中液面降低的微小量为，它们之间应满足，由此则有所以流完一桶水需要的时间在形式上可以写成“积分”：但在这里被积函数是上的无界函数，所以它的确切含义应该是参考文献：[1]崔尚斌.数学分析教程(中、下册).北京:科学出版社.2013[2]华东师范大学数学