平面向量数量积的坐标表示模夹角

一、复习1、数量积的定义：2、投影：3、数量积的几何意义：a·b=|a||b|cosθ|b|cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影a·b等于a的长度|a|与向量b在向量a方向上的投影|b|cosθ的乘积4向量数量积的运算律1a·b＝___________交换律．2λa·b＝_______________结合律．3a＋b·c＝______________分配律．b·aλa·b＝a·λba·c＋b·c5向量的数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．1a⊥b⇔___________．2当a与b同向时，a·b＝_________，当a与b反向时，a·b＝____________．a·b＝0|a||b|－|a||b||a|2≤探究已知两个非零向量a=1,y1,b=2,y2,怎样用a与b的坐标表示a·b∵a=1iy1j,b=2iy2j,∴a·b=1iy1j·2iy2j=12i21y2i·j2y1i·jy1y2j2=12y1y2两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和单位向量i,j分别与轴,y轴方向相同i·i=_____,j·j=______,i·j=______,j·i=_______11002．42平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习导航预习目标重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示．难点：利用坐标形式解决向量垂直、向量夹角等问题．新知初探思维启动1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a＝1，y1，b＝2，y2，a与b的夹角为θ数量积两个向量的数量积等于___________________，即a·b＝____________两个向量垂直a⊥b⇔_________________相应坐标乘积的和12＋y1y212＋y1y2＝0做一做＝1，2，b＝2，3，则a·b＝________．解析：a·b＝1×2＋2×3＝8答案：82三个重要公式做一做＝0，1，b＝1，2，则cos〈a·b〉＝________．想一想向量a＝1，y1，b＝2，y2，则向量a在向量b方向上的投影怎样用a，b的坐标表示？典题例证技法归纳题型探究例1已知向量a＝3，－1，b＝1，－2，求：1a·b；2a＋b2；3a＋b·a－b．【解】1∵a＝3，－1，b＝1，－2，∴a·b＝3×1＋－1×－2＝3＋2＝5题型一数量积的坐标运算2a＋b＝3，－1＋1，－2＝4，－3，∴a＋b2＝|a＋b|2＝42＋－32＝253∵a＝3，－1，b＝1，－2，∴a2＝32＋－12＝10，b2＝12＋－22＝5，a＋b·a－b＝a2－b2＝10－5＝5【名师点评】向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．互动探究1在本例中若条件不变，又知c＝－2，1，又如何求b·ca的值呢？解：b·ca＝·3，－1＝·3，－1＝－4×3，－1＝－12，4．已知a＝1，2，b＝1，λ，分别确定实数λ的取值范围，使得1a与b的夹角为直角；2a与b的夹角为钝角；3a与b的夹角为锐角．题型二两个向量的夹角问题例2题型三两向量垂直的坐标运算例3变式训练1，2和B4，－1，问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB＝90°，若不能，请说明理由；若能，求出C点的坐标．备选例题＝4，－3，b2，1，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝1，0，e2＝0，1．1试计算a·b与|a＋b|的值；2求向量a与b夹角的余弦值．解：1a＝e1－e2＝1,0－0,1＝1,－1,b＝4e1＋3e2＝41，0＋30，1＝4，3，得a·b＝4×1＋3×－1＝1，方法感悟方法技巧3已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，可以求其数量积、长度和它们的夹角，此外，求解数量积的有关综合问题,应该注意函数思想与方程思想的运用失误防范∥b⇔1y2－2y1＝0与a⊥b⇔12＋y1