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微分几何——曲面论基本定理研究曲面论基本定理基于我们对符号的定义，曲面上的自然标价为，对于常微分方程组可解得系数，相关系数可算得

假定曲线有三次以上得连续可微性，要使方程组有解当且仅当满足由此可得到曲面的第一基本两和第二基本量需要满足的相容性条件其中存在关系。虽然Gauss-Codazzi方程很复杂，但是考虑到对称的性质，在Gauss方程中只包含了2个方程，Codazzi方程中只包含了1个条件。由此我们也可以得出曲面Gauss曲率。对于正交网（）来说Gauss曲率的计算公式可化简为。公式说明曲面两个主曲率的乘积是由曲面的第一基本形式决定的，即为一个内蕴量，这就是高斯的绝妙定理：曲面的Gauss曲率是曲面在保长变换（即保持第一基本形式不变的弯曲变形）下的不变量。利用高斯的思想，我们不需要知道曲面是如何嵌入到三维欧氏空间的就可以研究曲面的性质。高斯的思想是曲面论基本定理的基础，即曲面论基本定理设是给定的两个二次微分形式，其中是正定的，若和的系数对称且满足Gauss-Codazzi方程，则除了空间的位置差别之外，存在唯一一个曲面，以和为此曲面的第一和第二基本形式。总流程图通过曲面的第一和第二基本形式求出相应曲面的具体例子[例1]已知时，求解该曲面解：设所求曲面为，故由题目条件可得所以若用自然标架来表示，利用待定系数法，根据以上条件能够得到因此能够得到，积分可得解为，故根据条件可得，即，其中为常向量[例2]已知，其中，求该曲面。证明：由以上条件可知，故所以，结合相关结论可知该曲面为球面。能够验证，对于球面若使用自然标架的方法，步骤较为繁琐与上例类似，这里略去。[例3]求曲面的参数方程，使得它的第一基本形式和第二基本形式分别为解：直接求解曲面的微分方程较为困难。观察曲面的基本形式可知，并且其余的系数是只跟相关的函数，于是我们可以假定该曲面是一个旋转曲面，参数方程为，结合已知条件可求得函数。利用相关的知识也可以证明满足某些条件的曲面是不存在的。[例4]证明不存在曲面满足证明：若这样的曲面是存在的，由题目中的条件故可以得到同前例自然标架来表示由此得到即为常向量，这显然是矛盾的。又或者我们可以利用高斯曲率的计算公式来验证该曲面。一方面可算出另一方面显然这样的曲面是不存在的。[例5]证明不存在曲面，使得。

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