第二章矩阵及其运算习题课

线性代数习题讲解第二章矩阵及其运算一、要点复习二、作业讲解三、典型例题介绍一、要点复习矩阵的概念定义特殊矩阵矩阵的运算基本运算性质方阵的行列式及其性质逆矩阵定义矩阵的概念定义特殊矩阵基本运算性质方阵的行列式及其性质性质矩阵的概念定义特殊矩阵矩阵的运算基本运算性质方阵的行列式及其性质矩阵的概念定义特殊矩阵基本运算性质方阵的行列式及其性质矩阵的概念定义特殊矩阵矩阵的运算基本运算性质方阵的行列式及其性质矩阵的概念定义特殊矩阵基本运算性质方阵的行列式及其性质

逆矩阵的求法分块矩阵分块对角矩阵初等变换与初等矩阵定义秩的求法定义与运算初等变换初等矩阵矩阵的秩定义秩的相关结论

NEXT1.矩阵的概念

Back定义2.1由个元素排成的行列的数表：称为行列矩阵，简称矩阵，简记为，其中称为的元素.

所有元素的矩阵称为零矩阵，记为；当时，称为行矩阵；当时，称为列矩阵；当时，称为阶方阵；若两个矩阵的行数和列数对应相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.几种常用方阵：

（1）.对角方阵（当时，）

简称对角阵，可记为.

（2）.单位矩阵（当时，；当时，）简称单位阵，可记为.（3）.上三角矩阵（当时，）

（4）.下三角矩阵（当时，）上三角矩阵和下三角矩阵统称三角矩阵.2.矩阵的运算

设矩阵，则

矩阵相等（对一切），为同型矩阵.

矩阵的和

为同型矩阵.

数乘矩阵为任意常数.

矩阵相乘

，其中即要求的列数必须等于的行数.一般地矩阵的乘法不满足交换律，即.

方阵的幂

转置矩阵是矩阵的转置矩阵.

对称矩阵称满足的方阵为对称矩阵，即对所有满足.

反对称矩阵称满足

的方阵

为对称矩阵，即对所有

满足.

3.逆矩阵

（7）若可逆，则.4.分块矩阵

（2）数乘设，为数，则

.（3）乘法设为矩阵，为矩阵，分块为

其中的列数分别对应等于的行数，则

其中.

.（4）转置设，则.

定义2.6设为阶方阵，称如下形式的分块矩阵为分块对角矩阵

其中皆为方阵.

设方阵，则有当且均可逆时，有.

5.初等变换与初等矩阵

定义2.7矩阵的初等行（列）变换指如下三种变换：（1）对换变换：对调矩阵的第行（列）与第行（列），记为；（2）数乘变换：以非零常数乘矩阵的第记为；行（列）的所有元素，（3）倍加变换：将矩阵的行（列）的所有元素的倍加到第行（列）对应元素上，记为.

定义2.8满足下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：（1）各非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增加而严格增大；（2）如果矩阵有零行，那么零行在矩阵的最下方.定义2.9满足下列条件的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵：（1）各非零行的第一个非零元素都是1；（2）各非零行的第一个非零元素所在列的其他元素都是零.定义2.10形如下列形式的矩阵称为标准形矩阵：定理2.4

设为非零矩阵，那么阶梯形及行最简形，再进行初等列变换化为标准形.

一定可以经过有限次初等行变换化为行推论可逆矩阵的标准形是单位矩阵，并且只需要进行初等行变换就能将可逆矩阵化为单位矩阵.定义2.11

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵：逆矩阵的求法：（1）根据矩阵的定义，，则（2）根据伴随矩阵求，，其中（3）初等变换法，；.；为伴随矩阵；6.矩阵的秩

），定义2.12

在矩阵中，任取行与列（位于这些行列交叉处的个元素，不改变他们在中所处的位置次序而阶行列式得到的的秩，记为.

定义2.14若为阶方阵，，则称为满秩矩阵.

秩的相关结论：

（3），为非零常数；求秩的方法（1）定义法：考察矩阵的所有子式，其最高阶不为0的子式的阶数为矩阵的秩.（2）初等变换法：运用初等行变化化矩阵为行阶梯形，其非零行的行数即为矩阵的秩.二、作业讲解1.设矩阵2.计算下列矩阵的乘积（3）.解：（1）；（2）；（3）.解：（1）；（2）.解：=，

，

又所以.5.设，求及.

解：，.，（必要性）若

，即

所以，化简得.

7.证明：对于任意的矩阵，与都是对称方阵.9.求下列矩阵的逆阵：（1）

；（2）.解：由于此题中的矩阵阶数较低，可直接采用伴随矩阵的方法求解.（1）因为，所以可逆，故10.解下列矩阵方程：（1）；（2）.解：此类问题先求出的表达式，然后求