ch02连续系统时域分析

第2章连续系统时域分析信号与系统（第4版）工业和信息化部“十四五”规划教材01典时域分析方法PARTONE系统的微分方程研究系统，首先要建立系统的数学模型——微分方程。建立电路系统微分方程的依据是电路的两种约束:拓扑约束（KCL，KVL）与元件约束（元件的时域伏安关系）。微分方程的求解按照线性常系数微分方程理论，式(2-1)的微分方程的解由两部分组成:一个是齐次解y0(t)，它是原方程对应的齐次方程的通解;另一个是满足原方程的一个特解yd(t)，即1.齐次解y0(t)齐次解是当式(2-1)中的激励信号f(t)及其各阶导数都等于零时的解，满足微分方程的求解

2.特解yd(t)特解的形式与激励信号的形式有关。表2-1中列出几种典型激励信号对应的特解形式。特解中的待定系数可通过将特解代入式(2-1)，用使方程两边系数恒等的方法来求得。微分方程的求解

3.定系数和初始条件的确定在式(2-2)中，待定系数需要根据系统的初始条件来确定。设激励信号在t=0时刻加入，而微分方程求解区间为t＞0，对n阶微分方程，利用n个独立的

条件即可决定全部待定系数，这n个条件称为系统在t=0时的状态。由于经典法求解微分时间范围是，所以，需要利用来确定待定系数

，而不能利用而通常给出的只是，所以必须

根据激励信号和微分方程确定。02微分方程的微分算子表示PARTTWO微分方程的微分算子表示微分方程的微分算子表示1.算子符号基本原则式（2-7）表示的D（p）和N（p）算子多项式仅仅是一种运算符号，代数方程中的运算规则有的适用于算子多项式，有的则不适用。这里提出两条基本原则。①对算子多项式可以进行因式分解，但不能进行因子相消。②算子的乘除顺序不能随意颠倒。即这表明“先乘后除”的算子运算（对应先微分后积分）不能相消，而“先除后乘”的算子运算（先积分后微分）可以相消。微分方程的微分算子表示2.用算子符号建立微分方程用算子符号表示微分方程不仅书写简便，而且在建立系统数学模型时很方便。电感、电容的等效算子符号分别如下。对电感气：

其中Lp就是用算子符号表示的等效电感感抗值。对电容：

其中1/Cp就是用算子符号表示的等效电容容抗值。现用算子符号建立电路系统的微分方程。微分方程的微分算子表示3.传输算子03零输入响应与零状态响应PARTTHREE零输入响应与零状态响应的求解零输入响应:没有外加激励信号的作用，只是由初始状态(初始时刻系统的储能)所产生的响应，一般用yx(t)表示。零状态响应:不考虑初始时刻系统的储能作用(初始状态为零)，由系统的外部激励信号所产生的响应，一般用yf(t)表示。虽然自由响应与零输入响应都能满足齐次方程的解，但自由响应中的待定系数是由系统的初始条件和外部激励共同作用决定的;而零输入响应仅仅由系统的初始储能

决定。在初始状态为零的条件下，必然有yx(t)=0，但yf(t)不为零，而且yf(t)中所包含的自由响应分量一般也不为零。也就是说，自由响应也可以分解为两部分，一部分由系统的初始储能产生，另一部分由激励信号产生。当系统的初始状态为零时，前一部分为零，后一部分仍可存在。零输入响应的传输算子求解法由前面分析可知，零输入响应满足齐次微分方程，故响应的函数形式由微分方程的特征根决定，而系统的传输算子的分母即为微分方程的特征多项式D(p)，故可通过令D(p)=0来求得系统的特征根，从而得到零输入响应的函数形式，再利用初始值确定待定系数，得到零输入响应。具体求解步骤如下：①求系统的特征根。②写岀的通解表达式。③根据换路定律、电荷守恒定律、磁链守恒定律，根据系统的初始状态求系统的初始值④将已求得的初始值代入yx(t)的通解表达式，确定待定系数。⑤由确定出的待定系数得到yx(t)⑥画出yx(t)的波形。系统响应的线性特性分析系统响应的线性特性分析系统响应的线性特性分析从上面的例子可以说明，常系数线性微分方程描述的系统在下面几点上是满足线性特性的。(1)响应的可分解性:系统响应可分解为零输入响应和零状态响应。(2)零状态响应线性:当初始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性，且系统也为时不变系统。(3)零输入响应线性:当激励为零时，系统的零输入响应对于各初始状态呈线性。我们讨论了将响应分解为零输入响应和零状态响应的方法及求解方法，以及系统的线性特性。可以看出，求零输入响应比较简单，而求零状态响应比较复杂。这种响应的分解方法为现代时域分析方法——卷积分析法提供了途径。04系统的冲激响应与阶跃响应PARTFOUR冲激响应与阶跃响应的定义冲激响应:单位冲激信号δ(t)作为激励在系统中产生的零状态响应称为“单位冲激响应”，简称“冲激响应”，通常用h(t)表示，如图2-5所示。阶跃响应:单位阶跃信号U(t)作为激励在系统中产生的零状态响应称为“单位阶跃响应”，简称“阶跃响应"，通常用g(t)表示，如图2-6所示。冲激响应的求解1.利用微分方程求冲激响应若系统的微分方程为冲激响应的求解冲激响应的求解2.利用H(p)求冲激响应单位冲激响还可通过将H(p)展开成部分分式而求得。以下分三种情况讨论。系统响应的线性特性分析阶跃响应的求解定义阶跃响应g（t）的形式与微分方程两端的阶次有关，在n>=m的情况下，g（t）中将不包含冲激函数，而且g(t)由自由响应和强迫响应构成，当特征方程有n个非重根时，g(t)的形式其中B为常数，可用待定系数法求特解来确寇，而A可以通过代入微分方程之后用奇异函数平衡的方法确定，与求h(t)的方法类似。这里不再细述。G(t)的另一种求解方法，是根据线性系统的积分性，可通过h(t)进行积分而求得。即05卷积积分PARTFIVE卷积积分的定义由第1章可知，由于任意信号f(t)可以用冲激信号的组合表示，即若把信号f(t)作用于冲激响应为h(t)的线性时不变系统(设信号f(t)对应的响应为Hf(t))，则系统的响应为这就是f(t)和h(t)的卷积积分，由于h(t)是在零状态下定义的，所以上式表示的响应为零状态响应yf(t)任意两个信号f(t)与h(t)的卷积积分(简称卷积，用符号"*”表示)定义为积分限-∞-∞是对一般函数的表达式。要根据具体函数的定义区间来选择积分限。下面根据f1(t))和f2(t)的定义区间来确定卷积积分的积分限。卷积积分上下限的讨论卷积积分的图形解释卷积积分的图解说明可以帮助我们理解卷积的概念，把一些抽象的关系形象化。设有两个任意的时间函数f(t)和h(t)，求它们的卷积积分可分为以下5个步骤：(1)将函数f(t)，h(t)中的自变量仑变为T，从而得到f(T)，h(T)，这时函数图形与原来一样，只是横坐标由t变为丁。(2)将函数h(t)沿纵轴对折，得到折叠信号h(-T)。(3)将队h（-T)沿T轴平移t‘得到平移信号入。注意:这里t是一个变量，可以认为，的变化范围为-∞-∞，而不是一个常量。t＞0时信号向右平移，t＜0时信号向左平移。(4)将f(T)与h(t-T)相乘，得到相乘信号f(T)h(t-T)。这时要确定人发f(T)与h(t-T)两个函数的公共区间，即f(T)h(t-T)≠0的区间，从而确定卷积积分的区间(即上下限，一般来说，随着：的变化，积分限也会变化)。(5)求函数f(T)h(t-T)的线下面积，即两个函数相乘后的新函数不为零区间的线下面积(即求积分)。卷积积分的运算规律(1)交换律：(2)分配律：(3)结合律:：卷积积分的主要性质卷积积分有一些重要性质，深刻理解和掌握这些性质将对卷积的计算带来极大方便。关于这些性质，也留给读者自己证明(可参看有关工程数学的书籍)。卷积积分的主要性质常用的卷积积分表06求系统零状态响应的卷积积分法PARTSIX求系统零状态响应的卷积积分法线性非时变系统对任意激励f(t)的零状态响应yf(t)，可用f(t)与其单位冲激响应h(t)的卷积积分来求解，即式(2-16)的说明如图2-13所示。求系统零状态响应的卷积积分法卷积积分的物理概念就是