第13讲 待定有难度立体几何空间角的大小比较(解析版)

第13讲立体几何空间角的大小比较1.如图，已知AABC,D是AB的中点，沿直线CD将AACD折成△ACD，所成二面角A-CD-B的平面角为a，则（）Z角为a，则（）ZA'DBWaB.ZA'DB2a【解答】解：①当AC=BC时，ZA'DB=a②当AC丰BC时，如图，点A'投影在AE上,a=ZAOE，连结AA'易得ZADA'<ZAOA'.••ZA'DB>ZAOE，即ZA'DB>a综上所述，ZADB2a故选：B.2.如图，已知正四面体D-ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，BQ=CR=2，分别记二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平QCRA面角为a、0、丫，则（）D8A.y<a<卩B.^<丫<卩C.卩<丫D.卩<Y<a【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系.设底面AABC的中心为O不妨设OP=3.则O(0,0,0)，P(0，—3，0)，C(0，6，0)，D(0,0,5^2),B(3爲，-3，0).Q(点,3,0)R(-^■'3,0,0)PR=(-2\3,3,0),PD=(0,3,6.2),PQ=,6,0),QR=(-3点,一3,0)QD=(-J3,-3,6、2)n・PR=0设平面PDR的法向量为n二（x,y,z），则—0，可得］In・PD=0可得n=w6,2\Q,-1），取平面abc的法向量m二（o,0,1）贝卩cos<m,n>=mt=--1，取a二arccos)TOC\o"1-5"\h\zImIInI届届一/3V2同理可得：卩二arccos.y二arccos—681、95…丄迴3><95\'681:.a<y<卩解法二：如图所示，连接OP,OQ,OR，过点O分别作垂线：OE丄PR,OF丄PQ,OG丄QR，垂足分别为E,F,G，连接DE,DF,DG设OD二hOD贝Htana二——OE同理可得：tan卩二,tany二OFOG由已知可得：OE>OG>OF．tana<tany<tan卩，a,卩，y为锐角..•.a<y<poGROBBy：故选：B如图，正四面体ABCD中，P、Q、R在棱AB、ADoGROBBy：故选：B如图，正四面体ABCD中，P、Q、R在棱AB、AD、AC上，且AQ=QD,，分别记12A.p>y>aB.y>p>aC.a>y>pD.a>p>y面角A-PQ—R,A-PR—Q,A-QR—P的平面角为a、p、y，则（）【解答】解：观察可知，a>p>y，a为钝角，p，y均为锐角，p平缓一点，y陡急一点,

兀一>卩>Y2则a>p>y故选：D4•已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为a，SE与面ABCD所成的角为卩，二面角S-AB-C的平面角为丫，则（）A.幺邙日A.幺邙日B.卩“日C・PD.丫邙“解答】解：如图，过S作底面的垂线SO，垂足为O，连接EO，则SO丄EO，/.ZSEO二卩取F为AB的中点，连接OF，则SF丄AB，OF丄AB，ZSFO为二面角S-AB-C的平面角，等于丫过E作BC的平行线，过O作AB的平行线，相交于G，则ZSEG为SE与BC所成的角，等于a•••SO丄底面ABCD，/SO丄EG，又EG丄OG，SO「|OG=O，/EG丄平面SOG，则EG丄SG

在RtASOF与RtASOE中,SOSO有siny=—，sinP=SO，而SE>SF，.•.siny>sin卩，得y>卩(y，卩均为锐SFSE角）；在RtASGE与RtASOF中,SGSO有tana=egtany=OF'而SG>SO，EG=OF，••tana>tany，得a>y(aY均为锐角）.当E与F重合时，a二卩二丫综上，卩令3故选：C5•设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）•记直线PB与直线AC所成角为a，直线PB与平面ABC所成角为卩，二面角P-AC-B的平面角为丫，则（）卩<丫，a<yB.卩<a，卩<丫C.卩<a，y<aD.a<卩，丫<卩【解答】解：方法一、如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射影D在线段AO上，作DE丄AC于E，易得PE//VG，过P作PF//AC于F过D作DH//AC，交BG于H贝卩a=ZBPF，卩二ZPBD，y="EDPFEGDHBD则cosa===<=cos卩，可得P<aPBPBPBPBPDPDtany=>=tan卩，可得卩<丫EDBD方法二、由最小值定理可得P<a，记V-AC-B的平面角为y'（显然y'=y）由三正弦定理可得卩<y'=y方法三、（特殊图形法）设三棱锥V-ABC为棱长为2的正四面体，P为VA的中点,TOC\o"1-5"\h\z丄_•一<6_=込一3~2易得cosa=2=空，可得sina二^33，sinP=-^=2=込一3~236633当AP=3时，由余弦定理可得PB七4+9一2x2x3x2=平281628+—i6cosa=-29—=-^，sina=>，可得a<y，故C错误.c2万4<7万xx3故选：B.

如图，三棱锥V-ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为a，二面角P-AC-B的平面角为卩，则a+卩不可能是（）A．3兀A．3兀~4B.込3【解答】解：如图，由题意，三棱锥V-ABC为正三棱锥,过P作PE//AC，则ZBPE为直线PB与直线AC所成角为a当P无限靠近A时，Z.PBE无限接近-，但小于-，则ZBPE=ZBEP=a＞殳333当棱锥的侧棱无限长，P无限靠近V时，a无限趋于-但小于-22二面角P-AC-B的平面角为卩，即V-AC-B的平面角为卩由三棱锥存在，得0〉0，随着棱长无限增大，卩无限趋于-/.a+Be（—，-）3—则a+0不可能是.故选：D故选：D．如图，P是AABC边AB上一点，将AACP沿CP折成直二面角A'-CP-B，要使IA'BI最短，则CP是（AB5)A.AABC中AB边上的中线B.AABC中AB边上的高线C.AABC中ZACB的平分线D.要视AABC的具体情况而定【解答】解：如图所示，作AE丄CP，垂足为E丁直二面角A'—CP—B，•••AE丄平面BCP时AC=b，BC=a，AACB=a设ZACP=9.则A'E=bsin9，CE=bcos9BE2=b2cos29+a2一2abcos9cos(a—9)A'B2=(A'E)2+BE2=b2sin29+b2cos29+a2一2abcos9cos(a—9)=b2+a2一2abcos9cos(a—9)cos9cos(a—9)=cos9(cosacos9+sinasin9)1=cosacos29+—sinasin29=cosa=cosa1+cos292+—sinasin29211=一cosa+—cos(a一29)22•A'B2=b2+a2一abcosa—abcos(a一29)当且仅当cos(a—29)=1时，即a=29时，即CP为ZACB的平分线时，丨A'BI最短.故选：C．如图，正四棱锥P-ABCD.记异面直线PA与CD所成角为a，直线PA与面ABCD所成角为P，二面角P-BC-A的平面角为y，则（）A.p<A.p<a<yB.y<a<pC.p<y<aD.a<p<y【解答】解：由AB//CD，可得ZPAB为PA和CD所成角a过P作PO丄平面ABCD，垂足为O，连接OA可得ZPAO为直线PA与面ABCD所成角p取BC的中点H，连接PH和OH，可得PH丄BC，OH丄BC可得上PHO为二面角P-BC-A的平面角y设正四棱锥P-ABCD的底面边长为a，侧棱长为b可得cosa=可得cosa=a2+b2—b22ab2bcosp=aacosp=aa4b2-a2OHcosy=PH\2aOA2aPA=b=£b由cosZAPB=迸土〉0，可得2b2〉a2即■'■■2b<■•■■Ab2一a2<2b贝9cosp>cosy>cosa由0<a，p，y<k"6""6"可得P<7<a故选：C已知正四面体P-ABC,Q为AABC内的一点，记PQ与平面PAB、PAC,PBC所成的角分别为a、P、7，则下列恒成立的是()sin2a+sin2卩+sin2丫》2cos2a+cos2P+cos2722tan2a+tan2P+tan27WID.D.丄+宀+丄W1tanatanptany【解答】解:当Q为底面ABC的中心时,设正四面体的棱长为a，则底面三角形的高为：学a，如图QE=~~a7一TOC\o"1-5"\h\zPQ=丄6a，此时：sin2a+sin2p+sin27=3x(-^)2=-.排除选项A3一3V38C0S2a+C0S2P+C0S27=3X(-^)2=3323tan2a+tan2p+tan27=3x(-^)2=一W16831+1+77+tan2atan2Ptan271=3X(壬)2=24>1排除D故选：故选：A．1（宁心-231tan2a+tan2卩1（宁心-231tan2a+tan2卩+tan2y=2.排除CA.a<a12B.a>a12C.a<a23a>a231

2a朽当Q与A重合时，a=p=0O，y=ZAPF，cosy=W="-tany=33a2cos2a+cos2卩+cos2y>2【解答】解：由题意设ASBC的高为h,ASCA的高为h，三棱锥S-ABC的高为h12丁三棱锥S-ABC的底面ABC为正三角形，SA<SB<SC平面SBC、SCA、SAB与平面ABC所成的锐二面角分别为a、a、a123h>h12根据正弦函数定义得sina=—，sina=—1h2h12.sina<sina，12'•'a，a都是锐角，.a<a121211.如图，已知三棱锥D-ABC满足AC>AB>BC,D在底面的投影O为AABC的外心，分别记直线DO与平面ABD、ACD、BCD所成的角为a，卩，y，则（）A.a<p<yB.a<y<卩C.卩<y<aD.卩<a<y【解答】解：连结OA，OB，OC，取AABC的三边中点P，M，N，连结OP，OM，ON，DP，DMDN，TO是AABC的外心，OM丄AB又OD丄平面ABC，ABu平面ABC.AB丄OD，又OM「|OD=OAB丄平面DOM，AB丄DM/.ZDMO为二面角D-AB-C的平面角，/.ZODM为OD与平面ABD的所成角，即ZODM=aOM/.tana二一ODOPON冋理可得：tanp二，tany二ODOD故选：故选：A.故选：故选：B.设OA=OB=OC=r•.•AC>AB>•.•AC>AB>BC,IAB2且OM八OA2—AM2=r2—•••OP<OM<ON:.tanp<tana<tany/.p<a<y故选：D12.在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，AD丄侧面PCD,ZPDC=120。，若侧面PAB,PBC，PAD与底面ABCD所成的二面角分别为a，p，y，则下列的结论成立的是（）A.a<p<yB.p<a<yC.p<y<aD.y<p<a【解答】解：AD丄侧面PCD，/.AD丄CD，AD丄PD•••/PDC是面PAD与底面ABCD所成的二面角，•/ZPDC=120。，侧面PAB，PBC，PAD与底面ABCD所成的二面角分别为a，p，y•y=120。，过P作PO丄CD于O，则AD丄PO，/.PO丄平面ABCD./ZPCD为平面PBC与底面ABCD所成角，PO•p<60。，tan8=亠CO过O作OE丄AB于E，则ZPEO为平面PAB与平面ABCD所成的二面角，POPOPOtana==>—CE2COc兀/.0<p<a<—<y2

13.如图，三棱锥S—ABC中，SA=SB=SC,ZABC=90。,AB>BC,E,F,G分别是AB,BC,CA的中点，记直线SE与SF所成的角为a,直线SG与平面SAB所成的角为0,平面SEG与平面SBC所成的锐二面角为丫，则（）A.a>y>0B.a>0>yC.y>a>0D.y>0>a【解答】解：因为AB丄BC，SA=SB=SC，所以AB丄SE所以AB丄平面SGE，AB丄SG又SG丄AC，所以SG丄平面ABC过G作SE的垂线l，显然l垂直平面SAB故直线SG与平面SAB所成的角为0=ZGSE同理，平面SEG与平面SBC所成的锐二面角为y二ZFSGFGEG由tany=>=tan0，得y>0SGSGy也是直线SF与平面SEG所成的角，由cosa=cos0・cosy<cosy，则a>y所以a>y>0，14.已知三棱柱ABC-ABC的所有棱长均相等，侧棱AA丄平面ABC.过AB作平面a与BC平行，设平111111面a与平面ACCA的交线为l，记直线l与直线AB,BC,CA所成锐角分别为a,卩，丫，则这三个角的11大小关系为()A.a〉Y〉卩B.a二卩〉丫C.丫〉卩〉aD.a〉卩二丫【解答】解：由图可知AD//BC，11即BC//面ABD，即面a为面ABD，11111又ac面ACCA=AE11设AC=2，O为AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，-1，0），E（0，0，2），B（1，0，0），C（0，1，0），则AE=（0，1，2）,AB=（1，1，0）,BC=（-1，1，0）,AC=（0，2，0）设直线AE与直线AB,BC,AC所成角分别为a,卩,丫刚,AE・AB|416o,AE・BC|后,AE・AC|45贝Ucosa=11=,cos卩=11=,cosy=11=IAEIIABI10IAEIIBCI10IAEIIACI5所以cosa=cos卩<cosy所以a二卩〉y

故选：BDE■CBiQACB故选：BDE■CBiQACB15.已知长万体ABCD-ABCD的底面AC为正方形，AA二a,AB=b，且a〉b，侧棱CC上一点E满111111足CC二3CE，设异面直线AB与AD,AB与DB,AE与DB的所成角分别为以,卩，丫，贝I」（）11111111A.B.a<Y<卩C.卩D.^<卩<丫【解答】解：不妨取a=3，b=1•连接BC「BD，设A^|BD=O，取CE的中点，连接OFBlEBFCTAD//BC，DB//DB，AE//CFBlEBFCTAD//BC，DB//DB，AE//CFiiii.•.a二ZABC，卩二ZADB，丫二ZCOFiii在厶ABC中,iiAB2+CB2-AC210+10-29cosa=―iiil==-2AB・CB2尿X価10ii在厶ABD中,ioAB2+BD2-AD2io+2-10駅cosp—-11——；2AB・BD2応x逅10i在厶ABC中,ii1_-CF2应晁tanY二二二cosY二一OCV223cosa>cosy>cosp:异面直线夹角的取值范围是（0,寸］.a<y<p故选：B16.如图，矩形ABCD中，AB=1,BC=<3,F是线段BC上一点且满足BF=1,E是线段FC上一动点,把AABE沿AE折起得到厶ABE，使得平面BAC丄平面ADC，分别记BA，BE与平面ADC所成角为a，1111P，平面BAE与平面A