空间解析几何与向量代数

第七章空间解析几何与向量代数简介空间直角坐标系向量空间直线及其方程空间平面及其方程常见曲面及其方程数量关系

—第七章第一部分向量代数第二部分空间解析几何

在三维空间中:空间形式

—

点,

线,

面基本方法—

坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影向量及其线性运算

第七章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.2.向量的减法三角不等式3.向量与数的乘法

是一个数,规定:可见

与a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此定理1.

设

a

为非零向量,则(

为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数

的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b

同向时则b

与

a

同向,设又有b＝

a,“”则例1.设M

为解:ABCD对角线的交点,已知

b＝

a,b＝0a,b同向a,b反向a∥bⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰ向径在直角坐标系下坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组(称为点

M

的坐标)原点O(0,0,0);坐标轴:坐标面:2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点

M

则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量

r

的坐标分解式,任意向量r

可用向径OM

表示.四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得例3.已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M

的坐标为如图所示及实数得即说明:由得定比分点公式:点

M为AB

的中点,于是得中点公式:五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与例4.

求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点例5.

在z

轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在

xoy

面上与A,B

等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B

等距离之点的轨迹方程?离的点.提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点和解:求2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤

≤

)

为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角

,

,

为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作方向余弦的性质:例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例8.设点A

位于第一卦限,解:已知作业

P3003,5,13,14,15,18,19角依次为求点A

的坐标.则因点A

在第一卦限,故于是故点A

的坐标为向径OA

与x

轴y轴的夹*三、向量的混合积第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积数量积向量积*混合积

第七章一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称

记作数量积(点积).引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F

所做的功为记作故2.性质为两个非零向量,则有

3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;例1.

证明三角形余弦定理证:则如图.设4.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得例2.

已知三点

AMB.解:则求故为

).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.

设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量

M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F

作用在杠杆上的力1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,

称引例中的力矩思考:右图三角形面积S＝2.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:4.向量积的坐标表示式设则向量积的行列式计算法(行列式计算见P339～P342)例4.已知三点角形

ABC

的面积解:如图所示,求三一点M

的线速度例5.设刚体以等角速度

绕l

轴旋转,导出刚体上的表示式.解:在轴l

上引进一个角速度向量使其在l

上任取一点O,作它与则点M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为

,

方向与旋转方向符合右手法则,向径*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其2.混合积的坐标表示设3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故例7.

证明四点共面.解:

因故A,B,C,D

四点共面.内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:混合积:2.向量关系:思考与练习1.设计算并求夹角

的正弦与余弦.答案:2.用向量方法证明正弦定理:证:由三角形面积公式所以因第六节一、空间直线方程二、线面间的位置关系空间直线及其方程

第七章一、空间直线方程因此其一般式方程1.一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)2.对称式方程故有说明:

某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上的动点为则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量3.参数式方程设得参数式方程:例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.二、线面间的位置关系1.两直线的夹角

则两直线夹角

满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为特别有:例2.

求以下两直线的夹角解:直线直线二直线夹角

的余弦为(参考P332例2)从而的方向向量为的方向向量为当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角

称为直线与平面间的夹角;

2.

直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线

L的方向向量为平面

的法向量为则直线与平面夹角

满足直线和它在平面上的投影直︿特别有:解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.

为所求直线的方向向量.垂例3.求过点(1,－2,4)

且与平面1.空间直线方程一般式对称式参数式

内容小结

直线2.线与线的关系直线夹角公式:平面

:L⊥

L//

夹角公式：3.面与线间的关系直线L:作业P3353，4，5，7，9P335题2,10思考与练习解：相交,求此直线方程.的方向向量为过A

点及面的法向量为则所求直线的方向向量方法1利用叉积.所以一直线过点且垂直于直线又和直线备用题设所求直线与的交点为待求直线的方向向量方法2利用所求直线与L2的交点.即故所求直线方程为则有代入上式,得由点法式得所求直线方程而

第七章一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线

C.C又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t

的函数:称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为螺距

.例1.将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为例2.求空间曲线:绕z轴旋转时的旋转曲面方程.解:点M1绕z轴旋转,转过角度

后到点则这就是旋转曲面满足的参数方程.例如,直线绕z轴旋转所得旋转曲面方程为消去t

和

,得旋转曲面方程为绕z轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为又如,

xoz

面上的半圆周说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去

z

得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz

面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程例如,在xoy面上的投影曲线方程为又如,所围的立体在xoy

面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy面上的投影曲线所围之域.内容小结

空间曲线三元方程组或参数方程

求投影曲线(如,圆柱螺线)思考与练习P324题1，2，7（展示空间图形）P324题1

(2)(1)答案:(3)P324题2(1)思考:交线情况如何?交线情况如何?P324题2(2)P325题7P3243，4，5，6,8作业备用题求曲线绕z

轴旋转的曲面与平面的交线在

xoy平面的投影曲线方程.解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy

面的投影柱面方程为此曲线在xoy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的第五节一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角平面及其方程

第七章①一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面

的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故例1.求过三点即解:取该平面

的法向量为的平面

的方程.利用点法式得平面

的方程此平面的三点式方程也可写成一般情况:过三点的平面方程为说明:特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为分析:利用三点式按第一行展开得即二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,

②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.特殊情形•当

D=0时,Ax+By+Cz=0表示

通过原点的平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•

Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于

y

轴的平面;平行于

z

轴的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.例2.

求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解:因平面通过

x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程(P327例4,自己练习)三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为

平面∏2的法向量为则两平面夹角

的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.特别有下列结论：因此有例4.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且外一点,求例5.设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0

到平面的距离为(点到平面的距离公式)例6.解:

设球心为求内切于平面

x+y+z=1

与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:思考与练习P330题4,5,8作业P3302,6,7,9备用题求过点且垂直于二平面和的平面方程.解:

已知二平面的法向量为取所求平面的法向量则所求平面方程为化简得四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念二、旋转曲面

三、柱面曲面及其方程

第七章一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段

AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.

定义1.如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).故所求方程为例1.

求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:

设轨迹上动点为即依题意距离为

R

的轨迹表示上(下)球面.例2.研究方程解:

配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.定义2.一条平面曲线二、旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:建立yoz面上曲线C

绕

z

轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕

z轴旋转时,若点给定yoz

面上曲线

C:则有则有该点转到思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例4.

求坐标面xoz

上的双曲线分别绕

x轴和

z

轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕

x

轴旋转绕

z

轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为三、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于

z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意

z,平行

z

轴的直线

l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,定义3.平行定直线并沿定曲线C

移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.

表示抛物柱面,母线平行于

z

轴;准线为xoy

面上的抛物线.

z

轴的椭圆柱面.

z

轴的平面.

表示母线平行于(且z

轴在平面上)表示母线平行于C

叫做准线,l

叫做母线.一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x

轴;平行于

y

轴;平行于

z

轴;准线

xoz

面上的曲线l3.母线柱面,准线

xoy

面上的曲线l1.母线准线