专题一矩阵与变换

第5页共11页专题一矩阵与变换一．《考试说明》呈现内容要求ABC矩阵与变换矩阵的概念√二阶矩阵与平面向量√常见的平面变换√矩阵的复合与矩阵的乘法√二阶逆矩阵√二阶矩阵的特征值和特征向量√二阶矩阵的简单应用√二．主要内容解读1．矩阵变换注意：矩阵与矩阵意义不同是先施加矩阵B对应的变换，再施加矩阵A对应的变换；是先施加矩阵A对应的变换，再施加矩阵B对应的变换．2．矩阵的运算、逆矩阵逆矩阵的求法：（1）定义法；（2）公式法．3．特征值和特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得，那么称为的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量．特征值和特征向量的求法：（1）写出A的特征多项式，（2）求出的根，（3）将代入的二元一次方程组，（4）写出满足条件的一组非零解．三．高考试题展示1．（08年江苏）在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线，求的方程．[解析]本题主要考察曲线在矩阵变换下的变化特点，考察运算求解能力．满分10分．解：设是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点，则有，即，所以又因为点在椭圆上，故，从而，所以，曲线的方程是：．2．（09年江苏）求矩阵的逆矩阵．[解析]本题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力．满分10分．解：设矩阵A的逆矩阵为则即故解得：，从而A的逆矩阵为.3．（10年江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（0,0），B（-3,0），C（-2,1）,设k≠0，k∈R，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1，B1，C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值．[解析]本题主要考查矩阵的乘法运算及变换．满分10分．解：，由，知A1（0,0），B1（0，-3），C1（k，-2）．∵，∴，∴．4．（11年江苏）已知矩阵，向量．求向量，使得．[解析]本题主要考查矩阵的乘法运算．满分10分．解：设，由得：，，，．四．试题分类汇总1．矩阵变换题1：（2010南京一模）在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A（0，0），B（2，0），C（2，1），求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵：，．题2：（2009年南京一模）已知矩阵，．在平面直角坐标系中，设直线在矩阵对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程．题3：（2011年苏、锡、常、镇二模）求圆在矩阵对应变换作用下的曲线方程．题4：（2011年南京二模）求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线的方程．题5：（2011年南通二模）已知圆C：在矩阵对应的变换作用下变为椭圆，求a，b的值．题6：（2010年南京二模）如果曲线在矩阵的作用下变换得到曲线，求的值．题7：（2011年苏、锡、常、镇一模）已知直角坐标平面上的一个变换是先绕原点逆时针旋转，再作关于轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．2．矩阵的运算、逆矩阵题8：（2009南通二模）已知,求矩阵B.题9：（2010盐城二模）求使等式成立的矩阵．题10：（2009南京二模）已知二阶矩阵M满足，求．题11：（2010南通一模）若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的逆矩阵．题12：（2010年盐城一模）已知二阶矩阵A有特征值及其对应的一个特征向量，特征值及其对应的一个特征向量，求矩阵A的逆矩阵．3．特征值和特征向量题13：（2010年南通二模）求矩阵的特征值及对应的特征向量.题14：（2009年苏、锡、常、镇二模）已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，（1）求实数a的值；（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.题15：（2011年盐城一模）已知矩阵=的一个特征值为3，求其另一个特征值．题16：（2011年南京一模）已知为矩阵属于的一个特征向量，求实数，的值及．题17：（2010年苏、锡、常、镇二模）一个的矩阵有两个特征值：，其中对应的一个特征向量，对应的一个特征向量，求．参考答案：题1：解：，由，知，，，．题2：解：由题设得,设是直线上任意一点,点在矩阵对应的变换作用下变为,则有,即,所以．因为点在直线上,从而,即：，所以曲线的方程为．题3：解：设是圆上的任意一点，设是在矩阵对应变换作用下的新曲线上的对应点，则，…………………3分则，所以，…………………6分将代入，得．…………………8分所以所求曲线方程为．…………………10分题4：解：设为曲线上任意一点，它在矩阵对应的变换作用下得到点，由，得，解得，………5分因为在曲线上，所以，所以，即．所以所求曲线的方程为：．…………………10分题5：解：设为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点，则，即…………………4分又因为点在椭圆上，所以．由已知条件可知，，所以a2=9，b2=4．因为a>0，b>0，所以a=3，b=2．………………10分题6：解：设是曲线上的任意一点，点在矩阵对应的变换作用下，得到的点都在曲线上．由，得，代入，得：，又因为在上，所以，所以，解得，所以．题7：解：这个变换的逆变换是先作关于轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转变换，…2分其矩阵是…………………6分。…………………10分题8：解：设，……2分则有，，…………………5分得………………8分，所以因此.……10分题9：解：设，则，…………5分则，即．…………………10分题10：解：（方法一）设，则，得，，即．…………………4分所以…………………8分．…………………10分（方法二）设，由，得，所以，．由，得，所以，，所以．………6分所以，……8分所以．……10分题11：解：，即，………………4分所以解得…………………6分所以．由，得．………10分另解：＝1，．另解：，看作绕原点O逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是．题12：解：设二阶矩阵，则有，且，则，且，解得．……5分所以，从而．……10分题13：解：特征多项式，……………3分由，解得.……6分将代入特征方程组，得.可取为属于特征值1=1的一个特征向量．………………8分将代入特征方程组,得.可取为属于特征值的一个特征向量．综上所述,矩阵有两个特征值；属于的一个特征向量为，属于的一个特征向量为．…………………10分题14：解：（1）由=，…………………2分∴.…………………3分（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为．……5分令，得矩阵的特征值为与4.………………6分当时，，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为；……8分当时，．∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为.…………10分题15：解：矩阵的特征多项式为．………4分因为是方程的一根，所以．……7分由得，所以矩阵的另一